1.2: Cifras significativas

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Resultados de aprendizaje

Distinguir entre exactitud y precisión.
Explicar el concepto de cifras significativas.
Informar respuestas a cálculos con el número correcto de cifras significativas.

En química, estamos mirando las medidas y no sólo los números. Por lo tanto, es necesario poder contar el número de cifras significativas y reportar mediciones al nivel correcto de precisión. El valor reportado debe ser lo más preciso posible sin sumar dígitos a un valor que no pueda medirse.

Precisión y precisión

En el habla cotidiana, los términos exactitud y precisión se utilizan frecuentemente de manera intercambiable. Sin embargo, sus significados científicos son bastante diferentes. La precisión es una medida de lo cerca que está una medición del valor correcto o aceptado de la cantidad que se mide. La precisión es una medida de lo cerca que están una serie de mediciones entre sí. Las mediciones precisas son altamente reproducibles, incluso si las mediciones no están cerca del valor correcto. Los dardos lanzados a una diana son útiles para ilustrar la precisión y precisión (vea la figura a continuación).

Supongamos que se lanzan tres dardos a la diana, con la diana representando el valor verdadero, o aceptado, de lo que se está midiendo. Un dardo que golpea el blanco es muy preciso, mientras que un dardo que aterriza lejos del ojo de buey muestra poca precisión. En la foto de arriba se encuentran los cuatro posibles resultados.

(A) Los dardos han aterrizado lejos el uno del otro y lejos del ojo de toro. Esta agrupación demuestra mediciones que no son ni precisas ni precisas.

(B) Los dardos están cerca uno del otro, pero lejos de la diana. Esta agrupación demuestra mediciones que son precisas, pero no precisas. En una situación de laboratorio, la alta precisión con baja precisión a menudo resulta de un error sistemático. O el medidor comete el mismo error repetidamente o la herramienta de medición es de alguna manera defectuosa. Un equilibrio mal calibrado puede dar la misma lectura masiva cada vez, pero estará lejos de la verdadera masa del objeto.

(C) Los dardos no están agrupados muy cerca uno del otro, sino que generalmente están centrados alrededor del ojo de toro. Esto demuestra una precisión pobre pero una precisión bastante alta. Esta situación no es deseable porque en una situación de laboratorio, no sabemos dónde está realmente el “ojo de buey”. Continuando con esta analogía, se toman medidas para encontrar el ojo de buey. Si solo pudiéramos ver las ubicaciones de los dardos y no el ojo de buey, la gran extensión dificultaría tener confianza en dónde estaba el centro exacto, aunque supiéramos que los dardos fueron lanzados con precisión (lo que correspondería a tener equipo que está calibrado y operado correctamente).

(D) Los dardos están agrupados y han dado en el blanco. Esto demuestra alta precisión y alta precisión. Los científicos siempre se esfuerzan por maximizar ambos en sus mediciones. Volviendo a nuestra situación de laboratorio, donde podemos ver los dardos pero no el ojo de buey, tenemos un rango de posibilidades mucho más estrecho para el centro exacto que en la situación menos precisa representada en la parte C.

Cifras significativas en mediciones

Siempre existe algún error o incertidumbre en cualquier medición. La cantidad de incertidumbre depende tanto de la habilidad del medidor como de la calidad de la herramienta de medición. Mientras que algunas balanzas son capaces de medir masas solo al más cercano\(0.1 \: \text{g}\), otras balanzas altamente sensibles son capaces de medir al más cercano\(0.001 \: \text{g}\) o incluso mejor. Muchas herramientas de medición, como reglas y cilindros graduados, tienen líneas pequeñas que deben ser leídas cuidadosamente para poder realizar una medición. A continuación se muestra un objeto (indicado por la flecha azul) cuya longitud está siendo medida por dos reglas diferentes.

Con cualquiera de las reglas, es claro que la longitud del objeto es de entre 2 y 3 centímetros. La regla inferior no contiene marcas milimétricas, por lo que el dígito décimo solo puede estimarse, y la longitud puede ser reportada por un observador como\(2.5 \: \text{cm}\). No obstante, otra persona podrá juzgar que la medición es\(2.4 \: \text{cm}\) o quizás\(2.6 \: \text{cm}\). Si bien el 2 es conocido con certeza, el valor del dígito décimo es incierto.

La regla superior contiene marcas por décimas de centímetro (milímetros). Ahora, el mismo objeto puede medirse como\(2.55 \: \text{cm}\). El medidor es capaz de estimar el dígito centésimas porque puede estar seguro de que el dígito décimo es un 5.

Figura\(\PageIndex{4}\): Las mediciones pueden ser más o menos precisas dependiendo de las marcas en la regla.

Nuevamente, otro medidor podrá reportar la longitud a ser\(2.54 \: \text{cm}\) o\(2.66 \: \text{cm}\). En este caso, hay dos dígitos determinados (el 2 y el 5), siendo incierto el dígito de centésimas. Claramente, la regla superior es una regla superior para medir longitudes con la mayor precisión posible.

Las cifras significativas en una medida consisten en todos los dígitos determinados en esa medida más un dígito incierto (estimado). En una medición correctamente reportada, el dígito final es significativo pero no cierto. No se reportan cifras insignificantes.

