4.8: Sistemas Graficos de Desigualdades Lineales
Al final de esta sección, usted podrá:
- Determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de desigualdades lineales
- Resolver un sistema de desigualdades lineales graficando
- Resolver aplicaciones de sistemas de desigualdades
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
Determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de desigualdades lineales
La definición de un sistema de desigualdades lineales es muy similar a la definición de un sistema de ecuaciones lineales.
Dos o más desigualdades lineales agrupadas forman un sistema de desigualdades lineales.
Un sistema de desigualdades lineales parece un sistema de ecuaciones lineales, pero tiene desigualdades en lugar de ecuaciones. Aquí se muestra un sistema de dos desigualdades lineales.
\[\left\{\begin{array} {l} x+4y\geq 10\\3x−2y<12\end{array}\right.\nonumber\]
Para resolver un sistema de desigualdades lineales, encontraremos valores de las variables que son soluciones a ambas desigualdades. Resolvemos el sistema utilizando las gráficas de cada desigualdad y mostramos la solución como gráfica. Encontraremos la región en el plano que contiene todos los pares ordenados \((x,y)\) que hacen realidad ambas desigualdades.
Las soluciones de un sistema de desigualdades lineales son los valores de las variables que hacen realidad todas las desigualdades.
La solución de un sistema de desigualdades lineales se muestra como una región sombreada en el sistema \(xy\) -coordenadas que incluye todos los puntos cuyos pares ordenados hacen realidad las desigualdades.
Para determinar si un par ordenado es una solución a un sistema de dos desigualdades, sustituimos los valores de las variables en cada desigualdad. Si el par ordenado hace realidad ambas desigualdades, es una solución al sistema.
Determinar si el par ordenado es una solución para el sistema \(\left\{\begin{array} {l} x+4y\geq 10\\3x−2y<12\end{array}\right.\)
a. \((−2,4)\) b. \((3,1)\)
Solución:
a. ¿El par ordenado es \((−2,4)\) una solución?
El par ordenado \((−2,4)\) hizo realidad ambas desigualdades. Por lo tanto \((−2,4)\) es una solución a este sistema.
b. ¿El par ordenado es \((3,1)\) una solución?
El par ordenado \((3,1)\) hizo cierta una desigualdad, pero la otra falsa. Por lo tanto, no \((3,1)\) es una solución a este sistema.
Determine si el par ordenado es una solución para el sistema: \(\left\{ \begin{array} {l} x−5y>10\\2x+3y>−2 \end{array} \right.\)
a. \((3,−1)\) b. \((6,−3)\)
- Contestar
-
a. no
b. sí
Determine si el par ordenado es una solución para el sistema: \(\left\{ \begin{array} {l} y>4x−2\\4x−y<20 \end{array} \right.\)
a. \((−2,1)\) b. \((4,−1)\)
- Contestar
-
a. sí
b. no
Resolver un sistema de desigualdades lineales mediante gráficos
La solución a una sola desigualdad lineal es la región a un lado de la línea fronteriza que contiene todos los puntos que hacen realidad la desigualdad. La solución a un sistema de dos desigualdades lineales es una región que contiene las soluciones a ambas desigualdades. Para encontrar esta región, graficaremos cada desigualdad por separado y luego ubicaremos la región donde ambas son verdaderas. La solución siempre se muestra como un gráfico.
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array} {l} y\geq 2x−1 \\ y<x+1\end{array}\right.\)
Solución:
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array} {l} y<3x+2\\y>−x−1\end{array}\right.\)
- Contestar
-
La solución es la región gris.
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array} {l} y<−12x+3 \\ y<3x−4\end{array}\right.\)
- Contestar
-
La solución es la región gris.
-
Gráfica la primera desigualdad.
- Grafica la línea límite.
- Sombra en el lado de la línea fronteriza donde la desigualdad es verdadera.
-
En la misma cuadrícula, grafica la segunda desigualdad.
- Grafica la línea límite.
- Sombra en el lado de esa línea fronteriza donde la desigualdad es verdadera.
- La solución es la región donde el sombreado se superpone.
- Verifica eligiendo un punto de prueba.
