3.3: Pendiente de una línea
Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Encuentra la pendiente de una línea
- Grafica una línea dada un punto y la pendiente
- Grafica una línea usando su pendiente e intercepción
- Elija el método más conveniente para graficar una línea
- Gráfica e interpreta aplicaciones de pendiente-intercepción
- Usar pendientes para identificar líneas paralelas y perpendiculares
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
Encuentra la pendiente de una línea
Cuando graficas ecuaciones lineales, es posible que notes que algunas líneas se inclinan hacia arriba a medida que van de izquierda a derecha y algunas líneas se inclinan hacia abajo. Algunas líneas son muy empinadas y otras son más planas.
En matemáticas, la medida de la pendiente de una línea se denomina pendiente de la línea.
El concepto de pendiente tiene muchas aplicaciones en el mundo real. En la construcción el tono de un techo, la inclinación de las tuberías de plomería, y la pendiente de las escaleras son todas aplicaciones de pendiente. Y mientras esquias o trotas por una colina, definitivamente experimentas pendiente.
Podemos asignar un valor numérico a la pendiente de una línea encontrando la relación entre la subida y la corrida. El aumento es la cantidad que cambia la distancia vertical mientras que la corrida mide el cambio horizontal, como se muestra en esta ilustración. La pendiente es una tasa de cambio. Ver Figura .
La pendiente de una línea es \(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) .
El ascenso mide el cambio vertical y la corrida mide el cambio horizontal.
Para encontrar la pendiente de una línea, localizamos dos puntos en la línea cuyas coordenadas son números enteros. Después esbozamos un triángulo recto donde los dos puntos son vértices y un lado es horizontal y un lado es vertical.
Para encontrar la pendiente de la línea, medimos la distancia a lo largo de los lados vertical y horizontal del triángulo. La distancia vertical se llama subida y la distancia horizontal se llama corrida ,
- Localice dos puntos en la línea cuyas coordenadas sean enteros.
- Empezando por un punto, dibuja un triángulo recto, pasando del primer punto al segundo punto.
- Cuenta la subida y la carrera en las patas del triángulo.
- Tomar la relación de subida a correr para encontrar la pendiente: \(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) .
Encuentra la pendiente de la línea mostrada.
- Contestar
-
Localice dos puntos en la gráfica cuyas
coordenadas sean enteros.\((0,5)\) y \((3,3)\) A partir de \((0,5)\) , dibuja un triángulo recto a
\((3,3)\) como se muestra en esta gráfica.Cuenta el ascenso— ya que baja, es negativo. El ascenso es \(−2\) . Cuenta la carrera. El plazo es de 3. Usa la fórmula de pendiente. \(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) Sustituir los valores de la subida y corrida. \(m=−23\) Simplificar. \(m=−23\) El talud de la línea es \(−23\) . Entonces y disminuye en 2 unidades a medida que x aumenta en 3 unidades.
Encuentra la pendiente de la línea mostrada.
- Contestar
-
\(-\frac{4}{3}\)
Encuentra la pendiente de la línea mostrada.
- Contestar
-
\(-\frac{3}{5}\)
¿Cómo encontramos la pendiente de las líneas horizontales y verticales? Para encontrar la pendiente de la línea horizontal, \(y=4\) , podríamos graficar la línea, encontrar dos puntos en ella, y contar la subida y la corrida. Veamos qué sucede cuando hacemos esto, como se muestra en la gráfica de abajo.
\( \begin{array} {ll} {\text{What is the rise?}} &{\text{The rise is }0.} \\ {\text{What is the run?}} &{\text{The run is }3.} \\ {\text{What is the slope?}} &{m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {} &{m=\frac{0}{3}} \\ {} &{m=0} \\{}&{\text{The slope of the horizontal line } y=4 \text{ is }0.} \\ \end{array} \nonumber\)
Consideremos también una línea vertical, la línea \(x=3\) , como se muestra en la gráfica.
\( \begin{array} {ll} {\text{What is the rise?}} &{\text{The rise is }0.} \\ {\text{What is the run?}} &{\text{The run is }3.} \\ {\text{What is the slope?}} &{m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {} &{m=\frac{2}{0}} \\ \end{array} \nonumber\)
El talud es indefinido ya que la división por cero no está definida. Por lo que decimos que la pendiente de la línea vertical \(x=3\) es indefinida.
Todas las líneas horizontales tienen pendiente 0. Cuando las coordenadas y son iguales, la subida es 0.
La pendiente de cualquier línea vertical es indefinida. Cuando las coordenadas x de una línea son todas iguales, la corrida es 0.
La pendiente de una línea horizontal, \(y=b\) , es 0.
La pendiente de una línea vertical, \(x=a\) , es indefinida.
Encuentra la pendiente de cada línea: ⓐ \(x=8\) ⓑ \(y=−5\) .
- Contestar
-
ⓐ \(x=8\)
Esta es una línea vertical. Su pendiente es indefinida.
ⓑ \(y=−5\)
Esta es una línea horizontal. Tiene pendiente 0.
Encuentra la pendiente de la línea: \(x=−4\) .
- Contestar
-
undefined
Encuentra la pendiente de la línea: \(y=7\) .
