2.4: Más allá de Bohr

Finalmente, al considerar los problemas con el modelo Bohr, los científicos volvieron a la idea de la dualidad onda-partícula como ejemplifica el fotón. Si la luz (radiación electromagnética), que clásicamente se consideraba una onda, pudiera tener las propiedades de una partícula, entonces quizás la materia, considerada clásicamente como compuesta de partículas, podría tener las propiedades de las ondas, al menos en condiciones como las que existen dentro de un átomo. Louis De Broglie (1892—1987) consideró esta idea totalmente contradictoria en su tesis doctoral. De Broglie utilizó la relación de Planck entre energía y frecuencia (\(\mathrm{E} = hn\)), la relación entre frecuencia y longitud de onda (\(c = \lambda n\)) y la relación de Einstein entre energía y masa (\(\mathrm{E} = mc^{2}\)) para derivar una relación entre la masa y la longitud de onda para cualquier partícula (incluidos los fotones). ^[12] Puedes hacerlo tú mismo sustituyendo en estas ecuaciones, para llegar a\(\lambda = \frac{h}{mv}\), dónde\(mv\) está el impulso de una partícula con masa\(m\) y velocidad\(v\). En el caso de los fotones,\(v = c\), la velocidad de la luz.

Si bien la matemática involucrada en derivar la relación entre el momentum (\(mv\)) de una partícula y su longitud de onda\(\lambda\) es simple, las ideas detrás de ella ciertamente no lo son. Es aún más difícil conceptualizar la idea de que la materia, como nosotros mismos, puede comportarse como ondas, y sin embargo esto es consistente con una amplia gama de observaciones. Nunca notamos las propiedades onduladas de la materia porque en la escala macroscópica, la longitud de onda asociada a un objeto en particular es tan pequeña que es insignificante. Por ejemplo, la longitud de onda de una pelota de béisbol en movimiento\(100 \mathrm{~m/s}\) es mucho menor que la del béisbol mismo. Vale la pena pensar en lo que necesitarías saber para calcularlo. En la escala atómica, sin embargo, las longitudes de onda asociadas a las partículas son similares a su tamaño, lo que significa que no se puede ignorar la naturaleza de onda de partículas como los electrones; su comportamiento no puede ser descrito con precisión por modelos y ecuaciones que las tratan como partículas simples. El hecho de que un haz de electrones pueda sufrir difracción, un comportamiento de onda proporciona evidencia de esta idea.

Certeza e incertidumbre

¿Dónde se encuentra una ola? La respuesta no es del todo obvia. Se podría pensar que sería más fácil determinar dónde está una partícula, pero las cosas se complican a medida que se hacen cada vez más pequeñas. Imagínese que quisiéramos ver un electrón dentro de un átomo usando algún tipo de microscopio, en este caso, uno imaginario con resolución ilimitada. Para ver algo, los fotones tienen que rebotar o reflejarse en él y luego entrar en nuestro ojo, ser absorbidos por una molécula en una célula retiniana, e iniciar una señal a nuestro cerebro donde esa señal es procesada e interpretada. Cuando miramos objetos macroscópicos, sus interacciones con la luz tienen poco efecto sobre ellos. Por ejemplo, ¡los objetos en una habitación oscura no empiezan a moverse solo porque enciendes las luces! Obviamente no se puede decir lo mismo de los objetos a escala atómica; ya sabemos que un fotón de luz puede sacar completamente a un electrón de un átomo (el efecto fotoeléctrico). Ahora llegamos a otro factor: cuanto más corta sea la longitud de onda de la luz que usamos, con mayor precisión podremos localizar un objeto. ^[13] Recuerde, sin embargo, que la longitud de onda y la energía están relacionadas: cuanto más corta es la longitud de onda mayor es su energía. Para mirar algo tan pequeño como un átomo o un electrón tenemos que usar radiación electromagnética de una longitud de onda similar al tamaño del electrón. Ya sabemos que un átomo tiene aproximadamente\(10^{-10}\) m de diámetro, por lo que los electrones son presumiblemente mucho más pequeños. Digamos que utilizamos rayos gamma, una forma de radiación electromagnética, cuya longitud de onda es\(\sim 10^{-12}\) m. Pero la radiación de tan corta longitud de onda lleva mucha energía, por lo que estos son fotones de alta energía. Cuando un fotón de tan alta energía interactúa con un electrón, perturbe drásticamente la posición y el movimiento del electrón. Es decir, si tratamos de medir dónde está un electrón, lo perturbaremos por el mismo acto de medir. El acto de medición introduce incertidumbre y esta incertidumbre aumenta a medida que nos acercamos a la escala molecular atómica.