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array} {l} x−y>3\\y<−15x+4\end{array}\right.\)
Solución:
| \(\left\{\begin{array} {l} x−y>3\\y<−15x+4\end{array}\right.\) | |
|
Gráfica
\(x - y > 3,\)
graficando
\(x - y = 3\)
y probando un punto. Las intercepciones son \(x = 3\) y \(y = −3\) y la línea límite será discontinua. Prueba \((0, 0)\) que hace que la desigualdad sea falsa para sombrear (rojo) el lado que no contiene \((0, 0).\) |
|
Gráfica
\(y<−15x+4\)
mediante gráficas
\(y=−15x+4\)
usando la pendiente \(m=−15\) y \(y\) -interceptar \(b = 4.\) La línea límite será discontinua Prueba \((0, 0)\) que hace que la desigualdad sea verdadera, por lo que sombrear (azul) el lado que contiene \((0, 0).\) Elija un punto de prueba en la solución y verifique que sea una solución a ambas inequidades. |
El punto de intersección de las dos líneas no está incluido ya que ambas líneas de contorno fueron discontinuas. La solución es el área sombreada dos veces, que aparece como la región sombreada más oscura.
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array} {l} x+y\leq 2 \\ y\geq \frac{2}{3}x−1\end{array}\right.\)
- Contestar
-
La solución es la región gris.
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array} {l} 3x−2y\leq 6\\y>−\frac{1}{4}x+5\end{array} \right.\)
- Contestar
-
La solución es la región gris.
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array} {l} x−2y<5\\y>−4\end{array}\right.\)
Solución:
| \(\left\{\begin{array} {l} x−2y<5\\y>−4\end{array}\right.\) | |
|
Gráfica
\(x−2y<5\)
, graficando
\(x−2y=5\)
y probando un punto. Las intercepciones son \(x = 5\) y \(y = −2.5\) y la línea límite será discontinua. Prueba \((0, 0)\) que hace que la desigualdad sea verdadera, por lo que sombrea (rojo) el lado que contiene \((0, 0).\) |
|
Gráfica
\(y>−4\)
, al graficar
\(y=−4\)
y
reconocer que es una línea horizontal a través \(y=−4\) . La línea límite será discontinua. Prueba \((0, 0)\) que hace que la desigualdad sea verdadera para sombrear (azul) el lado que contiene \((0, 0).\) |
El punto \((0,0)\) está en la solución y ya hemos encontrado que es una solución de cada desigualdad. El punto de intersección de las dos líneas no está incluido ya que ambas líneas de contorno fueron discontinuas.
La solución es el área sombreada dos veces, que aparece como la región sombreada más oscura.
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array} {l} y\geq 3x−2 \\ y<−1\end{array}\right.\)
- Contestar
-
La solución es la región gris.
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array} {l} x>−4x−2 \\ y\geq −4 \end{array}\right.\)
- Contestar
-
La solución es la región gris.
Los sistemas de desigualdades lineales donde las líneas limítrofes son paralelas podrían no tener solución. Esto lo veremos en el siguiente ejemplo.
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array} {l} 4x+3y\geq 12 \\ y<−\frac{4}{3}x+1\end{array}\right.\)
Solución:
| \(\left\{\begin{array} {l} 4x+3y\geq 12 \\ y<−\frac{4}{3}x+1\end{array}\right.\) | |
|
Gráfica
\(4x+3y\geq 12\)
, graficando
\(4x+3y=12\)
y probando un punto. Las intercepciones son \(x = 3\) y \(y = 4\) y la línea límite será sólida. Prueba \((0, 0)\) que hace que la desigualdad sea falsa, por lo que sombrea (rojo) el lado que no contiene \((0, 0).\) |
|
|
Gráfica
\(y<−\frac{4}{3}x+1\)
mediante gráficas
\(y=−\frac{4}{3}x+1\)
usando la pendiente \(m=−\frac{4}{3}\) y \(y\) -interceptar \(b = 1.\) La línea límite será discontinua. Prueba \((0, 0)\) que hace que la desigualdad sea verdadera, por lo que sombrea (azul) el lado que contiene \((0, 0).\) |
No tiene sentido en ambas regiones sombreadas, por lo que el sistema no tiene solución.
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array} {l} 3x−2y\geq 12 \\ y\geq \frac{3}{2}x+1\end{array}\right.\)
- Contestar
-
No hay solución.
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array} {l} x+3y>8\\y<−\frac{1}{3}x−2\end{array}\right.\)
- Contestar
-
No hay solución.
Algunos sistemas de desigualdades lineales donde las líneas limítrofes son paralelas tendrán una solución. Esto lo veremos en el siguiente ejemplo.
