6.3: Factor Trinomios

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, usted será capaz de:

• Factor trinomios de la forma $x^2+bx+c$
• Trinomios factoriales de la forma $ax^2+bx+c$ mediante ensayo y error
• Trinomios factoriales de la forma $ax^2+bx+c$ usando el método$ac$''
• Factor mediante sustitución

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Encuentra todos los factores de 72.
   Si te perdiste este problema, revisa [link].
2. Encuentra el producto: $(3y+4)(2y+5)$.
   Si te perdiste este problema, revisa [link].
3. Simplificar: $−9(6);\space −9(−6)$.
   Si te perdiste este problema, revisa [link].

Factor Trinomios de la Forma $x^2+bx+c$

Ya aprendiste a multiplicar binomios usando el papel de aluminio. Ahora necesitarás “deshacer” esta multiplicación. Factor de los medios trinomiales para comenzar con el producto, y terminar con los factores.

Para averiguar cómo factorizaríamos un trinomio de la forma $x^2+bx+c$, como $x^2+5x+6$ y factor a $(x+2)(x+3)$, comencemos con dos binomios generales de la forma $(x+m)$ y $(x+n)$.

	$(x+m)(x+n)$
Foil para encontrar el producto.	$x^{2}+m x+n x+m n$
Factor el GCF a partir de los términos medios.	$x^{2}+(m+n) x+m n$
Nuestro trinomio es de la forma $x^2+bx+c$.	$\overbrace{x^{2}+(m+n) x+m n}^{\color{red}x^{2}+b x+c}$

Esto nos dice que para factorizar un trinomio de la forma $x^2+bx+c$, necesitamos dos factores $(x+m)$ y $(x+n)$ donde los dos números $m$ y $n$ multiplicar $c$ y sumar a $b$.

Ejemplo $\PageIndex{1}$: Cómo factorizar un trinomio de la forma $x^2+bx+c$

Factor: $x^2+11x+24$.

Contestar

Ejemplo $\PageIndex{2}$

Factor: $q^2+10q+24$.

Contestar

$(q+4)(q+6)$

Ejemplo $\PageIndex{3}$

Factor: $t^2+14t+24$.

Contestar

$(t+2)(t+12)$

Vamos a resumir los pasos que usamos para encontrar los factores.

 

1. Escribir los factores como dos binomios con primeros términos x. $\quad \begin{array} {l} x^2+bx+c \\ (x\quad)(x\quad) \end{array}$
2. Encuentra dos números $m$ y $n$ eso
   • multiplicar a $c$, $m·n=c$
   • agregar a $b$, $m+n=b$
3. Uso $m$ y $n$ como últimos términos de los factores. $\quad (x+m)(x+n)$
4. Verificar multiplicando los factores.

En el primer ejemplo, todos los términos en el trinomio fueron positivos. ¿Qué sucede cuando hay términos negativos? Bueno, depende qué término es negativo. Echemos un vistazo primero a los trinomios con sólo el medio plazo negativo.

¿Cómo se obtiene un producto positivo y una suma negativa ? Usamos dos números negativos.

Ejemplo $\PageIndex{4}$

Factor: $y^2−11y+28$.

Contestar

Nuevamente, con el último término positivo $28$,, y el medio plazo negativo $−11y$,, necesitamos dos factores negativos. Encuentra dos números que se multiplican $28$ y se suman a $−11$.
$\begin{array} {ll} &y^2−11y+28 \\ \text{Write the factors as two binomials with first terms }y. &( y \quad )( y \quad ) \\ \text{Find two numbers that: multiply to }28\text{ and add to }−11.\end{array}$

Factores de $28$	Suma de factores
\ (28\)” data-valign="top">$−1,\space −28$ $−2,\space −14$ $−4,\space −7$	$−1+(−28)=−29$ $−2+(−14)=−16$ $−4+(−7)=−11^∗$

$\begin{array} {ll} \text{Use }−4,\space −7\text{ as the last terms of the binomials.} &(y−4)(y−7) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (y−4)(y−7) & \\ \hspace{25mm} y^2−7y−4y+28 & \\ \hspace{30mm} y^2−11y+28\checkmark & \end{array}$

Ejemplo $\PageIndex{5}$

Factor: $u^2−9u+18$.

