12.3: Operaciones de simetría Definir Grupos

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Propiedades de Grupos

Ahora que hemos explorado algunas de las propiedades de las operaciones y elementos de simetría y su comportamiento dentro de los grupos de puntos, estamos listos para introducir la definición matemática formal de un grupo. Un grupo matemático se define como un conjunto de elementos (\(g_1\),\(g_2\),\(g_3\)...) junto con una regla para formar combinaciones\(g_j\). El número de elementos\(h\) se llama el orden del grupo. Para nuestros propósitos, los elementos son las operaciones de simetría de una molécula y la regla para combinarlos es la aplicación secuencial de operaciones de simetría investigadas en el apartado anterior. Los elementos del grupo y la regla para combinarlos deben cumplir los siguientes criterios:

Identidad
Cierre
Asociatividad
Reciprocalidad

Estos criterios se explican a continuación.

Identidad

El grupo debe incluir la identidad, \(E\). \(E\)conmuta con cualquier otro elemento del grupo,\(g_i\), de tal manera que:

\[E g_i= g_i E = g_i \label{7.1} \]

Este requisito explica la necesidad de definir la operación de simetría de la identidad.

Cierre

Los elementos deben satisfacer la propiedad de grupo de cierre, lo que significa que la combinación de cualquier par de elementos es también un elemento del grupo.

El cierre es una definición matemática. En matemáticas, un grupo tiene cierre bajo una operación si la realización de esa operación en miembros del grupo siempre produce un miembro del mismo grupo:

Si\(A\) y\(B\) son elementos del grupo\(G\), y si\(AB=g_i\), entonces también\(g_i\) está en el grupo\(G\)

Reciprocalidad

Para satisfacer la reciprocidad, cada elemento\(g_i\) debe tener una inversa\(g_i^{-1}\), que es también un elemento del grupo, tal que:

\[g_i g_i^{-1} = g_i^{-1}g_i = E \label{7.2} \]

Algunas operaciones de simetría son sus propias inversas:

\(C_2 C_2=E\)
\(\sigma \sigma=E\)
\(ii=E\)
\(EE=E\)

La inversa de cada una de estas operaciones efectivamente 'deshace' el efecto de la operación de simetría. La mayoría de las otras operaciones no son lo inverso de sí mismas. Por ejemplo, en\(C_{3v}\) la inversa de\(C_3\) is\(C_3^{-1}\).

Asociatividad

La ley asociativa de combinación establece que todas las combinaciones de elementos de un grupo deben ser asociativas:

\[(g_i g_j )(g_k) = g_i(g_jg_k) \label{7.3} \]

La definición anterior no requiere de los elementos para conmutar, lo que requeriría:

\[g_i g_k =g_k g_i \label{7.4} \]

Multiplicación de Grupo

Como descubrimos en el\(C_{3v}\) ejemplo anterior, en muchos grupos el resultado de la aplicación consecutiva de dos operaciones de simetría depende del orden en que se apliquen las operaciones.

El desplazamiento no es un requisito de los elementos del grupo

Los grupos para los que los elementos no se conmutan se denominan grupos no abelianos; aquellos para los que los elementos sí conmutan son abelianos.

La teoría de grupos es un área importante en matemáticas, y por suerte para los químicos los matemáticos ya han hecho la mayor parte del trabajo por nosotros. Junto a la definición formal de grupo viene un marco matemático integral que nos permite llevar a cabo un tratamiento riguroso de la simetría en los sistemas moleculares y conocer sus consecuencias.

Muchos problemas que involucran operadores u operaciones (como los que se encuentran en la mecánica cuántica o la teoría de grupos) pueden ser reformulados en términos de matrices. Cualquiera de ustedes que se haya encontrado con matrices de transformación antes sabrá que las operaciones de simetría como rotaciones y reflexiones pueden estar representadas por matrices. Resulta que el conjunto de matrices que representan las operaciones de simetría en un grupo obedece a todas las condiciones establecidas anteriormente en la definición matemática de un grupo, y el uso de representaciones matriciales de operaciones de simetría simplifica la realización de cálculos en la teoría de grupos. Antes de aprender a usar matrices en la teoría de grupos, probablemente será útil revisar algunas definiciones básicas y propiedades de las matrices.

