2.5: Solucionar aplicaciones de mezcla y movimiento uniforme

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Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, usted será capaz de:

Resuelve problemas de palabras de monedas
Resuelve problemas de palabras de tiques y sellos
Resuelve problemas de palabras de mezcla
Resolver aplicaciones de movimiento uniforme

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

Simplificar: $0.25x+0.10(x+4)$.
Si te perdiste este problema, revisa [link].
El número de boletos para adultos es tres más del doble del número de boletos para niños. Deje crepresentar el número de boletos de niños. Escriba una expresión para el número de boletos de adulto.
Si te perdiste este problema, revisa [link].
Convertir 4.2% a decimal.
Si te perdiste este problema, revisa [link].

Resolver problemas de palabras de monedas

Usar álgebra para encontrar el número de monedas de cinco centavos en una alcancía puede parecer tonto. Quizás te preguntes por qué simplemente no abrimos el banco y los contamos. Pero este tipo de problemas nos introduce en algunas técnicas que serán útiles a medida que avancemos en nuestro estudio de las matemáticas.

Si tenemos un montón de dimes, ¿cómo determinaríamos su valor? Si contamos el número de dimes, sabremos cuántos tenemos: el número de dimes. Pero esto no nos dice el valor de todos los dimes. Digamos que contamos 23 dimes, ¿cuánto valen? Cada centavo vale $0.10, es decir, el valor de un centavo. Para encontrar el valor total de la pila de 23 dimes, multiplica 23 por $0.10 para obtener $2.30.

El número de dimes por el valor de cada centavo es igual al valor total de los dimes.

\[\begin{align} \textit{number}·\textit{value} &= \textit{total value} \nonumber\\ 23·$0.10 &= $2.30 \nonumber\\ \end{align} \nonumber\]

Este método conduce al siguiente modelo.

VALOR TOTAL DE MONEDAS

Para el mismo tipo de moneda, el valor total de un número de monedas se encuentra utilizando el modelo

\[\textit{number}·\textit{value}=\textit{total value} \nonumber \]

número es el número de monedas
valor es el valor de cada moneda
valor total es el valor total de todas las monedas

Si tuviéramos varios tipos de monedas, podríamos continuar este proceso para cada tipo de moneda, y entonces sabríamos el valor total de cada tipo de moneda. Para obtener el valor total de todas las monedas, suma el valor total de cada tipo de moneda.

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Jesse tiene $3.02 en centavos y monedas de cinco centavos en su alcancía. El número de níqueles es tres más de ocho veces el número de centavos. ¿Cuántos níqueles y cuántos centavos tiene Jesse?

Contestar

Paso 1. Leeel problema. Determinar los tipos de monedas involucradas. Crear una tabla. Escribe en el valor de cada tipo de moneda.	peniques y níqueles Los peniques valen $0.10. Los níqueles valen $0.05.
Paso 2. Identificarlo que estamos buscando.	el número de centavos y níqueles
Paso 3. Nombre. Representar el número de cada tipo de moneda utilizando variables. El número de níqueles se define en términos del número de peniques, así que empieza con peniques. El número de níqueles es tres más de ocho veces el número de centavos.	Deja $p=$ número de peniques. $8p+3=$ número de níqueles
En el gráfico, multiplique el número y el valor para obtener el valor total de cada tipo de moneda.

Paso 4. Traducir. Escribela ecuación sumando el valor total de todos los tipos de monedas.
Paso 5. Resuelve la ecuación.
¿Cuántos níqueles?
Paso 6. Compruebala respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido. Jesse tiene 7 peniques y 59 níqueles. ¿ Es el valor total $$3.02$? $\begin{align} 7(0.01)+59(0.05) &\overset{?}{=} 3.02 \nonumber \\ 3.02 &= 3.02\checkmark \nonumber \\ \end{align}$

Ejemplo $\PageIndex{2}$

Jesse tiene $6.55 en cuartos y monedas en el bolsillo. El número de níqueles es cinco más de dos veces el número de trimestres. ¿Cuántos níqueles y cuántos cuartos tiene Jesse?

Contestar: Jess tiene 41 monedas de cinco centavos y 18 cuartos.

Ejemplo $\PageIndex{3}$

Elane tiene $7.00 en total en monedas de diez y cinco centavos en su tarro de monedas. El número de monedas de diez centavos que tiene Elane es siete menos de tres veces el número de monedas de cinco centavos. ¿Cuántas de cada moneda tiene Elane?

Contestar: Elane tiene 22 níqueles y 59 monedas de diez centavos.

A continuación se resumen los pasos para resolver un problema de palabra de moneda.