Contestar

$(u−3)(u−6)$

Ejemplo $\PageIndex{6}$

Factor: $y^2−16y+63$.

Contestar

$(y−7)(y−9)$

Ahora bien, ¿y si el último término en el trinomio es negativo? Piensa en FOILO. El último término es producto de los últimos términos en los dos binomios. Un producto negativo resulta de multiplicar dos números con signos opuestos. Tienes que tener mucho cuidado al elegir factores para asegurarte de obtener el signo correcto para el mediano plazo, también.

¿Cómo se obtiene un producto negativo y una suma positiva ? Usamos un número positivo y otro negativo.

Cuando tenemos en cuenta los trinomios, debemos tener los términos escritos en orden descendente, en orden de mayor a menor grado.

Ejemplo $\PageIndex{7}$

Factor: $2x+x^2−48$.

Contestar

$\begin{array} {ll} &2x+x^2−48 \\ \text{First we put the terms in decreasing degree order.} &x^2+2x−48 \\ \text{Factors will be two binomials with first terms }x. &(x\quad)(x\quad) \end{array}$

Factores de −48−48	Suma de factores
$−1,\space 48$ $−2,\space 24$ $−3,\space 16$ $−4,\space 12$ $−6,\space 8$	$−1+48=47$ $−2+24=22$ $−3+16=13$ $−4+12=8$ $−6+8=2^∗$

$\begin{array} {ll} \text{Use }−6,\space 8\text{ as the last terms of the binomials.} &(x−6)(x+8) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (x−6)(x+8) & \\ \hspace{25mm} x^2−6q+8q−48 & \\ \hspace{30mm} x^2+2x−48\checkmark & \end{array}$

Ejemplo $\PageIndex{8}$

Factor: $9m+m^2+18$.

Contestar

$(m+3)(m+6)$

Ejemplo $\PageIndex{9}$

Factor: $−7n+12+n^2$.

Contestar

$(n−3)(n−4)$

A veces necesitarás factorizar los trinomios de la forma $x^2+bxy+cy^2$ con dos variables, como $x^2+12xy+36y^2$. El primer término, $x^2$, es el producto de los primeros términos de los factores binomiales, $x·x$. El $y^2$ en el último término significa que los segundos términos de los factores binomiales deben contener cada uno $y$. Para obtener los coeficientes $b$ y $c$, se utiliza el mismo proceso resumido en Cómo factorizar los trinomios.

Ejemplo $\PageIndex{10}$

Factor: $r^2−8rs−9s^2$.

Contestar

Necesitamos $r$ en el primer término de cada binomio y $s$ en el segundo término. El último término del trinomio es negativo, por lo que los factores deben tener signos opuestos.
$\begin{array} {ll} &r^2−8rs−9s^2 \\ \text{Note that the first terms are }r,\text{last terms contain }s. &(r\quad s)(r\quad s) \\ \text{Find the numbers that multiply to }−9\text{ and add to }−8. \end{array}$

Factores de $−9$	Suma de factores
\ (−9\)” data-valign="top">$1,\space −9$	$−1+9=8$
\ (−9\)” data-valign="top">$−1,\space 9$	$1+(−9)=−8^∗$
\ (−9\)” data-valign="top">$3,\space −3$	$3+(−3)=0$

$\begin{array} {ll} \text{Use }1,\space -9\text{ as coefficients of the last terms.} &(r+s)(r−9s) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (r−9s)(r+s) & \\ \hspace{25mm} r^2+rs−9rs−9s^2 & \\ \hspace{30mm} r^2−8rs−9s^2\checkmark & \end{array}$

Ejemplo $\PageIndex{11}$

Factor: $a^2−11ab+10b^2$.

Contestar

$(a−b)(a−10b)$

Ejemplo $\PageIndex{12}$

Factor: $m^2−13mn+12n^2$.

