1.3: Análisis Dimensional Científico

Resultados de aprendizaje

• Convertir valores entre unidades.
• Utilizar el análisis dimensional para resolver problemas.

El análisis dimensional (también llamado método de etiqueta factorial o análisis unitario) se utiliza para convertir de un conjunto de unidades a otro. Este método se utiliza tanto para conversiones simples (pies a pulgadas) como complejas (\(\text{g/cm}^3\)\(\text{kg}\)a/galón) y utiliza relaciones o factores de conversión entre diferentes conjuntos de unidades. Si bien los términos se utilizan con frecuencia indistintamente, los factores de conversión y las relaciones son diferentes. Los factores de conversión son cantidades que son iguales entre sí, como\(100 \: \text{cm} = 1 \: \text{m}\), en las que ambos valores describen una longitud. Las relaciones son entre dos valores que no son necesariamente una medida de la misma cantidad. Por ejemplo, la densidad del agua es\(1.00 \: \text{g/mL}\). Los gramos son una medida de masa mientras que los mililitros miden el volumen por lo que esto se considera una relación más que un factor de conversión. De cualquier manera, dependemos de unidades para ayudar a configurar y resolver el cálculo. Veremos ejemplos adicionales de relaciones a medida que exploramos otros detalles sobre la sustancia química.

Importancia de usar conversiones correctas

En las profesiones sanitarias, un error de cálculo puede tener literalmente una consecuencia de vida o muerte. Lee el breve artículo, Errores Med-Math y el Estudiante de Enfermería en http://www.alysion.org/dimensional/matherrors.htm, para entender mejor la importancia de las unidades y corregir los cálculos.

Factores de conversión

Muchas cantidades se pueden expresar de varias maneras diferentes. La medición del sistema inglés de 4 tazas también es igual a 2 pintas, 1 cuarto de galón y\(\ce{1/4}\) de un galón. \(4 \: \text{cups} = 2 \: \text{pints} = 1 \: \text{quart} = 0.25 \: \text{gallon}\). Observe que el componente numérico de cada cantidad es diferente, mientras que la cantidad real de material que representa es la misma. Eso se debe a que las unidades son diferentes. Podemos establecer el mismo conjunto de igualdades para el sistema métrico:\(1 \: \text{meter} = 10 \: \text{decimeters} = 100 \: \text{centimeters} = 1000 \: \text{millimeters}\). El uso del sistema métrico de potencias de 10 para todas las conversiones hace que esto sea bastante simple. Podemos escribir factores de conversión entre cualquier par de cantidades equivalentes. En cada factor de conversión, el numerador y el denominador representan cantidades iguales por lo que todos son factores de conversión válidos. Adicionalmente, estos factores de conversión pueden invertirse o usarse en combinación con otros factores de conversión en un problema de análisis dimensional.

\[ \dfrac{\text{4 cups}}{\text{2 pints}} =\dfrac{\text{1 quart}}{\text{4 cups}} = \dfrac{\text{0.25 gallen}}{\text{1 quarter}}=1 \nonumber\]

\[ \dfrac{\text{1 meter}}{\text{10 decimeters}} =\dfrac{\text{100 centimeters}}{\text{1000 milimeters}} = \dfrac{\text{1000 milimeters}}{\text{1 meter}}=1 \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

¿En cuántos centímetros hay\(3.4 \: \text{m}\)?

Solución

Este problema requiere la conversión de una unidad a otra para que podamos usar el análisis dimensional para resolver el problema. Necesitamos identificar las unidades que se dan\(\left( \text{m} \right)\), las unidades para la respuesta\(\left( \text{cm} \right)\), y cualquier relación que relacione las unidades de los valores conocidos y desconocidos. En este caso, utilizaremos la relación de\(1 \: \text{m} = 100 \: \text{cm}\). Comience con el valor conocido y su unidad.

\[3.4 \: \text{m} \times \dfrac{?}{?} \nonumber\]

Entonces, miramos las unidades de nuestra relación para ver qué valor va en el numerador y qué valor va en el denominador. Recuerden, estamos tratando de encontrar el valor en centímetros. Dado que nuestro valor conocido está en unidades de metros, necesitamos que los medidores estén en el denominador para que se cancele. En consecuencia, los centímetros estarán en el numerador.