RESUELVE PROBLEMAS DE

Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
- Determinar los tipos de monedas involucradas.
- Crear una tabla para organizar la información.
  - Etiquete las columnas “tipo”, “número”, “valor” y “valor total”.
  - Enumera los tipos de monedas.
  - Escribe en el valor de cada tipo de moneda.
  - Escribe en el valor total de todas las monedas.
Identifica lo que estás buscando.
Nombra lo que estás buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
- Usa expresiones variables para representar el número de cada tipo de moneda y escríbelas en la tabla.
- Multiplica el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de moneda.
Traducir en una ecuación.
- Puede ser útil reformular el problema en una sola frase con toda la información importante. Después, traduce la oración en una ecuación.
- Escribe la ecuación sumando los valores totales de todos los tipos de monedas.
Resolver la ecuación utilizando buenas técnicas de álgebra.
Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
Contesta la pregunta con una frase completa.

Resolver problemas de palabras de tiques y sellos

Los problemas que involucran boletos o sellos son muy parecidos a los problemas de monedas. Cada tipo de boleto y sello tiene un valor, al igual que lo hace cada tipo de moneda. Por lo que para resolver estos problemas, seguiremos los mismos pasos que usamos para resolver problemas de monedas.

Ejemplo $\PageIndex{4}$

Danny pagó 15,75 dólares por timbres. El número de sellos de 49 centavos fue cinco menos de tres veces el número de sellos de 35 centavos. ¿Cuántos sellos de 49 céntimos y cuántos de 35 centavos compró Danny?

Contestar

Paso 1. Determinarlos tipos de sellos involucrados.	Sellos de 49 céntimos y 35 céntimos
Paso 2. Identificarque estamos buscando.	el número de sellos de 49 centavos y el número de sellos de 35 centavos
Paso 3. Escribirexpresiones variables para representar el número de cada tipo de sello.	Let x = número de sellos de 35 céntimos.
“El número de sellos de 49 centavos fue cinco menos de tres veces el número de sellos de 35 centavos”.	3x−5=3x−5= número de sellos de 49 céntimos

Paso 4. Escribela ecuación a partir de los valores totales.
Paso 5. Resuelve la ecuación.
¿Cuántos sellos de 49 céntimos?
Paso 6. Chequear. 10 (0.35) +25 (0.49) 3.50+12.2515.75=? =? =15.7515.7515.75 ✓ 10 (0.35) +25 (0.49) =? 15.753.50+12.25=? 15.7515.75=15.75 ✓
Paso 7. Contesta la pregunta con una frase completa.	Danny compró diez sellos de 35 centavos y veinticinco sellos de 49 centavos.

Ejemplo $\PageIndex{5}$

Eric pagó $19.88 por timbres. El número de sellos de 49 centavos fue ocho más del doble que el número de sellos de 35 centavos. ¿Cuántos sellos de 49 céntimos y cuántos de 35 centavos compró Eric?

Contestar: Eric compró treinta y dos sellos de 49 centavos y doce sellos de 35 centavos.

Ejemplo $\PageIndex{6}$

Kailee pagó $14.74 por timbres. El número de sellos de 49 centavos fue cuatro menos de tres veces el número de sellos de 20 centavos. ¿Cuántos sellos de 49 centavos y cuántos sellos de 20 centavos compró Kailee?

Contestar: Kailee compró veintiséis sellos de 49 centavos y diez sellos de 20 centavos.

En la mayoría de nuestros ejemplos hasta ahora, se nos ha dicho que una cantidad es cuatro más del doble de la otra, o algo similar. En nuestro siguiente ejemplo, tenemos que relacionar las cantidades de una manera diferente.

Supongamos que Aniket vendió un total de 100 boletos. Cada boleto era un boleto de adulto o un boleto para niños. Si vendía 20 boletos para niños, ¿cuántos boletos para adultos vendió?

¿ Has dicho “80”? ¿Cómo te diste cuenta de eso? ¿Le restaste 20 a 100?

Si vendió 45 boletos para niños, ¿cuántos boletos para adultos vendió?

¿ Has dicho “55”? ¿Cómo lo encontraste? ¿Al restar 45 de 100?

Ahora, supongamos que Aniket vendió x boletos infantiles. Entonces, ¿cuántos boletos para adultos vendió? Para averiguarlo, seguiríamos la misma lógica que usamos anteriormente. En cada caso, restamos el número de boletos para niños de 100 para obtener el número de boletos para adultos. Ahora hacemos lo mismo con x.

Esto lo hemos resumido en la tabla.

Aplicaremos esta técnica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo $\PageIndex{7}$

Un barco de observación de ballenas tenía 40 pasajeros que pagaban a bordo. El total de ingresos recaudados por boletos fue de $1,196. Los pasajeros con tarifa completa pagaron $32 cada uno y los pasajeros con tarifa reducida pagaron $26 cada uno. ¿Cuántos pasajeros de tarifa completa y cuántos pasajeros con tarifa reducida había en el barco?

Contestar

Paso 1. Determinarlos tipos de boletos involucrados.	boletos de tarifa completa y boletos de tarifa reducida
Paso 2. Identificarlo que estamos buscando.	el número de boletos de tarifa completa y boletos de tarifa reducida
Paso 3. Nombre. Representarel número de cada tipo de ticket usando variables.	Deje f = el número de boletos de tarifa completa. 40−f=40−f= el número de boletos de tarifa reducida
Sabemos que el número total de boletos vendidos fue de 40. Esto significa que el número de boletos de tarifa reducida es 40 menos que el número de boletos de tarifa completa. Multiplica el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de boleto.