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array} {l} y>\frac{1}{2}x−4\\x−2y<−4\end{array}\right.\)
Solución:
| \(\left\{\begin{array} {l} y>\frac{1}{2}x−4\\x−2y<−4\end{array}\right.\) | |
|
Gráfica
\(y>\frac{1}{2}x−4\)
mediante gráficas
\(y=\frac{1}{2}x−4\)
utilizando la pendiente \(m=\frac{1}{2}\) y la intersección \(b = −4.\) La línea límite será discontinua. Prueba \((0, 0)\) que hace que la desigualdad sea verdadera, por lo que sombrea (rojo) el lado que contiene \((0, 0).\) |
|
|
Gráfica
\(x−2y<−4\)
graficando
\(x−2y=−4\)
y probando un punto. Las intercepciones son \(x = -4\) y \(y=2\) y la línea límite será discontinua. Elija un punto de prueba en la solución y verifique que sea una solución a ambas inequidades. Prueba \((0, 0)\) que hace que la desigualdad sea falsa, por lo que sombrea (azul) el lado que no contiene \((0, 0).\) |
No se incluye ningún punto en las líneas de límite en la solución, ya que ambas líneas están discontinuas.
La solución es la región que se sombrea dos veces que también es la solución a \(x−2y<−4\) .
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array} {l} y\geq 3x+1 \\ −3x+y\geq −4\end{array}\right.\)
- Contestar
-
La solución es la región gris.
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array} {l} y\leq −\frac{1}{4}x+2\\x+4y\leq 4\end{array}\right.\)
- Contestar
-
La solución es la región gris.
Resolver Aplicaciones de Sistemas de Desigualdades
Lo primero que tendremos que hacer para resolver aplicaciones de sistemas de desigualdades es traducir cada condición en una desigualdad. Después graficamos el sistema, como hicimos anteriormente, para ver la región que contiene las soluciones. Muchas situaciones serán realistas sólo si ambas variables son positivas, por lo que agregamos desigualdades al sistema como requisitos adicionales.
Christy vende sus fotografías en un stand de una feria callejera. Al inicio del día, quiere tener al menos 25 fotos para exhibir en su stand. Cada foto pequeña que muestra le cuesta $4 y cada foto grande le cuesta $10. Ella no quiere gastar más de $200 en fotos para exhibir.
a. Escribir un sistema de desigualdades para modelar esta situación.
b. Grafica el sistema.
c. ¿Podría mostrar 10 fotos pequeñas y 20 grandes?
d. ¿Podría mostrar 20 fotos grandes y 10 pequeñas?
Solución:
a.
\(\begin{array} {ll} \text{Let} &{x=\text{the number of small photos.}} \\ {} &{y=\text{the number of large photos}}\end{array}\)
Para encontrar el sistema de ecuaciones traducir la información.
\( \qquad \begin{array} {l} \\ \\ \text{She wants to have at least 25 photos.} \\ \text{The number of small plus the number of large should be at least }25. \\ \hspace{45mm} x+y\geq 25 \\ \\ \\ $4 \text{ for each small and }$10\text{ for each large must be no more than }$200 \\ \hspace{40mm} 4x+10y\leq 200 \\ \\ \\ \text{The number of small photos must be greater than or equal to }0. \\ \hspace{50mm} x\geq 0 \\ \\ \\ \text{The number of large photos must be greater than or equal to }0. \\ \hspace{50mm} y\geq 0 \end{array} \)
Tenemos nuestro sistema de ecuaciones.
\(\hspace{65mm} \left\{\begin{array} {l} x+y\geq 25 \\4x+10y\leq 200\\x\geq 0\\y\geq 0\end{array}\right.\)
b.
Dado que
\(x\geq 0\)
y
\(y\geq 0\)
(ambos son mayores o iguales a) todas las soluciones estarán en el primer cuadrante. Como resultado, nuestra gráfica solo muestra el cuadrante uno.
|
Para graficar
\(x+y\geq 25\)
, graficar
\(x+y=25\)
como una línea sólida.
Elija \((0, 0)\) como punto de prueba. Ya que no hace verdadera la desigualdad, sombrea (rojo) el lado que no incluye el punto \((0, 0).\) Para graficar \(4x+10y\leq 200\) , grafica \(4x+10y=200\) como una línea sólida. Elija \((0, 0)\) como punto de prueba. Ya que sí hace realidad la desigualdad, sombrea (azul) el lado que incluye el punto \((0, 0).\) |
La solución del sistema es la región de la gráfica que está sombreada la más oscura. Las secciones de línea límite que bordean la sección sombreada oscura se incluyen en la solución al igual que los puntos en el \(x\) eje -desde \((25, 0)\) hasta \((55, 0).\)
c. Para determinar si funcionarían 10 fotos pequeñas y 20 grandes, miramos la gráfica para ver si el punto \((10, 20)\) está en la región de solución. También podríamos probar el punto para ver si es una solución de ambas ecuaciones.