- Contestar
-
0
A veces necesitaremos encontrar la pendiente de una línea entre dos puntos cuando no tenemos una gráfica para contar la subida y la corrida. Podríamos trazar los puntos en papel cuadriculado, luego contar la subida y la corrida, pero como veremos, hay una manera de encontrar la pendiente sin graficar. Antes de llegar a ella, necesitamos introducir alguna notación algebraica.
Hemos visto que un par ordenado (x, y) (x, y) da las coordenadas de un punto. Pero cuando trabajamos con pendientes, usamos dos puntos. ¿Cómo se puede usar el mismo símbolo (x, y) (x, y) para representar dos puntos diferentes? Los matemáticos usan subíndices para distinguir los puntos.
\( \begin{array} {ll} {(x_1, y_1)} &{\text{read “} x \text{ sub } 1, \space y \text{ sub } 1 \text{”}} \\ {(x_2, y_2)} &{\text{read “} x \text{ sub } 2, \space y \text{ sub } 2 \text{”}} \\ \end{array} \nonumber\)
Utilizaremos \((x_1,y_1)\) para identificar el primer punto y \((x_2,y_2)\) para identificar el segundo punto.
Si tuviéramos más de dos puntos, podríamos usar \((x_3,y_3)\) , \((x_4,y_4)\) , y así sucesivamente.
Veamos cómo el ascenso y la corrida se relacionan con las coordenadas de los dos puntos echando otro vistazo a la pendiente de la línea entre los puntos \((2,3)\) y \((7,6)\) , como se muestra en esta gráfica.
\( \begin{array} {ll} {\text{Since we have two points, we will use subscript notation.}} &{ \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\ 6 & 6 \end{pmatrix}} \\ {} &{m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {\text{On the graph, we counted the rise of 3 and the run of 5.}} &{m=\frac{3}{5}} \\ {\text{Notice that the rise of 3 can be found by subtracting the}} &{} \\ {y\text{-coordinates, 6 and 3, and the run of 5 can be found by}} &{} \\ {\text{subtracting the x-coordinates 7 and 2.}} &{} \\ {\text{We rewrite the rise and run by putting in the coordinates.}} &{m=\frac{6-3}{7-2}} \\ {} &{} \\ {\text{But 6 is } y_2 \text{, the y-coordinate of the second point and 3 is }y_1 \text{, the y-coordinate}} &{} \\ {\text{of the first point. So we can rewrite the slope using subscript notation.}} &{m=\frac{y_2-y_1}{7-2}} \\ {\text{Also 7 is the x-coordinate of the second point and 2 is the x-coordinate}} &{} \\ {\text{of the first point. So again we rewrite the slope using subscript notation.}} &{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} \\ \end{array} \nonumber\)
Hemos demostrado que realmente \(m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\) es otra versión de \(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) . Podemos usar esta fórmula para encontrar la pendiente de una línea cuando tenemos dos puntos en la línea.
La pendiente de la línea entre dos puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) es:
\(m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\) .
La pendiente es:
\[y\text{ of the second point minus }y\text{ of the first point} \nonumber\] \[\text{over} \nonumber\] \[x\text{ of the second point minus }x\text{ of the first point} \nonumber\]
Utilice la fórmula de pendiente para encontrar la pendiente de la línea a través de los puntos \((−2,−3)\) y \((-7,4)\) .
- Contestar
-
\( \begin{array} {ll} {\text{We’ll call (−2,−3) point #1and (−7,4) point #2.}} &{ \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}} \\ {\text{Use the slope formula.}} &{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} \\ {\text{Substitute the values.}} &{} \\ {\text{y of the second point minus y of the first point}} &{} \\ {\text{x of the second point minus x of the first point}} &{m=\frac{4-(-3)}{-7-(-2)}} \\{\text{Simplify}}&{m=\frac{7}{-5}} \\ {} &{m=\frac{-7}{5}} \\ \end{array} \nonumber\)
Verifiquemos esta pendiente en la gráfica que se muestra.
\[m=\frac{\text{rise}}{\text{run}} \nonumber\] \[m=\frac{7}{−5} \nonumber\] \[m=\frac{−7}{5} \nonumber\]
Utilice la fórmula de pendiente para encontrar la pendiente de la línea a través del par de puntos: \((−3,4)\) y \((2,−1)\) .
- Contestar
-
\(-1\)
Utilice la fórmula de pendiente para encontrar la pendiente de la línea a través del par de puntos: \((−2,6)\) y \((−3,−4)\) .
- Contestar
-
10
Grafica una línea dada un punto y la pendiente
Hasta ahora, en este capítulo, hemos graficado líneas trazando puntos, utilizando interceptaciones, y reconociendo líneas horizontales y verticales.
También podemos graficar una línea cuando conocemos un punto y la pendiente de la línea. Empezaremos trazando el punto y luego usaremos la definición de pendiente para dibujar la gráfica de la línea.
Grafica la línea que pasa por el punto \((1,−1)\) cuya pendiente es \(m=\frac{3}{4}\) .