Esta idea fue planteada por primera vez explícitamente por Werner Heisenberg (1901-1976) y es conocida como el Principio de Incertidumbre de Heisenberg. De acuerdo con el principio de incertidumbre, podemos estimar la incertidumbre en una medición usando la fórmula\(\Delta m v \times \Delta x> \frac{h}{2 \pi}\), dónde\(\Delta mv\) está la incertidumbre en el momento de la partícula (masa por velocidad o hacia dónde va y qué tan rápido),\(\Delta x\) es la incertidumbre en su posición en el espacio (donde está en un momento determinado), y\(h\) es la constante de Planck ahora dividida por\(2 \pi\). Si sabemos exactamente dónde está la partícula (\(\Delta x = 0\)) entonces no tenemos absolutamente ninguna información sobre su velocidad, lo que significa que no sabemos qué tan rápido o en qué dirección va. Alternativamente, si conocemos su impulso exactamente (\(\Delta mv = 0\)), es decir, sabemos exactamente qué tan rápido y en qué dirección va, ¡no tenemos idea en absoluto de dónde está! El resultado final es que no podemos saber exactamente dónde está un electrón sin perder información sobre su impulso, y viceversa. Esto tiene muchas implicaciones extrañas. Por ejemplo, si sabemos que el electrón está dentro del núcleo (\(\Delta x \sim 1.5 \times 10^{-14} \mathrm{~m}\)), entonces tenemos muy poca idea de su impulso (qué tan rápido y hacia dónde va). Estas incertidumbres inherentes en las propiedades de los sistemas de nivel atómico son una de sus características clave. Por ejemplo, podemos estimar algunas propiedades con mucha precisión pero no podemos saber todo sobre un sistema de nivel atómico/molecular en un momento dado. Esta es una perspectiva muy diferente a la que reemplazó, que fue famosa resumida por Pierre-Simon Laplace (1749—1827), quien afirmó que si se conocían las posiciones y velocidades de cada objeto del universo, se establecería el futuro:

Podemos considerar el estado presente del universo como el efecto de su pasado y la causa de su futuro. Un intelecto que en un momento determinado conocería todas las fuerzas que ponen en movimiento a la naturaleza, y todas las posiciones de todos los elementos de los que está compuesta la naturaleza, si este intelecto fuera también lo suficientemente vasto como para someter estos datos a análisis, abrazaría en una sola fórmula los movimientos de los cuerpos más grandes del universo y los del átomo más pequeño; para tal intelecto nada sería incierto y el futuro al igual que el pasado estaría presente ante sus ojos. — Pierre-Simon Laplace (1745-1827)

Resulta que una falla importante en el modelo de Bohr del átomo fue que intentó definir tanto la posición de un electrón (una órbita definida) como su energía, o al menos la diferencia de energía entre órbitas, al mismo tiempo. Si bien tal objetivo parece bastante razonable y sería posible a nivel macroscópico, simplemente no es posible a nivel atómico. La naturaleza de onda del electrón hace imposible predecir exactamente dónde está ese electrón si también conocemos su nivel de energía. De hecho, sí conocemos las energías de los electrones con mucha precisión debido a la evidencia de la espectroscopia. Volveremos a considerar este punto más adelante en este capítulo.

Preguntas

Preguntas para responder

• ¿Cómo cambia la longitud de onda de una partícula a medida que aumenta la masa?
• La constante de Planck es\(h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}\). ¿Cuáles son las implicaciones para las partículas de tamaño macroscópico? (\(1 \mathrm{~J} =\)la energía cinética de una masa de dos kilogramos moviéndose a la velocidad de\(1 \mathrm{~m/s}\).)
• ¿Cuál sería la longitud de onda del poseedor del récord mundial para el\(100 \mathrm{~-m}\) sprint? ¿Qué suposiciones tienes que hacer para responder a esta pregunta?
• ¿Cuál es la longitud de onda de una proteína de\(60,000\) daltons? (Es decir, si la proteína tiene una masa molar de\(60,000 \mathrm{~g/M}\), ¿cuál es la masa de una molécula de la proteína?)

Preguntas para reflexionar

• ¿Cuál es la incertidumbre en tu impulso, si el error en tu posición es\(0.01 \mathrm{~m}\) (recordando
  esa constante de Planck\(h=6.626068 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}\))?
• ¿Cómo es que experimentamos que los objetos tienen velocidades y posiciones muy definidas?
• ¿Se necesita energía para determinar tu posición?
• ¿Cómo se relaciona el comportamiento de emisión y absorción de los átomos con las energías electrónicas?