Paso 4. Traducir. Escribela ecuación sumando los valores totales de cada tipo de ticket.
Paso 5. Resuelve la ecuación.
¿Cuántas tarifas reducidas?
Paso 6. Consultala respuesta. Había 26 boletos de tarifa completa a 32 dólares cada uno y 14 boletos de tarifa reducida a 26 dólares cada uno. ¿El valor total es $116? 26·3214·26==832364——1,196 ✓ 26·32=83214·26=364——1,196 ✓
Paso 7. Contesta la pregunta.	Vendieron 26 boletos de tarifa completa y 14 boletos de tarifa reducida.

Ejemplo $\PageIndex{8}$

Durante su turno en la taquilla del museo, Leah vendió 115 boletos por un total de 1,163 dólares. Los boletos para adultos cuestan $12 y los de estudiantes cuestan $5. ¿Cuántos boletos para adultos y cuántos boletos de estudiante vendió Leah?

Contestar: 84 boletos adultos, 31 boletos de estudiante

Ejemplo $\PageIndex{9}$

Galeno vendió 810 boletos para el carnaval de su iglesia por un ingreso total de 2,820 dólares. Los boletos para niños cuestan $3 cada uno y los boletos para adultos $5 cada uno. ¿Cuántos boletos infantiles y cuántos boletos para adultos vendió?

Contestar: 615 boletos para niños y 195 boletos para adultos

Resolver problemas de palabras de mezcla

Ahora resolveremos algunas aplicaciones más generales del modelo de mezcla. En problemas de mezcla, a menudo estamos mezclando dos cantidades, como pasas y nueces, para crear una mezcla, como la mezcla de rastro. En nuestras mesas tendremos una fila para cada artículo a mezclar así como una para la mezcla final.

Ejemplo $\PageIndex{10}$

Henning está mezclando pasas y nueces para hacer 25 libras de mezcla de rastro. Las pasas cuestan $4.50 la libra y las nueces cuestan $8 la libra. Si Henning quiere que su costo para la mezcla trail sea de $6.60 la libra, ¿cuántas libras de pasas y cuántas libras de nueces debe usar?

Contestar

Paso 1. Determinarqué se está mezclando.	Las 25 libras de mezcla de trail vendrán de mezclar pasas y nueces.
Paso 2. Identificarlo que estamos buscando.	el número de libras de pasas y nueces
Paso 3. Representarel número de cada tipo de ticket usando variables. Al igual que antes, rellenamos un gráfico para organizar nuestra información. Ingresamos el precio por libra para cada artículo. Multiplicamos el número por el valor para obtener el valor total.	Deje x=x= número de libras de pasas. 25−x=25−x= número de libras de nueces
Observe que la última columna de la tabla da la información de la cantidad total de la mezcla.
Paso 4. Traduciren una ecuación.	El valor de las pasas más el valor de las nueces será el valor de la mezcla de rastro.
Paso 5. Resuelve la ecuación.

Encuentra el número de libras de nueces.
Paso 6. Chequear. 4.5 (10) +8 (15) 45+120165=? =? =25 (6.60) 165165 ✓ 4.5 (10) +8 (15) =? 25 (6.60) 45+120=? 165165=165 ✓
Paso 7. Contesta la pregunta.	Henning mezcló diez libras de pasas con 15 libras de nueces.

Ejemplo $\PageIndex{11}$

Orlando está mezclando nueces y cuadrados de cereal para hacer una mezcla de fiesta. Los frutos secos se venden por 7 dólares la libra y los cuadrados de cereales se venden por 4 dólares la libra. Orlando quiere hacer 30 libras de mezcla de fiesta a un costo de $6.50 la libra, ¿cuántas libras de nueces y cuántas libras de cuadrados de cereales debe usar?

Contestar: Orlando mezcló cinco libras de cuadrados de cereales y 25 libras de nueces.

Ejemplo $\PageIndex{12}$

Becca quiere mezclar jugo de fruta y refresco para hacer un ponche. Ella puede comprar jugo de frutas por $3 el galón y refresco por $4 el galón. Si quiere hacer 28 galones de ponche a un costo de $3.25 el galón, ¿cuántos galones de jugo de fruta y cuántos galones de refresco debe comprar?

Contestar: Becca mezcló 21 galones de ponche de fruta y siete galones de refresco.

Resolver aplicaciones de movimiento uniforme

Cuando conduces por la interestatal usando tu control de crucero, la velocidad de tu auto permanece igual: es uniforme. Llamamos a un problema en el que la velocidad de un objeto es constante una aplicación de movimiento uniforme . Utilizaremos la fórmula de distancia, tarifa y tiempo, $D=rt$, para comparar dos escenarios, como dos vehículos que viajan a diferentes tarifas o en direcciones opuestas.