- Contestar
-
Puedes revisar tu trabajo encontrando un tercer punto. Ya que la pendiente es \(m=34\) , también se puede escribir como \(m=\frac{−3}{−4}\) (negativo dividido por negativo es positivo!). Volver a \((1,−1)\) y contar la subida, \(−3\) , y la carrera, \(−4\) .
Grafica la línea que pasa por el punto \((2,−2\) con la pendiente \(m=\frac{4}{3}\) .
- Contestar
-
Grafica la línea que pasa por el punto \((−2,3)\) con la pendiente \(m=\frac{1}{4}\) .
- Contestar
-
- Trazar el punto dado.
- Utilice la fórmula de pendiente \(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) para identificar el ascenso y la carrera.
- Empezando en el punto dado, contar la subida y correr para marcar el segundo punto.
- Conecte los puntos con una línea.
Grafica una línea usando su pendiente e interceptación
Hemos graficado ecuaciones lineales trazando puntos, utilizando interceptaciones, reconociendo líneas horizontales y verticales, y utilizando un punto y la pendiente de la recta. Una vez que veamos cómo se relacionan una ecuación en forma de pendiente-intercepción y su gráfica, tendremos un método más que podemos usar para graficar líneas.
Ver Figura . Echemos un vistazo a la gráfica de la ecuación \(y=12x+3\) y busquemos su pendiente y -intercepción.
Las líneas rojas en la gráfica nos muestran que la subida es 1 y la corrida es 2. Sustituyendo en la fórmula de pendiente:
\[m=\frac{\text{rise}}{\text{run}} \nonumber\] \[m=\frac{1}{2} \nonumber\]
La intercepción y es \((0,3)\) .
Mira la ecuación de esta línea.
Mira la pendiente y -interceptar.
Cuando se resuelve una ecuación lineal para y , el coeficiente del término x es la pendiente y el término constante es la coordenada y de la intersección y. Decimos que la ecuación \(y=12x+3\) está en forma de pendiente-intercepción. A veces, la forma pendiente-intercepción se llama la “forma y ”.
La forma pendiente-intercepción de una ecuación de una recta con pendiente m e y -intercept, \((0,b)\) es \(y=mx+b\) .
Practiquemos encontrando los valores de la pendiente y -interceptar a partir de la ecuación de una recta.
Identificar la pendiente e intersección y de la recta a partir de la ecuación:
ⓐ \(y=−\frac{4}{7}x−2\) ⓑ \(x+3y=9\)
- Contestar
-
ⓐ Comparamos nuestra ecuación con la forma pendiente-intercepción de la ecuación.
Escriba la forma pendiente-intercepción de la ecuación de la línea. Escribe la ecuación de la recta. Identificar la pendiente. Identificar la intercepción y . ⓑ Cuando una ecuación de una recta no se da en forma de pendiente-intercepción, nuestro primer paso será resolver la ecuación para y .
Resolver para y . x+3y=9x+3y=9 Resta x de cada lado. Divida ambos lados por 3. Simplificar. Escriba la forma pendiente-intercepción de la ecuación de la línea. Escribe la ecuación de la recta. Identificar la pendiente. Identificar la intercepción y .
Identificar la pendiente y -interceptar a partir de la ecuación de la recta.
ⓐ \(y=\frac{2}{5}x−1\) ⓑ \(x+4y=8\)
- Contestar
-
ⓐ \(m=\frac{2}{5}\) ; \((0,−1)\)
ⓑ \(m=−\frac{1}{4}\) ; \((0,2)\)
Identificar la pendiente y -interceptar a partir de la ecuación de la recta.
ⓐ \(y=−\frac{4}{3} x+1\) ⓑ \(3x+2y=12\)
- Contestar
-
ⓐ \(m=−\frac{4}{3}\) ; \((0,1)\)
ⓑ \(m=−\frac{3}{2}\) ; \((0,6)\)
Hemos graficado una línea utilizando la pendiente y un punto. Ahora que sabemos cómo encontrar la pendiente y -intercepción de una recta a partir de su ecuación, podemos usar la intersección y como punto, y luego contar la pendiente desde allí.
Grafica la línea de la ecuación \(y=−x+4\) usando su pendiente e intercepción y .
- Contestar
-
\(y=mx+b\) La ecuación está en forma de pendiente-intercepción. \(y=−x+4\) Identificar la pendiente y -interceptar. \(m=−1\)
y -interceptar es \((0,4)\)Trazar la intercepción y . Ver la gráfica. Identificar el ascenso sobre la carrera. \(m=−11\) Cuente la subida y corre para marcar el segundo punto. subir \(-1\) , correr \(1\)
Dibuja la línea como se muestra en la gráfica.
Grafica la línea de la ecuación \(y=−x−3\) usando su pendiente e intercepción y .
- Contestar
-
Grafica la línea de la ecuación \(y=−x−1\) usando su pendiente e intercepción y .
- Contestar
-
Ahora que hemos graficado las líneas usando la pendiente y -intercept, vamos a resumir todos los métodos que hemos utilizado para graficar las líneas.
Elija el método más conveniente para graficar una línea
Ahora que hemos visto varios métodos que podemos utilizar para graficar líneas, ¿cómo sabemos qué método usar para una ecuación dada?