No lo es, Christy no mostraría 10 fotos pequeñas y 20 grandes.
d. Para determinar si funcionarían 20 fotos pequeñas y 10 grandes, miramos la gráfica para ver si el punto \((20, 10)\) está en la región de solución. También podríamos probar el punto para ver si es una solución de ambas ecuaciones.
Lo es, por lo que Christy podría optar por mostrar 20 fotos pequeñas y 10 grandes.
Observe que también podríamos probar las posibles soluciones sustituyendo los valores en cada desigualdad.
Un remolque puede llevar un peso máximo de 160 libras y un volumen máximo de 15 pies cúbicos. Un horno de microondas pesa 30 libras y tiene 2 pies cúbicos de volumen, mientras que una impresora pesa 20 libras y tiene 3 pies cúbicos de espacio.
a. Escribir un sistema de desigualdades para modelar esta situación.
b. Grafica el sistema.
c. ¿Podrían llevarse 4 microondas y 2 impresoras en este tráiler?
d. ¿Podrían llevarse 7 microondas y 3 impresoras en este tráiler?
- Contestar
-
a. \(\left\{\begin{array} {l} 30m+20p\leq 160\\2m+3p\leq 15\end{array}\right.\)
b.c. sí
d. no
Mary necesita comprar suministros de hojas de respuestas y lápices para una prueba estandarizada que se le dará a los juniors en su escuela secundaria. El número de hojas de respuestas necesarias es al menos 5 más que el número de lápices. Los lápices cuestan $2 y las hojas de respuesta cuestan $1. El presupuesto de Mary para estos suministros permite un costo máximo de 400 dólares.
a. Escribir un sistema de desigualdades para modelar esta situación.
b. Grafica el sistema.
c. ¿Podría Mary comprar 100 lápices y 100 hojas de respuesta?
d. ¿Podría Mary comprar 150 lápices y 150 hojas de respuesta?
- Contestar
-
a. \(\left\{\begin{array} {l} a\geq p+5 \\ a+2p\leq 400\end{array}\right.\)
b.c. no
d. no
Cuando utilizamos variables distintas \(y\) a \(x\) y para definir una cantidad desconocida, también debemos cambiar los nombres de los ejes de la gráfica.
Omar necesita comer al menos 800 calorías antes de ir a su práctica de equipo. Todo lo que quiere son hamburguesas y galletas, y no quiere gastar más de 5 dólares. En la hamburguesería cercana a su universidad, cada hamburguesa tiene 240 calorías y cuesta 1,40 dólares. Cada galleta tiene 160 calorías y cuesta $0.50.
a. Escribir un sistema de desigualdades para modelar esta situación.
b. Grafica el sistema.
c. ¿Podría comer 3 hamburguesas y 1 galleta?
d. ¿Podría comer 2 hamburguesas y 4 galletas?
Solución:
a.
\(\begin{array} {ll} \text{Let} & h=\text{the number of hamburgers.} \\ & c=\text{the number of cookies}\end{array}\)
Para encontrar el sistema de ecuaciones traducir la información.
Las calorías de las hamburguesas a 240 calorías cada una, más las calorías de las galletas a 160 calorías cada una deben ser más de 800.
\(\qquad \begin{array} {l} \hspace{40mm} 240h+160c\geq 800 \\ \\ \\ \text{The amount spent on hamburgers at }$1.40\text{ each, plus the amount spent on cookies}\\\text{at }$0.50\text{ each must be no more than }$5.00.\\ \hspace{40mm} 1.40h+0.50c\leq 5 \\ \\ \\ \text{The number of hamburgers must be greater than or equal to 0.} \\ \hspace{50mm} h\geq 0 \\ \text{The number of cookies must be greater than or equal to 0.}\\ \hspace{50mm} c\geq 0 \end{array} \)
\(\text{We have our system of equations.} \qquad \left\{ \begin{array} {l} 240h+160c\geq 800 \\ 1.40h+0.50c\leq 5 \\ h\geq 0 \\ c\geq 0\end{array} \right.\)
b.