\[3.4 \: \text{m} \times \dfrac{100 \: \text{cm}}{1 \: \text{m}} \nonumber\]

Tenga en cuenta que los números permanecen con la unidad apropiada (100 con centímetros y 1 con metros). Ahora, los medidores se cancelarán y nos quedamos con unidades de centímetros. Siempre verifica que tu problema esté configurado completamente y que tus unidades cancelen correctamente antes de hacer el cálculo real.

\[\begin{align*}3.4 \: \cancel{\text{m}} \times \dfrac{100 \: \text{cm}}{1 \: \cancel{\text{m}}} &= 340 \: \text{cm} \\[5pt] &= 3.4 \times 10^2 \: \text{cm} \end{align*}\]

Encontramos que la respuesta es\(340 \: \text{cm}\) o\(3.4 \times 10^2 \: \text{cm}\).

Unidades Derivadas

El uso del análisis dimensional con unidades derivadas requiere un cuidado especial. Cuando las unidades son cuadradas o cúbicas como con área o volumen, los factores de conversión en sí mismos también deben ser cuadrados o en cubos. Dos unidades de volumen convenientes son el litro, que es igual a un decímetro cúbico, y los mililitros, que es igual a un centímetro cúbico. Hay así\(1000 \: \text{cm}^3\) en\(1 \: \text{dm}^3\), que es lo mismo que decir que hay\(1000 \: \text{mL}\) en\(1 \: \text{L}\). El factor de conversión de\(1 \: \text{cm}^3 = 1 \: \text{mL}\) es una conversión muy útil.

Figura\(\PageIndex{1}\): Un centímetro en cubos es el volumen ocupado por un cubo con una longitud de borde de\(1 \: \text{cm}\).

Hay\(1000 \: \text{cm}^3\) en\(1 \: \text{dm}^3\). Ya que a\(\text{cm}^3\) es igual a a\(\text{mL}\), y a\(\text{dm}^3\) es igual a a\(\text{L}\), podemos decir que hay\(1000 \: \text{mL}\) en\(1 \: \text{L}\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Convertir\(3.6 \: \text{mm}^3\) a\(\text{mL}\).

Solución

Determinar las unidades del valor conocido\(\left( \text{mm}^3 \right)\) y las unidades del valor desconocido\(\left( \text{mL} \right)\). Las unidades de inicio y finalización ayudarán a guiar la configuración del problema. A continuación, enumere cualquier factor de conversión conocido que pueda ser útil.

• \(1 \: \text{m} = 1000 \: \text{mm}\)
• \(1 \: \text{mL} = 1 \: \text{cm}^3\)
• \(1 \: \text{m} = 100 \: \text{cm}\)

Ahora, podemos configurar el problema para encontrar el valor en unidades de\(\text{mL}\). Una vez que conocemos las unidades iniciales, podemos usar los factores de conversión para encontrar la respuesta.

\[3.6 \: \text{mm}^3 \times \left( \dfrac{?}{?} \right) \nonumber\]

Continúe usando los factores de conversión entre las unidades para configurar el resto del problema. Tenga en cuenta que todas las unidades cancelan excepto\(\text{mL}\), que son las unidades solicitadas para la respuesta. Dado que los valores en estos factores de conversión son números exactos, no afectarán el número de cifras significativas en la respuesta. Solo se tendrá en cuenta el valor original (3.6) para determinar cifras significativas.

\[3.6 \: \text{mm}^3 \times \left( \dfrac{1 \: \text{m}}{1000 \: \text{mm}} \right)^3 \times \left( \dfrac{?}{?} \right) \nonumber\]

Una vez que hayas resuelto el problema, pregunta siempre si la respuesta te parece razonable. Recuerde, un milímetro es muy pequeño y un milímetro cúbico también es muy pequeño. Por lo tanto, esperaríamos un pequeño volumen lo que significa que\(0.0036 \: \text{mL}\) es razonable.

Si encuentra que olvidó los números de cubo así como las unidades, puede configurar el problema en una forma expandida que es el equivalente al método anterior para cubo de los valores numéricos.

Colaboradores y Atribuciones

• CK-12 Foundation by Sharon Bewick, Richard Parsons, Therese Forsythe, Shonna Robinson, and Jean Dupon.

• Allison Soult, Ph.D. (Department of Chemistry, University of Kentucky)