Si bien podríamos trazar puntos, usar la forma pendiente-interceptar, o encontrar las interceptaciones para cualquier ecuación, si reconocemos la forma más conveniente de graficar un cierto tipo de ecuación, nuestro trabajo será más fácil.
Generalmente, trazar puntos no es la forma más eficiente de graficar una línea. Busquemos algunos patrones para ayudar a determinar el método más conveniente para graficar una línea.
Aquí hay cinco ecuaciones que graficamos en este capítulo, y el método que usamos para graficar cada una de ellas.
\[ \begin{array} {lll} {} &{\textbf{Equation}} &{\textbf{Method}} \\ {\text{#1}} &{x=2} &{\text{Vertical line}} \\ {\text{#2}} &{y=−1} &{\text{Horizontal line}} \\ {\text{#3}} &{−x+2y=6} &{\text{Intercepts}} \\ {\text{#4}} &{4x−3y=12} &{\text{Intercepts}} \\ {\text{#5}} &{y=−x+4} &{\text{Slope–intercept}} \\ \end{array} \nonumber\]
Las ecuaciones #1 y #2 tienen una sola variable. Recuerde, en ecuaciones de esta forma el valor de esa variable es constante; no depende del valor de la otra variable. Las ecuaciones de esta forma tienen gráficas que son líneas verticales u horizontales.
En las ecuaciones #3 y #4, tanto x como y están del mismo lado de la ecuación. Estas dos ecuaciones son de la forma Ax+By=C.Ax+By=C. sustituimos y=0y=0 para encontrar el intercepto x y x=0x=0 para encontrar la intersección y , para luego, encontramos un tercer punto eligiendo otro valor para x o y .
La ecuación #5 está escrita en forma de pendiente-intercepción. Después de identificar la pendiente y la intersección y de la ecuación las usamos para graficar la línea.
Esto lleva a la siguiente estrategia.
Considera la forma de la ecuación.
-
Si sólo tiene una variable, es una línea vertical u horizontal.
- \(x=a\) es una línea vertical que pasa a través del eje x en a .
- \(y=b\) es una línea horizontal que pasa por el eje y en b .
-
Si
y
se aísla en un lado de la ecuación, en la forma
\(y=mx+b\)
, grafica usando la pendiente
y
-intercept.
- Identificar la pendiente y -interceptar y y luego graficar.
-
Si la ecuación es de la forma
\(Ax+By=C\)
, encuentra los interceptos.
- Encuentra las interceptaciones x e y , un tercer punto, y luego grafica.
Determine el método más conveniente para graficar cada línea:
ⓐ \(y=5\) ⓑ \(4x−5y=20\) ⓒ \(x=−3\) ⓓ \(y=−\frac{5}{9}x+8\)
- Contestar
-
ⓐ \(y=5\)
Esta ecuación tiene una sola variable, y . Su gráfica es una línea horizontal que cruza el eje y en \(5\) .
ⓑ \(4x−5y=20\)
Esta ecuación es de la forma \(Ax+By=C\) . La forma más fácil de graficarlo será encontrar las intercepciones y un punto más.
ⓒ Solo \(x=−3\)
hay una variable, x . La gráfica es una línea vertical que cruza el eje x en \(−3\) .
ⓓ \(y=−\frac{5}{9}x+8\)
Dado que esta ecuación está en \(y=mx+b\) forma, será más fácil graficar esta línea usando la pendiente y -intercepts.
Determine el método más conveniente para graficar cada línea:
ⓐ \(3x+2y=12\) ⓑ \(y=4\) ⓒ \(y=\frac{1}{5}x−4\) ⓓ \(x=−7\) .
- Contestar
-
ⓐ intercepta ⓑ línea horizontal ⓒ pendiente-interceptar ⓓ línea vertical
Determine el método más conveniente para graficar cada línea:
ⓐ \(x=6\) ⓑ \(y=−\frac{3}{4}x+1\) ⓒ \(y=−8\) ⓓ \(4x−3y=−1\) .
- Contestar
-
ⓐ línea vertical ⓑ pendiente-intercepción ⓒ línea horizontal
ⓓ intercepta
Gráfica e interpreta aplicaciones de Slope-Intercept
Muchas aplicaciones del mundo real son modeladas por ecuaciones lineales. Vamos a echar un vistazo a algunas aplicaciones aquí para que pueda ver cómo las ecuaciones escritas en forma de pendiente-intercepción se relacionan con situaciones del mundo real.
Por lo general, cuando un modelo de ecuaciones lineales utiliza datos del mundo real, se usan diferentes letras para las variables, en lugar de usar solo x e y . Los nombres de las variables nos recuerdan qué cantidades se están midiendo.
Además, a menudo necesitaremos extender los ejes en nuestro sistema de coordenadas rectangulares a números positivos y negativos más grandes para acomodar los datos en la aplicación.
La ecuación \(F=\frac{9}{5}C+32\) se utiliza para convertir temperaturas, C, en la escala Celsius a temperaturas, F , en la escala Fahrenheit.
ⓐ Encuentra la temperatura Fahrenheit para una temperatura Celsius de 0.
ⓑ Encuentra la temperatura Fahrenheit para una temperatura Celsius de 20.
ⓒ Interpreta la pendiente y F -intercepción de la ecuación.