Nuestras estrategias de resolución de problemas seguirán aplicándose aquí, pero vamos a sumar al primer paso. El primer paso incluirá dibujar un diagrama que muestre lo que está sucediendo en el ejemplo. Dibujar el diagrama nos ayuda a entender lo que está sucediendo para que escribiremos una ecuación apropiada. Después haremos una mesa para organizar la información, como hicimos para las solicitudes de monedas, boletos y sellos.

Los pasos se enumeran aquí para una fácil referencia:

SOLUCIONAR UNA APLICACIÓN DE MOVIMIENTO UNI

Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
- Dibuja un diagrama para ilustrar lo que está sucediendo.
- Crear una tabla para organizar la información.
  - Etiquetar la velocidad de las columnas, tiempo, distancia.
  - Enumere los dos escenarios.
  - Escribe en la información que conozcas.
Identifica lo que estás buscando.
Nombra lo que estás buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
- Completa la tabla.
- Utilice expresiones variables para representar esa cantidad en cada fila.
- Multiplica la velocidad por el tiempo para obtener la distancia.
Traducir en una ecuación.
- Reafirmar el problema en una sola frase con toda la información importante.
- Después, traduce la oración en una ecuación.
Resolver la ecuación utilizando buenas técnicas de álgebra.
Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
Contesta la pregunta con una frase completa.

A Wayne y Dennis les gusta andar en bicicleta desde Riverside Park hasta la playa. La velocidad de Dennis es siete millas por hora más rápida que la velocidad de Wayne, por lo que Wayne tarda dos horas en llegar a la playa mientras que Dennis tarda 1.5 horas para el viaje. Encuentra la velocidad de ambos motoristas.

Contestar

Paso 1. Leeel problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.

Dibuja un diagrama para ilustrar lo que está sucediendo. A continuación se muestra un bosquejo de lo que está sucediendo en el ejemplo.

Crear una tabla para organizar la información.

Etiquete las columnas “Tasa”, “Tiempo” y “Distancia”.
Enumere los dos escenarios.
Escribe en la información que conozcas.

Paso 2. Identificalo que estás buscando.

Se le pide que encuentre la velocidad de ambos ciclistas.

Observe que la fórmula de distancia usa la palabra “tasa”, pero es más común usar “velocidad”

cuando hablamos de vehículos en inglés cotidiano.

Paso 3. Nombralo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.

Complete el gráfico Use expresiones variables para representar esa cantidad en cada fila.
Estamos buscando la velocidad de los moteros. Vamos a representar r la velocidad de Wayne. Dado que la velocidad de Dennis es 7 mph más rápida, representamos eso como $r+7$
$\begin{align} r+7 &= \text{Dennis’ speed} \nonumber \\ r &= \text{Wayne’s speed} \nonumber \\ \end{align}$
Rellenar las velocidades en el gráfico.

Multiplica la velocidad por el tiempo para obtener la distancia.

Paso 4. Traduciren una ecuación.

Reafirmar el problema en una sola frase con toda la información importante.

Después, traduce la oración en una ecuación.
La ecuación para modelar esta situación vendrá de la relación entre las distancias. Mira el diagrama que dibujamos arriba. ¿Cómo se relaciona la distancia recorrida por Dennis con la distancia recorrida por Wayne?
Dado que ambos ciclistas salen de Riverside y viajan a la playa, recorren la misma distancia. Por lo que escribimos:

Paso 5. Resolver la ecuación utilizando técnicas de álgebra.

Ahora resuelve esta ecuación.	Entonces la velocidad de Wayne es de 21 mph.
Encuentra la velocidad de Dennis.	Velocidad de Dennis 28 mph.

Paso 6. Compruebala respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.

$\begin{align} \text{} &{28\text{ mph}(1.5\text{ hours}) } &= {42\text{ miles}\checkmark} \nonumber \\ \text{} &{21\text{ mph}(2\text{ hours})} &= {42\text{ miles}\checkmark} \nonumber \\ \end{align} $

Paso 7. Contesta la pregunta con una frase completa.

Wayne montó a 21 mph y Dennis montó a 28 mph.

Reafirmar el problema en una sola frase con toda la información importante.

Un tren expreso y un tren local salen de Pittsburgh para viajar a Washington, D.C El tren expreso puede hacer el viaje en cuatro horas y el tren local tarda cinco horas para el viaje. La velocidad del tren expreso es 12 millas por hora más rápida que la velocidad del tren local. Encuentra la velocidad de ambos trenes.

Contestar: La velocidad del tren local es de 48 mph y la velocidad del tren expreso es de 60 mph.

Ejemplo $\PageIndex{15}$

Jeromy puede conducir desde su casa en Cleveland hasta su universidad en Chicago en 4.5 horas. A su madre le toma seis horas hacer la misma unidad. Jeromy maneja 20 millas por hora más rápido que su madre. Encuentra la velocidad de Jeromy y la velocidad de su madre.

Contestar: Jeromy manejó a una velocidad de 80 mph y su madre manejó 60 mph.