Contestar

$(m−n)(m−12n)$

Algunos trinomios son primos. La única manera de estar seguro de un trinomio es prime es enumerar todas las posibilidades y demostrar que ninguna de ellas funciona.

Ejemplo $\PageIndex{13}$

Factor: $u^2−9uv−12v^2$.

Contestar

Necesitamos $u$ en el primer término de cada binomio y $v$ en el segundo término. El último término del trinomio es negativo, por lo que los factores deben tener signos opuestos.
$\begin{array} {ll} &u^2−9uv−12v^2 \\ \text{Note that the first terms are }u,\text{ last terms contain }v. &(u\quad v)(u\quad v) \\ \text{Find the numbers that multiply to }−12\text{ and add to }−9. & \end{array}$

Factores de $−12$	Suma de factores
\ (−12\)” data-valign="top">$1,−12$ $−1,12$ $2,−6$ $−2,6$ $3,−4$ $−3,4$	$1+(−12)=−11$ $−1+12=11$ $2+(−6)=−4$ $−2+6=4$ $3+(−4)=−1$ $−3+4=1$

Tenga en cuenta que no hay pares de factores que nos den $−9$ como suma. El trinomio es primordial.

Ejemplo $\PageIndex{14}$

Factor: $x^2−7xy−10y^2$.

Contestar

prime

Ejemplo $\PageIndex{15}$

Factor: $p^2+15pq+20q^2$.

Contestar

prime

Vamos a resumir el método que acabamos de desarrollar para factorizar los trinomios de la forma $x^2+bx+c$.

ESTRATEGIA PARA FACTORING TRINOMIALES DE LA $x^2+bx+c$

Cuando factorizamos un trinomio, primero miramos los signos de sus términos para determinar los signos de los factores binomiales.

	$x^{2}+b x+c$
	$(x+m)(x+n)$
Cuando $c$ es positivo, $m$ y $n$ tienen el mismo signo.
$b$ positivo		$b$ negativo
$m,n$ positivo		$m,n$ negativo
$x^{2}+5 x+6$		$x^{2}-6 x+8$
$(x+2)(x+3)$		$(x-4)(x-2)$
mismos signos		mismos signos
Cuando $c$ es negativo, $m$ y $n$ tienen el signo contrario.
$x^{2}+x-12$		$x^{2}-2 x-15$
$(x+4)(x-3)$		$(x-5)(x+3)$
signos opuestos		signos opuestos

Observe que, en el caso cuando $m$ y $n$ tenga signos opuestos, el signo del que tiene el valor absoluto mayor coincide con el signo de $b$.

Factor Trinomios de la forma ax²+ bx+ cusando Ensayo y Error

Nuestro siguiente paso es factorizar trinomios cuyo coeficiente principal no es 1, trinomios de la forma $ax^2+bx+c$.

¡Recuerda comprobar siempre primero si hay un GCF ! En ocasiones, después de factorizar el FCM, se convierte en el coeficiente líder del trinomio $1$ y se puede factorizarlo por los métodos que hemos utilizado hasta ahora. Hagamos un ejemplo para ver cómo funciona esto.

Example $\PageIndex{16}$

Factor completamente: $4x^3+16x^2−20x$.

Contestar

$\begin{array} {lll} \text{Is there a greatest common factor?} &\qquad &4x^3+16x^2−20x \\ \quad \text{Yes, }GCF=4x.\text{ Factor it.} & &4x(x^2+4x−5) \\ & & \\ & & \\ \text{Binomial, trinomial, or more than three terms?} & & \\ \quad \text{It is a trinomial. So “undo FOIL.”} & &4x(x\quad)(x\quad) \\ & & \\ & & \\ \text{Use a table like the one shown to find two numbers that} & &4x(x−1)(x+5) \\ \text{multiply to }−5\text{ and add to }4. & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Factores de $−5$	Suma de factores
\ (−5\)” data-valign="top">$−1,5$ $1,−5$	$−1+5=4^∗$ $1+(−5)=−4$

$\begin{array} {l} \text{Check:}\\ \hspace{27mm}4x(x−1)(x+5) \\ \hspace{25mm} 4x(x^2+5x−x−5) \\ \hspace{30mm} 4x(x^2+4x−5) \\ \hspace{25mm} 4x^3+16x2−20x\checkmark \end{array}$

Example $\PageIndex{17}$

Factor completamente: $5x^3+15x^2−20x$.