ⓓ Grafica la ecuación.
- Contestar
-
ⓐ
\( \begin{array} {ll} {\text{Find the Fahrenheit temperature for a Celsius temperature of 0.}} &{F=\frac{9}{5}C+32} \\ {\text{Find F when C=0.}} &{F=\frac{9}{5}(0)+32} \\ {\text{Simplify.}} &{F=32} \\ \end{array} \nonumber\)
ⓑ
\( \begin{array} {ll} {\text{Find the Fahrenheit temperature for a Celsius temperature of 20.}} &{F=\frac{9}{5}C+32} \\ {\text{Find F when C=20.}} &{F=\frac{9}{5}(20)+32} \\ {\text{Simplify.}} &{F=36+32} \\ {\text{Simplify.}} &{F=68} \\ \end{array} \nonumber\)
ⓒ
Interpreta la pendiente y F -intercepción de la ecuación.
A pesar de que esta ecuación utiliza F y C , todavía está en forma de intersección en pendiente.La pendiente, \(\frac{9}{5}\) , significa que la temperatura Fahrenheit ( F ) aumenta 9 grados cuando la temperatura Celsius ( C ) aumenta 5 grados.
La intercepción F significa que cuando la temperatura está \(0°\) en la escala Celsius, está \(32°\) en la escala Fahrenheit.
ⓓ Grafica la ecuación.
Tendremos que usar una escala mayor a la habitual. Comience en la intersección F \((0,32)\) , y luego cuente la subida de 9 y la corrida de 5 para obtener un segundo punto como se muestra en la gráfica.
La ecuación \( h =2s+50\) se utiliza para estimar la altura de una mujer en pulgadas, h , con base en su talla de zapato, s.
ⓐ Estima la altura de un niño que usa calzado de mujer talla 0.
ⓑ Estimar la altura de una mujer con talla de zapato 8.
ⓒ Interpreta la pendiente y h -intercepción de la ecuación.
ⓓ Grafica la ecuación.
- Contestar
-
ⓐ 50 pulgadas
ⓑ 66 pulgadas
ⓒ La pendiente, 2, significa que la altura, h , aumenta en 2 pulgadas cuando el tamaño del zapato, s , aumenta en 1. El intercepto h significa que cuando el tamaño del zapato es 0, la altura es de 50 pulgadas.
ⓓ
La ecuación \( T =\ frac { 1} {4} n +40\) se utiliza para estimar la temperatura en grados Fahrenheit, T , con base en el número de chirps de grillo, n , en un minuto.
ⓐ Estime la temperatura cuando no hay chirrido.
ⓑ Estime la temperatura cuando el número de chirps en un minuto es 100.
ⓒ Interpreta la pendiente y la T -intercepción de la ecuación.
ⓓ Grafica la ecuación.
- Contestar
-
ⓐ 40 grados
ⓑ 65 grados
ⓒ La pendiente, \(\frac{1}{4}\) , significa que la temperatura Fahrenheit ( F ) aumenta 1 grado cuando el número de chirps, n , aumenta en 4. La intercepción T significa que cuando el número de chirps es 0, la temperatura es de 40°.
ⓓ
El costo de ejecutar algunos tipos de negocios tiene dos componentes: un costo fijo y un costo variable . El costo fijo es siempre el mismo independientemente de cuántas unidades se produzcan. Este es el costo de renta, seguro, equipo, publicidad y otros artículos que deben pagarse regularmente. El costo variable depende del número de unidades producidas. Es por el material y mano de obra necesaria para producir cada artículo.
Sam maneja una camioneta de reparto. La ecuación \(C=0.5m+60\) modela la relación entre su costo semanal, C , en dólares y el número de millas, m , que conduce.
ⓐ Encuentra el costo de Sam por una semana cuando conduce 0 millas.
ⓑ Encuentra el costo por una semana cuando conduce 250 millas.
ⓒ Interpreta la pendiente y la intercepción C de la ecuación.
ⓓ Grafica la ecuación.
- Contestar
-
ⓐ
\( \begin{array} {ll} {\text{Find Sam’s cost for a week when he drives 0 miles.}} &{C=0.5m+60} \\ {\text{Find C when m=0.}} &{C=0.5(0)+60} \\ {\text{Simplify.}} &{C=60} \\ {} &{\text{Sam’s costs are }$\text{60 when he drives 0 miles.}} \\ \end{array} \nonumber \)
ⓑ
\( \begin{array} {ll} {\text{Find Sam’s cost for a week when he drives 250 miles.}} &{C=0.5m+60} \\ {\text{Find C when m=250.}} &{C=0.5(250)+60} \\ {\text{Simplify.}} &{C=185} \\ {} &{\text{Sam’s costs are }$\text{185 when he drives 250 miles.}} \\ \end{array} \nonumber \)
ⓒ Interpreta la pendiente y la intersección C de la ecuación.La pendiente, 0.5, significa que el costo semanal, C , aumenta en $0.50 cuando el número de millas impulsadas, n, aumenta en 1.
La intersección C significa que cuando el número de millas recorridas es 0, el costo semanal es de $60.
ⓓ Grafica la ecuación.