Ahora investigaremos qué sucede cuando aplicamos dos operaciones de simetría en secuencia. Como ejemplo, considere la\(NH_3\) molécula, que pertenece al grupo\(C_{3v}\) puntual. Considera lo que sucede si aplicamos una\(C_3\) rotación seguida de una \(\sigma_v\)reflexión. Escribimos esta operación combinada \(\sigma_v\)\(C_3\)(cuando se escribe, las operaciones de simetría operan sobre la cosa directamente a su derecha, tal como lo hacen los operadores en mecánica cuántica; por lo tanto, tenemos que trabajar hacia atrás de derecha a izquierda desde la notación para obtener el orden correcto en el que el se aplican operadores). Como veremos pronto, es importante el orden en que se aplican las operaciones.

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La operación combinada \(\sigma_v\)\(C_3\)es equivalente a \(\sigma_v''\), que también es una operación de simetría del grupo de\(C_{3v}\) puntos. Ahora veamos qué pasa si aplicamos los operadores en el orden inverso es decir\(C_3\)\(\sigma_v\) (\(\sigma_v\)seguido de \(C_3\)).

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Nuevamente, la operación combinada\(C_3\)\(\sigma_v\) equivale a otra operación del grupo de puntos, esta vez \(\sigma_v'\).

Hay dos puntos importantes que se ilustran con este ejemplo:

El orden en que se aplican dos operaciones es importante. Para dos operaciones de simetría\(A\) y\(B\), no\(AB\) es necesariamente lo mismo que\(BA\), es decir, las operaciones de simetría no se conmutan en general. En algunos grupos los elementos de simetría sí conmutan; se dice que tales grupos son Abeli an.
Si dos operaciones del mismo grupo de puntos se aplican en secuencia, el resultado será equivalente a otra operación del grupo de puntos. Se dice que las operaciones de simetría que están relacionadas entre sí por otras operaciones de simetría del grupo pertenecen al mismo culo cl. En\(NH_3\), los tres planos de espejo \(\sigma_v\), \(\sigma_v'\)y \(\sigma_v''\)pertenecen a la misma clase (relacionados entre sí a través de una\(C_3\) rotación), al igual que las rotaciones\(C_3^+\) y\(C_3^-\) ( rotaciones en sentido antihorario y en el sentido de las agujas del reloj alrededor del eje principal, relacionadas entre sí por un plano de espejo vertical

Los efectos de aplicar dos operaciones de simetría en secuencia dentro de un grupo de puntos dado se resumen en tablas de multiplicación gro up. A modo de ejemplo, a continuación se muestra la tabla de multiplicación de grupos completa para\(C_{3v}\) usar las operaciones de simetría definidas en las figuras anteriores. Las operaciones escritas a lo largo de la primera fila de la tabla se realizan primero, seguidas de las escritas en la primera columna (tenga en cuenta que la tabla cambiaría si optamos por nombrar \(\sigma_v\), \(\sigma_v'\)y \(\sigma_v''\)en algún orden diferente).

\[\begin{array}{l|llllll} C_{3v} & E & C_3^+ & C_3^- & \sigma_v & \sigma_v' & \sigma_v'' \\ \hline E & E & C_3^+ & C_3^- & \sigma_v & \sigma_v' & \sigma_v'' \\ C_3^+ & C_3^+ & C_3^- & E & \sigma_v' & \sigma_v'' & \sigma_v \\ C_3^- & C_3^- & E & C_3^+ & \sigma_v'' & \sigma_v & \sigma_v' \\ \sigma_v & \sigma_v & \sigma_v'' & \sigma_v' & E & C_3^- & C_3^+ \\ \sigma_v' & \sigma_v' & \sigma_v & \sigma_v'' & C_3^+ & E & C_3^- \\ \sigma_v'' & \sigma_v'' & \sigma_v' & \sigma_v & C_3^- & C_3^+ & E \end{array} \label{5.1} \]