Contestar

$5x(x−1)(x+4)$

Example $\PageIndex{18}$

Factor completamente: $6y^3+18y^2−60y$.

Contestar

$6y(y−2)(y+5)$

¿Qué sucede cuando el coeficiente líder no lo es $1$ y no hay FVC? Existen varios métodos que se pueden utilizar para factorizar estos trinomios. En primer lugar utilizaremos el método Trial and Error.

Vamos a factorizar el trinomio $3x^2+5x+2$.

De nuestro trabajo anterior, esperamos que esto se tenga en cuenta en dos binomios.

$$3x^2+5x+2\nonumber$$ $$(\quad)(\quad)\nonumber$$

Sabemos que los primeros términos de los factores binomiales se multiplicarán para darnos $3x^2$. Los únicos factores de $3x^2$ son $1x,\space 3x$. Podemos colocarlos en los binomios.

Consultar: ¿Lo hace $1x·3x=3x^2$?

Sabemos que los últimos términos de los binomios se multiplicarán a $2$. Dado que este trinomio tiene todos los términos positivos, sólo necesitamos considerar factores positivos. Los únicos factores de $2$ son $1$ y $2$. Pero ahora tenemos dos casos que considerar ya que marcará la diferencia si escribimos $1$, $2$ o $2$, $1$.

¿Cuáles son los factores correctos? Para decidir eso, multiplicamos los términos internos y externos.

Dado que el término medio del trinomio es $5x$, los factores en el primer caso funcionarán. Usemos FOILA para verificar.

$$(x+1)(3x+2)\nonumber$$ $$3x^2+2x+3x+2\nonumber$$ $$3x^2+5x+2\checkmark\nonumber$$

Nuestro resultado del factoring es:

$$3x^2+5x+2\nonumber$$ $$(x+1)(3x+2)\nonumber$$

Ejemplo $\PageIndex{19}$: Cómo factorizar un trinomio usando ensayo y error

Factor completamente usando ensayo y error: $3y^2+22y+7$.

Contestar

Example $\PageIndex{20}$

Factor completamente usando ensayo y error: $2a^2+5a+3$.

Contestar

$(a+1)(2a+3)$

Example $\PageIndex{21}$

Factor completamente usando ensayo y error: $4b^2+5b+1$.

Contestar

$(b+1)(4b+1)$

FACTOR TRINOMIALES DE LA FORMA $ax^2+bx+c$ USANDO PRUEBA Y ERROR

1. Escribir el trinomio en orden descendente de grados según sea necesario.
2. Factor cualquier GCF.
3. Encuentra todos los pares de factores del primer término.
4. Encuentra todos los pares de factores del tercer término.
5. Pruebe todas las combinaciones posibles de los factores hasta encontrar el producto correcto.
6. Verifica multiplicando.

Recuerden, cuando el término medio es negativo y el último término es positivo, los signos en los binomios deben ser ambos negativos.

Example $\PageIndex{22}$

Factor completamente usando ensayo y error: $6b^2−13b+5$.

Contestar

El trinomio ya está en orden descendente.
Encuentra los factores del primer término.
Encuentra los factores del último término. Considera los signos. Dado que el último término $5$,, es positivo sus factores deben ser ambos positivos o ambos ser negativos. El coeficiente del término medio es negativo, por lo que utilizamos los factores negativos.

Considera todas las combinaciones de factores.