En Ejemplo, teníamos a dos ciclistas viajando la misma distancia. En el siguiente ejemplo, dos personas conducen una hacia la otra hasta que se encuentran.

Ejemplo $\PageIndex{16}$

Carina está conduciendo de su casa en Anaheim a Berkeley el mismo día que su hermano conduce de Berkeley a Anaheim, por lo que deciden reunirse para almorzar en el camino en Buttonwillow. La distancia de Anaheim a Berkeley es de 395 millas. Carina tarda tres horas en llegar a Buttonwillow, mientras que su hermano conduce cuatro horas para llegar allí. La velocidad promedio de Carina es 15 millas por hora más rápida que la velocidad promedio de su hermano. Encuentra las velocidades promedio de Carina y de su hermano.

Contestar

Paso 1. Leeel problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.

Dibuja un diagrama para ilustrar lo que está sucediendo. A continuación se muestra un boceto de lo que está sucediendo en el ejemplo.

Crear una tabla para organizar la información.

Etiquetar la velocidad de las columnas, tiempo, distancia.
Enumere los dos escenarios.
Escribe en la información que conozcas.

Paso 2. Identificarlo que estamos buscando.

Se nos pide encontrar las velocidades promedio de Carina y su hermano.

Paso 3. Nombralo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.

Completa la tabla. Utilice expresiones variables para representar esa cantidad en cada fila.
Estamos buscando sus velocidades promedio. Vamos a representar r la velocidad promedio de Carina. Ya que la velocidad del hermano es 15 mph más rápida, representamos eso como $r+15$.
Rellene las velocidades en el gráfico. Multiplica la velocidad por el tiempo para obtener la distancia.

Paso 4. Traduciren una ecuación.

Reafirmar el problema en una sola frase con toda la información importante. Después, traduce la oración en una ecuación.
Nuevamente, necesitamos identificar una relación entre las distancias para poder escribir una ecuación. Mira el diagrama que creamos arriba y observa la relación entre la distancia que recorrió Carina y la distancia que recorrió su hermano.
La distancia que recorrió Carina más la distancia que recorrió su hermano deben sumar 410 millas. Por lo que escribimos:

La figura muestra que la distancia recorrida por Carina más la distancia recorrida por su hermano es igual a 410, y cuando se traduce en una ecuación, el resultado es 3 r más 4 veces la cantidad r más 15 es igual a 410.

Paso 5. Resolver la ecuación utilizando técnicas de álgebra.

Ahora resuelve esta ecuación.	Por lo que la velocidad del hermano de Carina era de 50 mph.
La velocidad de Carina es de r+15.r+15.	La velocidad de su hermano era de 65 mph.

Paso 6. Compruebala respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.

$\begin{array} {llll} \text{Carina drove} &{65\text{ mph}(3\text{ hours})} &= &{\underline{195 \text{ miles}}} \\ \text{Her brother drove} &{50\text{ mph}(4\text{ hours})} &= &{\underline{200 \text{ miles}}} \\ {} &{} &{} &{395\text{ miles}\checkmark} \\ \end{array} $

Paso 7. Contesta la pregunta con una frase completa.

Carina manejaba 65 mph y su hermano 50 mph.

mi manejó a una velocidad de 80 mph y su madre manejó 60 mph.

Ejemplo $\PageIndex{17}$

Christopher y sus padres viven a 115 millas de distancia. Se conocieron en un restaurante entre sus casas para celebrar el cumpleaños de su madre. Christopher manejó una hora y media mientras que sus padres manejaron una hora para llegar al restaurante. La velocidad promedio de Christopher era diez millas por hora más rápida que la velocidad promedio de sus padres. ¿Cuáles fueron las velocidades promedio de Christopher y de sus padres mientras conducían hasta el restaurante?

Contestar: La velocidad de Christopher era de 50 mph y la de sus padres era de 40 mph.

Ejemplo $\PageIndex{18}$

Ashley va a la universidad en Minneapolis, a 234 millas de su casa en Sioux Falls. Ella quiere que sus padres le traigan más ropa de invierno, por lo que deciden reunirse en un restaurante en la carretera entre Minneapolis y Sioux Falls. Ashley y sus padres condujeron dos horas hasta el restaurante. La velocidad promedio de Ashley fue siete millas por hora más rápida que la velocidad promedio de sus padres. Encuentra la velocidad promedio de Ashley y de sus padres.

Contestar: Los padres de Ashley manejaron 55 mph y Ashley manejó 62 mph.

Al leer el siguiente ejemplo, piense en la relación de las distancias recorridas. ¿Cuál de los dos ejemplos anteriores es más similar a esta situación?

Ejemplo $\PageIndex{19}$

Dos camioneros salen de un área de descanso en la interestatal al mismo tiempo. Un camión viaja hacia el este y el otro hacia el oeste. El camión que viaja hacia el oeste viaja a 70 mph y el camión que viaja hacia el este tiene una velocidad promedio de 60 mph. ¿Cuánto tiempo viajarán antes de que estén a 325 millas de distancia?

Contestar

Paso 1. Leeel problema. Hacer que se entiendan todas las palabras e ideas.