Tendremos que usar una escala mayor a la habitual. Comience en la intercepción \((0,60)\) C.Para contar la pendiente \(m= 0.5\) , la reescribimos como una fracción equivalente que facilitará nuestra gráfica.
\( \begin{array} {ll} {} &{m=0.5} \\ {\text{Rewrite as a fraction.}} &{m=\frac{0.5}{1}} \\ {\text{Multiply numerator and}} &{} \\ {\text{denominator by 100}} &{m=\frac{0.5(100)}{1(100)}} \\ {\text{Simplify.}} &{m=\frac{50}{100}} \\ \end{array} \nonumber \)
Entonces para graficar el siguiente punto sube 50 desde la intercepción de 60 y luego hacia la derecha 100. El segundo punto será \((100, 110)\) .
Stella tiene un negocio casero de venta de pizzas gourmet. La ecuación \(C=4p+25\) modela la relación entre su costo semanal, C , en dólares y el número de pizzas, p , que vende.
ⓐ Encuentra el costo de Stella por una semana cuando no vende pizzas.
ⓑ Encuentra el costo por una semana cuando vende 15 pizzas.
ⓒ Interpreta la pendiente y la intercepción C de la ecuación.
ⓓ Grafica la ecuación.
- Contestar
-
ⓐ $25
ⓑ $85
ⓒ La pendiente, 4, significa que el costo semanal, C , aumenta en $4 cuando el número de pizzas vendidas, p, aumenta en 1. El C -intercepto significa que cuando el número de pizzas vendidas es 0, el costo semanal es de $25.
ⓓ
Loreen tiene un negocio de caligrafía. La ecuación \(C=1.8n+35\) modela la relación entre su costo semanal, C , en dólares y el número de invitaciones de boda, n , que escribe.
ⓐ Encuentra el costo de Loreen por una semana cuando no escribe invitaciones.
ⓑ Encuentra el costo por una semana cuando escribe 75 invitaciones.
ⓒ Interpreta la pendiente y la intercepción C de la ecuación.
ⓓ Grafica la ecuación.
- Contestar
-
ⓐ $35
ⓑ $170
ⓒ La pendiente, \(1.8\) , significa que el costo semanal, C , aumenta \($1.80\) cuando el número de invitaciones, n , aumenta en 1.
El C -intercepto significa que cuando el número de invitaciones es 0, el costo semanal es de $35.
ⓓ
Usar pendientes para identificar líneas paralelas y perpendiculares
Dos líneas que tienen la misma pendiente se denominan líneas paralelas . Las líneas paralelas tienen la misma pendiente y nunca se cruzan.
Lo decimos de manera más formal en términos del sistema de coordenadas rectangulares. Dos líneas que tienen la misma pendiente y diferentes interceptaciones y se denominan líneas paralelas. Ver Figura .
Verificar que ambas líneas tengan la misma pendiente \(m=\frac{2}{5}\) ,, y diferentes intercepciones y.
¿Qué pasa con las líneas verticales? La pendiente de una línea vertical es indefinida, por lo que las líneas verticales no encajan en la definición anterior. Decimos que las líneas verticales que tienen diferentes interceptaciones x son paralelas, como las líneas que se muestran en esta gráfica.
Las líneas paralelas son líneas en el mismo plano que no se intersecan.
- Las líneas paralelas tienen la misma pendiente y diferentes intercepciones y.
- Si m1m1 y m2m2 son las pendientes de dos líneas paralelas entonces m1=m2.m1=m2.
- Las líneas verticales paralelas tienen diferentes intercepciones x
Dado que las líneas paralelas tienen la misma pendiente y diferentes intercepciones y, ahora podemos simplemente mirar la forma pendiente-intercepción de las ecuaciones de líneas y decidir si las líneas son paralelas.
Utilice taludes e intercepciones y para determinar si las líneas son paralelas:
ⓐ \(3x−2y=6\) y \(y=\frac{3}{2}x+1\) ⓑ \(y=2x−3\) y \(−6x+3y=−9\) .
- Contestar
-
ⓐ
\( \begin{array} {llll} {} &{3x−2y=6} &{\text{and}} &{y=\frac{3}{2}x+1} \\ {} &{−2y=−3x+6} &{} &{} \\ {\text{Solve the first equation for y.}} &{\frac{-2y}{-2}=\frac{-3x+6}{-2}} &{} &{} \\ {\text{The equation is now in slope–intercept form.}} &{y=\frac{3}{2}x−3} &{} &{} \\ {\text{The equation of the second line is already}} &{} &{} &{} \\ {\text{in slope–intercept form.}} &{} &{} &{y=\frac{3}{2}x+1} \\ {} &{} &{} &{} \\ {} &{y=\frac{3}{2}x−3} &{} &{y=\frac{3}{2}x+1} \\ {Identify the slope andy-intercept of both lines.} &{y=mx+b} &{} &{y=mx+b} \\ {} &{m=\frac{3}{2}} &{} &{y=\frac{3}{2}} \\ {} &{\text{y-intercept is }(0,−3)} &{} &{\text{y-intercept is }(0,1)} \\ \end{array} \nonumber\)
Las líneas tienen la misma pendiente y diferentes intercepciones y por lo tanto son paralelas.