$6b^2−13b+5$
Posibles factores	Producto
\ (6b^2−13b+5\) Factores posibles” data-valign="top">$(b−1)(6b−5)$	\ (6b^2−13b+5\) Producto” data-valign="top">$6b^2−11b+5$
\ (6b^2−13b+5\) Factores posibles” data-valign="top">$(b−5)(6b−1)$	\ (6b^2−13b+5\) Producto” data-valign="top">$6b^2−31b+5$
\ (6b^2−13b+5\) Factores posibles” data-valign="top">$(2b−1)(3b−5)$	\ (6b^2−13b+5\) Producto” data-valign="middle">$6b^2−13b+5^∗$
\ (6b^2−13b+5\) Factores posibles” data-valign="top">$(2b−5)(3b−1)$	\ (6b^2−13b+5\) Producto” data-valign="middle">$6b^2−17b+5$

$\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial.} &(2b−1)(3b−5) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ \hspace{50mm} (2b−1)(3b−5) & \\ \hspace{47mm} 6b^2−10b−3b+5 & \\ \hspace{50mm} 6b^2−13b+5\checkmark & \end{array}$

Example $\PageIndex{23}$

Factor completamente usando ensayo y error: $8x^2−14x+3$.

Contestar

$(2x−3)(4x−1)$

Example $\PageIndex{24}$

Factor completamente usando ensayo y error: $10y^2−37y+7$.

Contestar

$(2y−7)(5y−1)$

Cuando factorizamos una expresión, siempre buscamos primero un factor común más grande. Si la expresión no tiene un mayor factor común, tampoco puede haber uno en sus factores. Esto puede ayudarnos a eliminar algunas de las posibles combinaciones de factores.

Example $\PageIndex{25}$

Factor completamente usando ensayo y error: $18x^2−37xy+15y^2$.

Contestar

El trinomio ya está en orden descendente.
Encuentra los factores del primer término.
Encuentra los factores del último término. Considera los signos. Dado que 15 es positivo y el coeficiente del término medio es negativo, utilizamos los factores negativos.

Considera todas las combinaciones de factores.

$\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product is} & \\ \text{the original trinomial.} &(2x−3y)(9x−5y) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ & \\ & \\ & \\ \hspace{50mm} (2x−3y)(9x−5y) & \\ \hspace{45mm}18x^2−10xy−27xy+15y^2 & \\ \hspace{47mm}18x^2−37xy+15y^2\checkmark & \end{array}$

Example $\PageIndex{26}$

Factor completamente usando ensayo y error $18x^2−3xy−10y^2$.

Contestar

$(3x+2y)(6x−5y)$

Example $\PageIndex{27}$

Factor completamente usando ensayo y error: $30x^2−53xy−21y^2$.

Contestar

$(3x+y)(10x−21y)$

No olvides buscar primero un GCF y recuerda si el coeficiente líder es negativo, también lo es el GCF.

Example $\PageIndex{28}$

Factor completamente usando ensayo y error: $−10y^4−55y^3−60y^2$.

Contestar

Observa el mayor factor común, así que facítalo primero.
Factor el trinomio.

Considera todas las combinaciones.

$\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial. Remember to include} & \\ \text{the factor }−5^y2. &−5y^2(y+4)(2y+3) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ \hspace{50mm} −5y^2(y+4)(2y+3) & \\ \hspace{45mm} −5y^2(2y^2+8y+3y+12) & \\ \hspace{47mm}−10y^4−55y^3−60y^2\checkmark & \end{array}$

Example $\PageIndex{29}$

Factor completamente usando ensayo y error: $15n^3−85n^2+100n$.

Contestar

$5n(n−4)(3n−5)$

Example $\PageIndex{30}$

Factor completamente usando ensayo y error: $56q^3+320q^2−96q$.

Contestar

$8q(q+6)(7q−2)$

Factor Trinomios de la Forma $ax^2+bx+c$ usando el Método “$ac$”

Otra forma de factorizar los trinomios de la forma $ax^2+bx+c$ es el método “$ac$”. (El método “$ac$” a veces se llama el método de agrupación). El método “$ac$” es en realidad una extensión de los métodos que utilizó en la última sección a los trinomios de factor con coeficiente principal uno. Este método es muy estructurado (es decir paso a paso), ¡y siempre funciona!

