13.7: Aproximación sucesiva

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Una aproximación suele ser útil incluso cuando no es muy buena, porque podemos usar la aproximación inexacta inicial para calcular una mejor. Un buen ejemplo de esto ocurre en el Ejemplo 2 del Cálculo de la extensión de las reacciones donde fue necesario resolver la ecuación

\[\text{0}\text{.0200}=\frac{\text{(1 + }x\text{)}x}{\text{(1 }-\text{ 2}x\text{)}^{\text{2}}} \nonumber \]

Las condiciones del problema sugieren que x es tan pequeño que puede ser ignorado.

1. En consecuencia podemos aproximar

\[ 1 + x \approx 1 \approx 1 – 2x \nonumber \]

del cual obtenemos el resultado aproximado (llamado la primera aproximación), x ₁:

\[\text{0}\text{.0200 }\approx \text{ }\frac{\text{1}x_{\text{1}}}{\text{1}^{\text{2}}} ~~~ \text{or} ~~~ x_{1} \approx 0.0200 \nonumber \]

Si bien para algunos fines este es un resultado suficientemente preciso, se puede obtener una aproximación mucho mejor alimentando éste de nuevo a la fórmula. Si escribimos la fórmula como

\[x=\frac{\text{0}\text{.0200 (1 - 2}x\text{)}^{\text{2}}}{\text{1 + }x} \nonumber \]

ahora podemos sustituir x ₁ = 0.0200 en el lado derecho, dando la segunda aproximación:

\[x_{\text{2}}=\frac{\text{0}\text{.0200 (1 - 2 }\times \text{ 0}\text{.0200)}^{\text{2}}}{\text{1 + 0}\text{.0200}}=\frac{\text{0}\text{.0200 }\times \text{ 0}\text{.96}^{\text{2}}}{\text{1}\text{.0200}}=\text{0}\text{.0181} \nonumber \]

Si repetimos este proceso, se obtiene una tercera aproximación:

\[ x_{3} \approx 0.0182 \nonumber \]

en concordancia exacta con el resultado exacto obtenido de la fórmula cuadrática en el ejemplo.

Con la práctica, usar este método de aproximaciones sucesivas es mucho más rápido que usar la fórmula cuadrática. También tiene la ventaja de ser autoverificable. Un error en cualquiera de los cálculos casi siempre lleva a una aproximación obviamente peor. En general, si la última aproximación para x difiere de la siguiente a la última en menos del 5 por ciento, se puede suponer que es precisa, y se puede detener el procedimiento de aproximación sucesiva. En el ejemplo que se acaba de dar,

\[\frac{x_{\text{2}}\text{ }-\text{ }x_{\text{1}}}{x_{\text{1}}}=\frac{\text{0}\text{.0181 - 0}\text{.0200}}{\text{0}\text{.0200}}=\frac{-\text{0}\text{.0019}}{\text{0}\text{.0200}}\approx -\text{0}\text{.10}=-\text{10 percent} \nonumber \]

por lo que se calculó una tercera aproximación. Esta tercera aproximación fue casi idéntica a la segunda y así se tomó como resultado final.