Dado que
\(h\geq 0\)
y
\(c\geq 0\)
(ambos son mayores o iguales a) todas las soluciones estarán en el primer cuadrante. Como resultado, nuestra gráfica solo muestra el cuadrante uno.
|
Para graficar
\(240h+160c\geq 800\)
, graficar
\(240h+160c=800\)
como una línea sólida.
Elija \((0, 0)\) como punto de prueba. Al no hacer realidad la desigualdad, sombrea (rojo) el lado que no incluye el punto \((0, 0).\) |
Gráfica \(1.40h+0.50c\leq 5\) . La línea límite es \(1.40h+0.50c=5\) . Ponemos a prueba \((0, 0)\) y hace realidad la desigualdad. Sombreamos el lado de la línea que incluye \((0, 0).\)
La solución del sistema es la región de la gráfica que está sombreada la más oscura. Las secciones de la línea límite que bordean la sección sombreada oscura se incluyen en la solución al igual que los puntos en el \(x\) eje -desde \((5, 0)\) hasta \((10, 0).\)
c. Para determinar si 3 hamburguesas y 2 galletas cumplirían los criterios de Omar, vemos si el punto \((3, 2)\) está en la región de solución. Lo es, por lo que Omar podría optar por comer 3 hamburguesas y 2 galletas.
d. Para determinar si 2 hamburguesas y 4 galletas cumplirían con los criterios de Omar, vemos si el punto \((2, 4)\) está en la región de solución. Es, Omar podría optar por comer 2 hamburguesas y 4 galletas.
También podríamos probar las posibles soluciones sustituyendo los valores en cada desigualdad.
La tensión necesita comer al menos 1,000 calorías adicionales al día para prepararse para correr un maratón. Tiene sólo $25 para gastar en la comida extra que necesita y lo gastará en $0,75 donas que tienen 360 calorías cada una y $2 bebidas energéticas que tienen 110 calorías.
a. Escribir un sistema de desigualdades que modele esta situación.
b. Grafica el sistema.
c. ¿Puede comprar 8 donas y 4 bebidas energéticas y satisfacer sus necesidades calóricas?
d. ¿Puede comprar 1 donut y 3 bebidas energéticas y satisfacer sus necesidades calóricas?
- Contestar
-
a. \(\left\{\begin{array} {l} 0.75d+2e\leq 25\\360d+110e\geq 1000\end{array}\right.\)
b.c. sí
d. no
El médico de Philip le dice que debe agregar al menos 1,000 calorías más por día a su dieta habitual. Philip quiere comprar barritas de proteína que cuestan $1.80 cada una y tienen 140 calorías y jugo que cuesta $1.25 por botella y tienen 125 calorías. No quiere gastar más de 12 dólares.
a. Escribir un sistema de desigualdades que modele esta situación.
b. Grafica el sistema.
c. ¿Puede comprar 3 barras de proteína y 5 botellas de jugo?
d. ¿Puede comprar 5 barras de proteína y 3 botellas de jugo?
- Contestar
-
a. \(\left\{\begin{array} {l} 140p+125j\geq 1000\\1.80p+1.25j\leq 12\end{array}\right.\)
b.c. sí
d. no
Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con la solución de sistemas de desigualdades lineales mediante la gráfica.
- Resolver Sistemas de Desigualdades Lineales por Grafismo
- Sistemas de Desigualdades Lineales
Conceptos Clave
- Soluciones de un Sistema de Desigualdades Lineales: Las soluciones de un sistema de desigualdades lineales son los valores de las variables que hacen realidad todas las desigualdades. La solución de un sistema de desigualdades lineales se muestra como una región sombreada en el sistema \(xy\) -coordenadas que incluye todos los puntos cuyos pares ordenados hacen realidad las desigualdades.
-
Cómo resolver un sistema de desigualdades lineales mediante la gráfica.
-
Gráfica la primera desigualdad.
Grafica la línea límite.
Sombra en el lado de la línea fronteriza donde la desigualdad es verdadera. -
En la misma cuadrícula, grafica la segunda desigualdad.
Grafica la línea límite.
Sombra en el lado de esa línea fronteriza donde la desigualdad es verdadera. - La solución es la región donde el sombreado se superpone.
- Verifica eligiendo un punto de prueba.
-
Gráfica la primera desigualdad.
Glosario
- sistema de desigualdades lineales
- Dos o más desigualdades lineales agrupadas forman un sistema de desigualdades lineales.