Ejemplo $\PageIndex{31}$: Cómo factorizar los trinomios usando el método “ac”

Factor mediante el método “$ac$”: $6x^2+7x+2$.

Contestar

Ejemplo $\PageIndex{32}$

Factor mediante el método “$ac$”: $6x^2+13x+2$.

Contestar

$(x+2)(6x+1)$

Ejemplo $\PageIndex{33}$

Factor mediante el método “$ac$”: $4y^2+8y+3$.

Contestar

$(2y+1)(2y+3)$

El método “$ac$” se resume aquí.

FACTOR TRINOMIALES DE LA FORMA $ax^2+bx+c$ UTILIZANDO EL MÉTODO “$ac$”

1. Factor cualquier GCF.
2. Encuentra el producto $ac$.
3. Encuentra dos números $m$ y $n$ eso:
   $\begin{array} {ll} \text{Multiply to }ac &m·n=a·c \\ \text{Add to }b &m+n=b \\ &ax^2+bx+c \end{array}$
4. Dividir el término medio usando $m$ y $n$. $ax^2+mx+nx+c$
5. Factor por agrupación.
6. Verificar multiplicando los factores.

¡No olvides buscar un factor común!

Ejemplo $\PageIndex{34}$

Factor mediante el método '“$ac$”: $10y^2−55y+70$.

Contestar

¿Existe un factor común más grande?
Sí. El GCF es $5$.
Factor él.
El trinomio dentro de los paréntesis tiene un coeficiente principal que no lo es $1$.
Encuentra el producto $ac$.	$ac=28$
Encuentra dos números que se multiplican a $ac$	$(−4)(−7)=28$
y añadir a $b$.	$−4(−7)=−11$
Dividir el mediano plazo.
Factor del trinomio por agrupación.
Verifica multiplicando los tres factores. $\hspace{50mm} 5(y−2)(2y−7)$ $\hspace{45mm} 5(2y^2−7y−4y+14)$ $\hspace{48mm} 5(2y^2−11y+14)$ $\hspace{49mm} 10y^2−55y+70\checkmark$

Ejemplo $\PageIndex{35}$

Factor mediante el método “$ac$”: $16x^2−32x+12$.

Contestar

$4(2x−3)(2x−1)$

Ejemplo $\PageIndex{36}$

Factor mediante el método “$ac$”: $18w^2−39w+18$.

Contestar

$3(3w−2)(2w−3)$

Factor que usa la sustitución

A veces un trinomio no parece estar en la $ax^2+bx+c$ forma. No obstante, muchas veces podemos hacer una sustitución reflexiva que nos permita hacer que se ajuste a la $ax^2+bx+c$ forma. A esto se le llama factoring por sustitución. Es estándar utilizar $u$ para la sustitución.

En el $ax^2+bx+c$, el término medio tiene una variable, $x$, y su cuadrado $x^2$,, es la parte variable del primer término. Busca esta relación mientras intentas encontrar una sustitución.

Example $\PageIndex{37}$

Factor por sustitución: $x^4−4x^2−5$.

Contestar

La parte variable del término medio es $x^2$ y su cuadrado, $x^4$, es la parte variable del primer término. (Sabemos $(x^2)^2=x^4)$. Si lo dejamos $u=x^2$, podemos poner nuestro trinomio en la $ax^2+bx+c$ forma que necesitamos para factorizarlo.

	$x^4−4x^2−5$
Reescribir el trinomio para prepararse para la sustitución.	$(x^2)^2−4(x^2)-5$
Dejar $u=x^2$ y sustituir.	$(u)^2−4(u)-5$
Factor el trinomio.	$(u+1)(u-5)$
Reemplazar $u$ con $x^2$.	$(x^2+1)(x^2-5)$
Chequear: $\begin{array} {l} \hspace{37mm} (x^2+1)(x^2−5) \\ \hspace{35mm}x^4−5x^2+x^2−5 \\ \hspace{40mm}x^4−4x^2−5\checkmark\end{array}$

Example $\PageIndex{38}$

Factor por sustitución: $h^4+4h^2−12$.