Es posible que desee graficar las líneas para confirmar si son paralelas.
ⓑ
\( \begin{array} {llll} {} &{y=2x−3} &{\text{and}} &{−6x+3y=−9} \\ {\text{The first equation is already in slope–intercept form.}} &{y=2x−3} &{} &{} \\ {} &{} &{} &{−6x+3y=−9} \\ {} &{} &{} &{3y=6x−9} \\ {\text{Solve the second equation for y.}} &{} &{} &{\frac{3y}{3}=\frac{6x−9}{3}} \\ {} &{} &{} &{y=2x−3} \\ {\text{The second equation is now in slope–intercept form.}} &{} &{} &{y=2x−3} \\ {} &{} &{} &{} \\ {} &{y=2x−3} &{} &{y=2x−3} \\ {\text{Identify the slope andy-intercept of both lines.}} &{y=mx+b} &{} &{y=mx+b} \\ {} &{m=2} &{} &{m=2} \\ {} &{\text{y-intercept is }(0,−3)} &{} &{\text{y-intercept is }(0,-3)} \\ \end{array} \nonumber\)
Las líneas tienen la misma pendiente, pero también tienen las mismas intercepciones y . Sus ecuaciones representan la misma línea y decimos que las líneas son coincidentes. No son paralelas; son la misma línea.
Use taludes e interceptaciones y para determinar si las líneas son paralelas:
ⓐ \(2x+5y=5\) y \(y=−\frac{2}{5}x−4\) ⓑ \(y=−\frac{1}{2}x−1\) y \(x+2y=−2\) .
- Contestar
-
ⓐ paralelo ⓑ no paralelo; misma línea
Use taludes e interceptaciones y para determinar si las líneas son paralelas:
ⓐ \(4x−3y=6\) y \(y=\frac{4}{3}x−1\) ⓑ \(y=\frac{3}{4}x−3\) y \(3x−4y=12\) .
- Contestar
-
ⓐ paralelo ⓑ no paralelo; misma línea
Use taludes e interceptaciones y para determinar si las líneas son paralelas:
ⓐ \(y=−4\) y \(y=3\) ⓑ \(x=−2\) y \(x=−5\) .
- Contestar
-
ⓐ \(y=−4\) y \(y=3\)
Reconocemos de inmediato desde las ecuaciones que estas son líneas horizontales, por lo que sabemos que sus pendientes son ambas 0.
Dado que las líneas horizontales cruzan el eje y en y=−4y=−4 y en y=3, y=3, sabemos que las interceptaciones y son (0, −4) (0, −4) y (0,3). (0,3).
Las líneas tienen la misma pendiente y diferentes intercepciones y por lo tanto son paralelas.ⓑ \(x=−2\) y \(x=−5\)
Reconocemos de inmediato desde las ecuaciones que estas son líneas verticales, por lo que sabemos que sus pendientes son indefinidas.
Dado que las líneas verticales cruzan el eje x en \(x=−2\) y \(x=−5\) , sabemos que las interceptaciones \((−2,0)\) y son y \((−5,0)\) .
Las líneas son verticales y tienen diferentes x -interceptas y por lo tanto son paralelas.
Use taludes e interceptaciones y para determinar si las líneas son paralelas:
ⓐ \(y=8\) y \(y=−6\) ⓑ \(x=1\) y \(x=−5\) .
- Contestar
-
ⓐ paralelo ⓑ paralelo
Use taludes e interceptaciones y para determinar si las líneas son paralelas:
ⓐ \(y=1\) y \(y=−5\) ⓑ \(x=8\) y \(x=−6\) .
- Contestar
-
ⓐ paralelo ⓑ paralelo
Veamos las líneas cuyas ecuaciones son \(y=\frac{1}{4}x−1\) y \(y=−4x+2\) , que se muestran en la Figura .
Estas líneas se encuentran en el mismo plano y se cruzan en ángulos rectos. Llamamos a estas líneas perpendiculares.
Si miramos la pendiente de la primera línea, \(m_1=\frac{1}{4}\) , y la pendiente de la segunda línea \(m_2=−4\) ,, podemos ver que son recíprocas negativas entre sí. Si los multiplicamos, su producto lo es \(−1\) .
\[\begin{array} {l} {m_1·m_2} \\ {14(−4)} \\ {−1} \\ \end{array} \nonumber\]
Esto siempre es cierto para las líneas perpendiculares y nos lleva a esta definición.
Las líneas perpendiculares son líneas en el mismo plano que forman un ángulo recto.
-
Si
\(m_1\)
y
\(m_2\)
son las pendientes de dos líneas perpendiculares, entonces:
- sus pendientes son recíprocos negativos entre sí, \(m_1=−\frac{1}{m_2}\) .
- el producto de sus pendientes es \(−1\) , \(m_1·m_2=−1\) .
- Una línea vertical y una línea horizontal son siempre perpendiculares entre sí
Pudimos observar la forma pendiente-interceptación de las ecuaciones lineales y determinar si las líneas eran paralelas o no. Podemos hacer lo mismo para las líneas perpendiculares.