Dibuja un diagrama para ilustrar lo que está sucediendo.

Crear una tabla para organizar la información.

Etiquetar la velocidad de las columnas, tiempo, distancia.
Enumere los dos escenarios.
Escribe en la información que conozcas.

Paso 2. Identificarlo que estamos buscando.

Se nos pide encontrar la cantidad de tiempo que viajarán los camiones hasta que estén a 325 millas de distancia.

Paso 3. Nombralo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.

Completa la tabla. Utilice expresiones variables para representar esa cantidad en cada fila.
Estamos buscando el tiempo viajado. Ambos camiones viajarán la misma cantidad de tiempo.
Llamemos al tiempo t. Dado que sus velocidades son diferentes, recorrerán diferentes distancias.

Multiplica la velocidad por el tiempo para obtener la distancia.

Paso 4. Traduciren una ecuación.

Reafirmar el problema en una sola frase con toda la información importante. Después, traduce la oración en una ecuación.
Necesitamos encontrar una relación entre las distancias para poder escribir una ecuación. Mirando el diagrama, ¿cuál es la relación entre las distancias que recorrerá cada uno de los camiones?
La distancia recorrida por el camión que va hacia el oeste más la distancia recorrida por el camión que va hacia el este deben sumar 325 millas. Por lo que escribimos:

La figura muestra que la distancia recorrida por el camión hacia el oeste más la distancia recorrida por el camión hacia el este es igual a 325, y cuando se traduce en una ecuación, el resultado es 70 t más 60 t es igual a 325.

Paso 5. Resolver la ecuación utilizando técnicas de álgebra.

$ \quad \text{Now solve this equation} \qquad\begin{align} 70t+60t &= 325 \nonumber\\ 130t &= 325 \nonumber\\ t &= 2.5 \nonumber\\ \end{align} $

Por lo que tardarán $2.5$ horas los camiones en estar a 325 millas de distancia.

Paso 6. Compruebala respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.

$\begin{array} {llll} \text{Truck going West} &{70\text{ mph}(2.5\text{ hours})} &= &{\space175\text{ miles}\space} \\ \text{Truck going East} &{60\text{ mph}(2.5\text{ hours})} &= &{\underline{\space150\text{ miles}\space}} \\ {} &{} &{} &{325\text{ miles}\checkmark} \\ \end{array}$

Paso 7. Contesta la pregunta con una frase completa.
A los camiones les tomará 2.5 horas estar a 325 millas de distancia.

Ejemplo $\PageIndex{20}$

Pierre y Monique salen de su casa en Portland al mismo tiempo. Pierre conduce hacia el norte en la autopista de peaje a una velocidad de 75 millas por hora mientras que Monique conduce hacia el sur a una velocidad de 68 millas por hora. ¿Cuánto tiempo les tomará estar a 429 millas de distancia?

Contestar: Pierre y Monique estarán a 429 millas de distancia en 3 horas.

Ejemplo $\PageIndex{21}$

Thanh y Nhat salen de su oficina en Sacramento al mismo tiempo. Thanh conduce hacia el norte por la I-5 a una velocidad de 72 millas por hora. Nhat conduce hacia el sur por la I-5 a una velocidad de 76 millas por hora. ¿Cuánto tiempo les tomará estar a 330 millas de distancia?

Contestar: Thanh y Nhat estarán a 330 millas de distancia en 2.2 horas.

Es importante asegurarse de que las unidades coincidan cuando usamos la fórmula de velocidad de distancia y tiempo. Por ejemplo, si la tarifa es en millas por hora, entonces el tiempo debe ser en horas.

Ejemplo $\PageIndex{22}$

Cuando Naoko camina a la escuela, le lleva 30 minutos. Si ella monta su bicicleta, le toma 15 minutos. Su velocidad es de tres millas por hora más rápida cuando monta su bicicleta que cuando camina. ¿Cuál es su velocidad caminando y su velocidad montando su bicicleta?

Contestar

En primer lugar, trazamos un diagrama que representa la situación para ayudarnos a ver lo que está sucediendo.

En la figura se muestra el movimiento uniforme cuando Naoko camina a la escuela y cuando monta su bicicleta a la escuela. Su caminata a la escuela está representada por una flecha etiquetada como “30 minutos”. Su viaje a la escuela está representado por una segunda flecha de la misma longitud y en la misma dirección etiquetada “3 millas por hora más rápido” y “15 minutos”. Un soporte representa la distancia entre su casa y la escuela.

Se nos pide que la encontremos caminando a velocidad y montando su bicicleta. Llamémosla velocidad de marcha r. Ya que su velocidad en bicicleta es tres millas por hora más rápida, llamaremos a esa velocidad $r+3$. Escribimos las velocidades en el gráfico.