Reglas para la Determinación de Cifras Significativas

1. Todos los dígitos distintos de cero son significativos.

237 tiene tres cifras significativas
1.897 tiene cuatro cifras significativas

2. Los ceros entre cifras significativas son significativos.

39004 tiene cinco cifras significativas
2.03 tiene tres cifras significativas

3. Los ceros que aparecen a la izquierda de todos los dígitos distintos de cero se denominan ceros de marcador de posición y no son significativos.

0.008 tiene una cifra significativa
0.0000416 tiene tres cifras significativas

4. Los ceros que aparecen después del último dígito distinto de cero pueden ser significativos.

a. Si el número es mayor que 1 y el cero o los cero no van seguidos de un punto decimal, entonces el número de cifras significativas es ambiguo.

140 es ambiguo

b. Si al cero le sigue un punto decimal, entonces el cero es significativo.

140. tiene tres cifras significativas (anote el punto decimal después del cero)

c. Si el cero está después de un punto decimal, entonces el cero es significativo.

141.0 tiene cuatro cifras significativas

Es necesario enfatizar que el hecho de que un determinado dígito no sea significativo no significa que no sea importante o que pueda quedar fuera. Aunque el cero en una medición de 140 puede no ser significativo, el valor no puede ser reportado simplemente como 14. Un cero insignificante funciona como marcador de posición para el punto decimal. Cuando los números se escriben en notación científica, esto se vuelve más evidente. La medida 140 se puede escribir como\(1.4 \times 10^2\), con dos cifras significativas en el coeficiente o como\(1.40 \times 10^3\), con tres cifras significativas. Un número menor que uno, como 0.000416, se puede escribir en notación científica como\(4.16 \times 10^{-4}\), que tiene 3 cifras significativas. En algunos casos, la notación científica es la única forma de indicar correctamente el número correcto de cifras significativas. Para reportar un valor de 15.000,00 con cuatro cifras significativas, habría que escribirse como\(1.500 \times 10^7\).

Cantidades exactas

Cuando se conocen exactamente los números, no se aplican las reglas de cifras significativas. Esto ocurre cuando los objetos se cuentan en lugar de medirse. Por ejemplo, una caja de huevos tiene 12 huevos. El valor real no puede ser de 11.8 huevos, ya que contamos los huevos en cantidades de número entero. Entonces el 12 es una cantidad exacta. Se considera que las cantidades exactas tienen un número infinito de cifras significativas; la importancia de este concepto se verá más adelante cuando comencemos a observar cómo se tratan las cifras significativas durante los cálculos. Los números en muchos factores de conversión, especialmente para conversiones de unidades simples, también son cantidades exactas y tienen cifras significativas infinitas. Hay exactamente 100 centímetros en 1 metro y exactamente 60 segundos en 1 minuto. Esos valores son definiciones y no son el resultado de una medición.

Cálculos

Sumando y restando cifras significativas

La suma o diferencia viene determinada por el menor número de dígitos a la derecha del punto decimal en cualquiera de los números originales.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

¿Cuál es el resultado de\(89.332 + 1.1\) cuando se responde al número correcto de cifras significativas?

Solución

El resultado matemático es\(89.332 + 1.1 = 90.432\). No obstante, necesitamos redondear la respuesta al número correcto de cifras significativas. Para la suma y resta, la respuesta debe tener el mismo número de decimales que el valor inicial con el menor número de decimales. Dado que 1.1 solo tiene un dígito después del decimal, la respuesta se redondeará a un decimal. El primer dígito que se cae es menos de cinco así que redondeamos a la baja.

La respuesta correcta es 90.4.

Multiplicar y dividir cifras significativas

El número de cifras significativas en el producto final o cociente es igual al número de cifras significativas en el valor inicial que tiene la menor cantidad de cifras significativas.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

¿Cuál es el producto de 2.8 y 4.5039 reportado al número correcto de cifras significativas?

Solución

Primero, encontramos la respuesta matemática al cálculo que es\(2.8 \times 4.5039 = 12.61092\). A continuación, necesitamos redondear la respuesta al número correcto de cifras significativas. Para la multiplicación y división, la respuesta debe redondearse a que tenga el mismo número de cifras significativas que el valor inicial con el menor número de cifras significativas. El valor 2.8 tiene dos cifras significativas mientras que 4.5039 tiene cinco. Por lo tanto, la respuesta debe tener dos cifras significativas por lo que debemos redondear la respuesta a 13 porque el primer dígito a caer es mayor que 5, por lo que necesitamos redondear hacia arriba.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Una bolsa de caramelos de chocolate tiene una masa de 8.25 onzas. Los caramelos iban a dividirse entre 4 personas. ¿Cuántas onzas debe recibir cada persona? Informe su respuesta al número correcto de cifras significativas.

Solución

Primero, encontraremos la respuesta matemática a este cálculo:\(8.25 \div 4 = 2.0625\). Ahora, necesitamos redondear al número correcto de cifras significativas para que miremos hacia atrás en los valores iniciales. Hay tres cifras significativas en 8.25 pero 4 es un número exacto por lo que no se considera a la hora de determinar el número de cifras significativas en la respuesta. Por lo tanto, la respuesta debe redondearse a tres cifras significativas o 2.06 onzas.

Recursos Suplementarios

Colaboradores y Atribuciones

CK-12 Foundation by Sharon Bewick, Richard Parsons, Therese Forsythe, Shonna Robinson, and Jean Dupon.
Allison Soult, Ph.D. (Department of Chemistry, University of Kentucky)