Encontramos la forma pendiente-intercepción de la ecuación, y luego vemos si las pendientes son recíprocas opuestas. Si el producto de las pendientes es \(−1\) , las líneas son perpendiculares.
Utilice pendientes para determinar si las líneas son perpendiculares:
ⓐ \(y=−5x−4\) y \(x−5y=5\) ⓑ \(7x+2y=3\) y \(2x+7y=5\)
- Contestar
-
ⓐ
La primera ecuación está en forma de pendiente-interceptar.Resuelve la segunda ecuación para.Identifica la pendiente de cada línea.Y=−5x−4YYM1=−5x−4=mx+b=−5x−5Y−5Y−5Y−5Y=5=−x+5=−x+5−5=15x−1=15x−1=mx+b=15La primera ecuación está en forma de pendiente-interceptar.Y=−5x−4Resuelve la segunda ecuación para.x−5y=5−5y=−x+5−5y−5=−x+5 −5Y=15x−1Identifica la pendiente de cada línea.y=−5x−4y=mx+bm1=−5y=15x−1y=mx+bm2=15
Las pendientes son recíprocas negativas entre sí, por lo que las líneas son perpendiculares. Comprobamos multiplicando las pendientes, Desde −5 (15) =−1, −5 (15) =−1, comprueba.
ⓑ
Resuelve las ecuaciones para.Identificar la pendiente de cada línea.7x+2Y2Y2Y=3=−7x+3=−7x+32=−72x+32ym1=mx+b=−722x+7Y7Y7Y7Y=5=−2x+5=−2x+57=−27x+57ym1=mx+b=−27Resolver las ecuaciones Fory.7x+2Y=32Y=−7x+32Y2=−7x+32Y=−72x+322x+7Y=57Y=−2x+57Y=−2x+57Y=−27x+57IDENTIFICAR la pendiente de cada línea.y=mx+bm1=−72y=mx+bm1=−27
Las pendientes son recíprocas entre sí, pero tienen el mismo signo. Al no ser recíprocos negativos, las líneas no son perpendiculares.
Utilice pendientes para determinar si las líneas son perpendiculares:
ⓐ \(y=−3x+2\) y \(x−3y=4\) ⓑ \(5x+4y=1\) y \(4x+5y=3\) .
- Contestar
-
ⓐ perpendicular ⓑ no perpendicular
Utilice pendientes para determinar si las líneas son perpendiculares:
ⓐ \(y=2x−5\) y \(x+2y=−6\) ⓑ \(2x−9y=3\) y \(9x−2y=1\) .
- Contestar
-
ⓐ perpendicular ⓑ no perpendicular
Conceptos Clave
-
Pendiente de una línea
- La pendiente de una línea es \(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) .
-
El ascenso mide el cambio vertical y la corrida mide el cambio horizontal.
-
Cómo encontrar la pendiente de una línea a partir de su gráfica utilizando
\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\)
.
- Localice dos puntos en la línea cuyas coordenadas sean enteros.
- Empezando por un punto, dibuja un triángulo recto, pasando del primer punto al segundo punto.
- Cuenta la subida y la carrera en las patas del triángulo.
- Tomar la relación de subida a correr para encontrar la pendiente: \(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) .
-
Pendiente de una línea entre dos puntos.
-
La pendiente de la línea entre dos puntos
\((x_1,y_1)\)
y
\((x_2,y_2)\)
es:
\[m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1} \nonumber\] .
-
La pendiente de la línea entre dos puntos
\((x_1,y_1)\)
y
\((x_2,y_2)\)
es:
-
Cómo graficar una línea dado un punto y la pendiente.
- Trazar el punto dado.
- Utilice la fórmula de pendiente \(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) para identificar el ascenso y la carrera.
- Empezando en el punto dado, contar la subida y correr para marcar el segundo punto.
- Conecte los puntos con una línea.
-
Forma de intersección de pendiente de una ecuación de una línea
- La forma pendiente-interceptación de una ecuación de una recta con pendiente m e y -intercept, \((0,b)\) es \(y=mx+b\)
-
Líneas Paralelas
-
Las líneas paralelas son líneas en el mismo plano que no se cruzan.
Las líneas paralelas tienen la misma pendiente y diferentes intercepciones y.
Si \(m_1\) y \(m_2\) son las pendientes de dos líneas paralelas entonces \(m_1=m_2\) .
Las líneas verticales paralelas tienen diferentes intercepciones x .
-
Las líneas paralelas son líneas en el mismo plano que no se cruzan.
-
Líneas perpendiculares
- Las líneas perpendiculares son líneas en el mismo plano que forman un ángulo recto.
-
Si
\(m_1\)
y
\(m_2\)
son las pendientes de dos líneas perpendiculares, entonces:
sus pendientes son recíprocas negativas entre sí, \(m_1=−\frac{1}{m_2}\) .
el producto de sus pendientes es \(−1\) , \(m_1·m_2=−1\) . - Una línea vertical y una línea horizontal son siempre perpendiculares entre sí.
Glosario
- líneas paralelas
- Las líneas paralelas son líneas en el mismo plano que no se cruzan.
- líneas perpendiculares
- Las líneas perpendiculares son líneas en el mismo plano que forman un ángulo recto.