Contestar

$(h^2−2)(h^2+6)$

Example $\PageIndex{39}$

Factor por sustitución: $y^4−y^2−20$.

Contestar

$(y^2+4)(y^2−5)$

En ocasiones la expresión a sustituir no es monomio.

Example $\PageIndex{40}$

Factor por sustitución: $(x−2)^2+7(x−2)+12$

Contestar

El binomio en el mediano plazo, $(x−2)$ es cuadrado en el primer término. Si lo dejamos $u=x−2$ y sustituimos, nuestro trinomio estará en $ax^2+bx+c$ forma.

Reescribir el trinomio para prepararse para la sustitución.
Dejar $u=x−2$ y sustituir.
Factor el trinomio.
Reemplazar $u$ con $x−2$.
Simplificar dentro de los paréntesis.

Esto también podría ser factorizado multiplicando primero el $(x−2)^2$ y el $7(x−2)$ y luego combinando términos similares y luego factorizando. La mayoría de los estudiantes prefieren el método de sustitución.

Example $\PageIndex{41}$

Factor por sustitución: $(x−5)^2+6(x−5)+8$.

Contestar

$(x−3)(x−1)$

Example $\PageIndex{42}$

Factor por sustitución: $(y−4)^2+8(y−4)+15$.

Contestar

$(y−1)(y+1)$

Vea este video para instrucciones adicionales y práctica con factoring.

Conceptos Clave

• Cómo factorizar los trinomios de la forma $x^2+bx+c$.
  1. Escribir los factores como dos binomios con primeros términos x. $\quad \begin{array} (l) x^2+bx+c \\ (x\quad)(x\quad)\end{array}$
  2. Encuentra dos números $m$ y $n$ eso
     $\begin{array} {ll} \text{multiply to} &c,\space m·n=c \\ \text{add to} &b,\space m+n=b\end{array}$
  3. Uso $m$ y $n$ como últimos términos de los factores. $\qquad (x+m)(x+n)$
  4. Verificar multiplicando los factores.
• Estrategia para factorizar trinomios de la forma $x^2+bx+c$: Cuando se factoriza un trinomio, primero observamos los signos de sus términos para determinar los signos de los factores binomiales.
  
  Para los trinomios de la forma: $x^2+bx+c = (x+m)(x+n)$
  
  Cuando $c$ es positivo, $m$ y $n$ debe tener el mismo signo (y este será el signo de $b$ ).
  
  Ejemplos: $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$, $x^2−6x+8 = (x−4)(x−2)$
  
  Cuando $c$ es negativo, $m$ y $n$ tienen signos opuestos. El más grande de $m$ y$n$ tendrá el signo de $b$.
  
  Ejemplos: $x^2+x−12=(x+4)(x−3)$, $x^2−2x−15=(x−5)(x+3)$
  
  Observe que, en el caso cuando $m$ y $n$ tenga signos opuestos, el signo del que tiene el valor absoluto mayor coincide con el signo de $b$.
• Cómo factorizar los trinomios de la forma $ax^2+bx+c$ mediante ensayo y error
  1. Escribir el trinomio en orden descendente de grados según sea necesario.
  2. Factor cualquier GCF.
  3. Encuentra todos los pares de factores del primer término.
  4. Encuentra todos los pares de factores del tercer término.
  5. Pruebe todas las combinaciones posibles de los factores hasta encontrar el producto correcto.
  6. Verifica multiplicando.
• Cómo factorizar los trinomios de la forma $ax^2+bx+c$ utilizando el método “$ac$”
  1. Factor cualquier GCF.
  2. Encuentra el producto $ac$.
  3. Encuentra dos números $m$ y $n$ eso:
     $\begin{array} {ll} \text{Multiply to }ac. &m·n=a·c \\ \text{Add to }b. &m+n=b \\ &ax^2+bx+c\end{array}$
  4. Dividir el término medio usando $m$ y $n$. $\quad ax^2+mx+nx+c$
  5. Factor por agrupación.
  6. Verificar multiplicando los factores.