La velocidad es en millas por hora, por lo que necesitamos expresar los tiempos en horas, también, para que las unidades sean las mismas. Recuerda, 1 hora son 60 minutos. Por lo tanto:

\[\begin{array} {l} {} \\ \text{30 minutes is } \frac{30}{60} \text{ or }\frac{1}{2}\text{ hour} \\ \text{15 minutes is } \frac{15}{60} \text{ or }\frac{1}{4}\text{ hour} \\ \nonumber \end{array}\]

Escribimos los tiempos en el gráfico.

A continuación, multiplicamos tasa por tiempo para rellenar la columna de distancia.

Este gráfico tiene dos columnas y tres filas. La primera fila es un encabezado y etiqueta la segunda columna “Tarifa en millas por horas veces El tiempo en horas es igual a Distancia en millas”. La segunda columna de encabezado se subdivide en tres columnas para “Tasa”, “Tiempo” y “Distancia”. La primera columna es un encabezado y etiqueta la segunda fila “Paseo” y la tercera fila “Bicicleta”. En la fila 2, la velocidad es r, el tiempo es media hora, y la distancia es media r En la fila 3, la velocidad es la expresión r más 3, el tiempo es un cuarto hora y la distancia es un cuarto por la cantidad r más 3.

La ecuación vendrá de que la distancia desde la casa de Naoko hasta su escuela es la misma ya sea que esté caminando o montando su bicicleta.
Por eso decimos:


Traducir a una ecuación.
Resuelva esta ecuación.
Borrar las fracciones multiplicando por el LCD de todas las fracciones de la ecuación.
Simplificar.
	6
Vamos a comprobar si esto funciona. $\begin{array} {lll} {\text{Walk }3\text{ mph }(0.5\text{ hour})} &= &{1.5\text{ miles}} \\ {\text{Bike }6\text{ mph }(0.25\text{ hour})} &= &{1.5\text{ miles}} \\ \end{array}$

Sí, de cualquier manera Naoko viaja 1.5 millas a la escuela.

La velocidad de caminata de Naoko es de 3 mph y su velocidad en bicicleta es de 6 mph.

Ejemplo $\PageIndex{23}$

Suzy tarda 50 minutos en caminar cuesta arriba desde el estacionamiento hasta la torre vigía. Le toma 30 minutos volver a caminar hasta el estacionamiento. Su velocidad cuesta abajo es 1.2 millas por hora más rápida que su velocidad cuesta arriba. Encuentra las velocidades de Suzy cuesta arriba y cuesta abajo.

Contestar: La velocidad de Suzy cuesta arriba es de 1.81.8 mph y cuesta abajo es de tres mph.

Ejemplo $\PageIndex{24}$

Llewyn tarda 45 minutos en conducir su bote río arriba desde el muelle hasta su lugar de pesca favorito. Le toma 30 minutos conducir la lancha de regreso río abajo hasta el muelle. La velocidad del barco que va aguas abajo es cuatro millas por hora más rápida que su velocidad que va aguas arriba. Encuentra las velocidades aguas arriba y aguas abajo del barco.

Contestar: La velocidad de la embarcación aguas arriba es de ocho mph y aguas abajo es de 12 mph.

En la fórmula de distancia, tasa y tiempo, el tiempo representa la cantidad real de tiempo transcurrido (en horas, minutos, etc.). Si un problema nos da tiempos de inicio y fin como tiempos de reloj, debemos encontrar el tiempo transcurrido para poder utilizar la fórmula.

Ejemplo $\PageIndex{25}$

Cruz se está entrenando para competir en un triatlón. Salió de su casa a las 6:00 y corrió hasta las 7:30. Después montó su bicicleta hasta las 9:45. Cubrió una distancia total de 51 millas. Su velocidad al andar en bicicleta fue 1.6 veces su velocidad al correr. Encuentra las velocidades de Cruz en bicicleta y carrera.

Contestar

Un diagrama nos ayudará a modelar este viaje.

En la figura se muestra el movimiento uniforme del entrenamiento de Cruz para un triatlón. El camino de Cruz está representado por una flecha etiquetada como “correr” que comienza a las 6 un m y se extiende hasta las 7:30 un m y una segunda flecha etiquetada como “montó” y “1.6 veces más rápido” que comienza a las 7:30 un m y se extiende hasta las 9:45 un m; un corchete representa la distancia que recorre Cruz y se etiqueta “51 millas”.

A continuación, creamos una tabla para organizar la información. Sabemos que la distancia total es de 51 millas. Estamos buscando la tasa de velocidad para cada parte del viaje. La tasa mientras se anda en bicicleta es 1.6 veces la tasa de correr. Si dejamos r = la tasa corriendo, entonces la velocidad en bicicleta es 1.6r .

Los tiempos aquí se dan como tiempos de reloj. Cruz partió de casa a las 6:00 de la mañana y comenzó a andar en bicicleta a las 7:30 de la mañana por lo que pasó 1.5 horas corriendo. Después circuló desde las 7:30 de la mañana hasta las 9:45 de la mañana por lo que pasó 2.25 horas en bicicleta.

Ahora, multiplicamos las tasas por los tiempos.

El gráfico tiene dos columnas y cuatro filas. La primera fila es un encabezado y etiqueta la segunda columna “Tarifa en millas por hora veces El tiempo en horas es igual a Distancia en millas”. La primera columna es una columna de encabezado y etiqueta la segunda fila “correr” y la tercera fila “bicicleta” La segunda columna de encabezado se subdivide en tres columnas para la “Tasa”, “Tiempo” y “Distancia”. La cuarta fila sólo da la distancia total recorrida. En la fila 2, la tasa es r, el tiempo es de 1.5 horas, y la distancia es de 1.5 r. En la fila 3, la tasa es de 1.6, el tiempo es de 2.25 horas, y la distancia es de 2.25 por 1.6 r. En la fila 4, la distancia total recorrida es de 51 millas.

Al mirar el diagrama, podemos ver que la suma de la distancia corriendo y la distancia en bicicleta es de 255 millas.


Traducir a una ecuación.
Resuelva esta ecuación.
Chequear. $\begin{array} {lll} {\text{Run }10\text{ mph }(1.5\text{ hour})} &= &{15\text{ mi}} \\ {\text{Bike }16\text{ mph }(2.25\text{ hour})} &= &{\underline{36\text{ mi}}} \\ {} &{} &{} &{51\text{ mi}} \\ \end{array}$

Ejemplo $\PageIndex{26}$

A Hamilton le encanta viajar a Las Vegas, a 255 millas de su casa en el condado de Orange. En su último viaje, salió de su casa a las 2:00 p.m. La primera parte de su viaje fue en autopistas congestionadas de la ciudad. A las 4:00 de la tarde, el tráfico se despejó y pudo conducir por el desierto a una velocidad 1.75 veces más rápida que cuando conducía en la zona congestionada. Llegó a Las Vegas a las 6:30 p.m. ¿Qué tan rápido conducía durante cada parte de su viaje?

Contestar: Hamilton manejó 40 mph en la ciudad y 70 mph en el desierto.

Ejemplo $\PageIndex{27}$

Phuong salió de casa en su bicicleta a las 10:00. Montó por la calle plana hasta las 11:15, luego montó cuesta arriba hasta las 11:45. Montó un total de 31 millas. Su velocidad montando cuesta arriba fue 0.6 veces su velocidad en la calle plana. Encuentra su bicicleta de velocidad cuesta arriba y en la calle plana.

Contestar: Phuong montó cuesta arriba a una velocidad de 12 mph y en la calle plana a 20 mph.

Conceptos Clave

Valor Total de Monedas
Para el mismo tipo de moneda, el valor total de un número de monedas se encuentra utilizando el número de
modelo·valor=totalnumero·valor=totalvalor
- número es el número de monedas
- valor es el valor de cada moneda
- valor total es el valor total de todas las monedas
Cómo resolver problemas de palabras de monedas.
1. Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
  Determinar los tipos de monedas involucradas.
  Crear una tabla para organizar la información.
  Etiquete las columnas “tipo”, “número”, “valor”, “valor total”.
  Enumera los tipos de monedas.
  Escribe en el valor de cada tipo de moneda.
  Escribe en el valor total de todas las monedas.
2. Identifica lo que estás buscando.
3. Nombra lo que estás buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
  Usa expresiones variables para representar el número de cada tipo de moneda y escríbelas en la tabla.
  Multiplica el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de moneda.
4. Traducir en una ecuación.
  Puede ser útil replantear el problema en una sola frase con toda la información importante. Después, traduce la oración en una ecuación.
  Escribe la ecuación sumando los valores totales de todos los tipos de monedas.
5. Resolver la ecuación utilizando buenas técnicas de álgebra.
6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
7. Contesta la pregunta con una frase completa.
Cómo resolver una aplicación de movimiento uniforme
1. Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
  Dibuja un diagrama para ilustrar lo que está sucediendo.
  Crear una tabla para organizar la información.
  Etiquetar la velocidad de las columnas, tiempo, distancia.
  Enumere los dos escenarios.
  Escribe en la información que conozcas.
2. Identifica lo que estás buscando.
3. Nombra lo que estás buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
  Completa la tabla.
  Utilice expresiones variables para representar esa cantidad en cada fila.
  Multiplica la velocidad por el tiempo para obtener la distancia.
4. Traducir en una ecuación.
  Reafirmar el problema en una sola frase con toda la información importante.
  Después, traduce la oración en una ecuación.
5. Resolver la ecuación utilizando buenas técnicas de álgebra.
6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
7. Contesta la pregunta con una frase completa.

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Ejemplo \(\PageIndex{25}\)

Ejemplo \(\PageIndex{26}\)

Ejemplo \(\PageIndex{27}\)


Traducir a una ecuación.
Resuelva esta ecuación.
Chequear. \(\begin{array} {lll} {\text{Run }10\text{ mph }(1.5\text{ hour})} &= &{15\text{ mi}} \\ {\text{Bike }16\text{ mph }(2.25\text{ hour})} &= &{\underline{36\text{ mi}}} \\ {} &{} &{} &{51\text{ mi}} \\ \end{array}\)