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6.3: Factor Trinomios

  • Page ID
    51706
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Factor trinomios de la forma \(x^2+bx+c\)
    • Trinomios factoriales de la forma \(ax^2+bx+c\) mediante ensayo y error
    • Trinomios factoriales de la forma \(ax^2+bx+c\) usando el método\(ac\)''
    • Factor mediante sustitución

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Encuentra todos los factores de 72.
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    2. Encuentra el producto: \((3y+4)(2y+5)\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    3. Simplificar: \(−9(6);\space −9(−6)\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].

    Factor Trinomios de la Forma \(x^2+bx+c\)

    Ya aprendiste a multiplicar binomios usando el papel de aluminio. Ahora necesitarás “deshacer” esta multiplicación. Factor de los medios trinomiales para comenzar con el producto, y terminar con los factores.

    En la figura se muestra la ecuación paréntesis abiertos x más 2 paréntesis de cierre paréntesis abiertos x más 3 paréntesis de cierre es igual a x cuadrado más 5 x más 6. El lado izquierdo de la ecuación está etiquetado como factores y el derecho se etiqueta el producto. Una flecha que apunta hacia la derecha se etiqueta multiplicar. Una flecha apuntando a la izquierda está etiquetada como factor.

    Para averiguar cómo factorizaríamos un trinomio de la forma \(x^2+bx+c\), como \(x^2+5x+6\) y factor a \((x+2)(x+3)\), comencemos con dos binomios generales de la forma \((x+m)\) y \((x+n)\).

      \((x+m)(x+n)\)
    Foil para encontrar el producto. \(x^{2}+m x+n x+m n\)
    Factor el GCF a partir de los términos medios. \(x^{2}+(m+n) x+m n\)
    Nuestro trinomio es de la forma \(x^2+bx+c\). \(\overbrace{x^{2}+(m+n) x+m n}^{\color{red}x^{2}+b x+c}\)

    Esto nos dice que para factorizar un trinomio de la forma \(x^2+bx+c\), necesitamos dos factores \((x+m)\) y \((x+n)\) donde los dos números \(m\) y \(n\) multiplicar \(c\) y sumar a \(b\).

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\): Cómo factorizar un trinomio de la forma \(x^2+bx+c\)

    Factor: \(x^2+11x+24\).

    Contestar

    El paso 1 es escribir los factores de x al cuadrado más 11x más 24 como dos binomios con primeros términos x Escribir dos conjuntos de paréntesis y poner x como primer término.El paso 2 es encontrar dos números m y n que se multiplican a c, m por n es c y se suman a b, m más n es b Así, encontrar dos números que se multipliquen a 24 y se sumen a 11. Los factores de 24 son 1 y 24, 2 y 12, 3 y 8, 4 y 6. Suma de factores: 1 más 24 es 25, 2 más 12 es 14, 3 más 8 es 11 y 4 más 6 es 10.El paso 3 es utilizar m y n, en este caso, 3 y 8, como los últimos términos de los binomios. Entonces obtenemos paréntesis abiertos x más 3 paréntesis de cierre paréntesis abiertos x más 8 paréntesis de cierreEl paso 4 es comprobar multiplicando los factores para obtener el polinomio original.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Factor: \(q^2+10q+24\).

    Contestar

    \((q+4)(q+6)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Factor: \(t^2+14t+24\).

    Contestar

    \((t+2)(t+12)\)

    Vamos a resumir los pasos que usamos para encontrar los factores.

     
    1. Escribir los factores como dos binomios con primeros términos x. \(\quad \begin{array} {l} x^2+bx+c \\ (x\quad)(x\quad) \end{array} \)
    2. Encuentra dos números \(m\) y \(n\) eso
      • multiplicar a \(c\), \(m·n=c\)
      • agregar a \(b\), \(m+n=b\)
    3. Uso \(m\) y \(n\) como últimos términos de los factores. \(\quad (x+m)(x+n)\)
    4. Verificar multiplicando los factores.

    En el primer ejemplo, todos los términos en el trinomio fueron positivos. ¿Qué sucede cuando hay términos negativos? Bueno, depende qué término es negativo. Echemos un vistazo primero a los trinomios con sólo el medio plazo negativo.

    ¿Cómo se obtiene un producto positivo y una suma negativa ? Usamos dos números negativos.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Factor: \(y^2−11y+28\).

    Contestar

    Nuevamente, con el último término positivo \(28\),, y el medio plazo negativo \(−11y\),, necesitamos dos factores negativos. Encuentra dos números que se multiplican \(28\) y se suman a \(−11\).
    \(\begin{array} {ll} &y^2−11y+28 \\ \text{Write the factors as two binomials with first terms }y. &( y \quad )( y \quad ) \\ \text{Find two numbers that: multiply to }28\text{ and add to }−11.\end{array}\)

    Factores de \(28\) Suma de factores
    \ (28\)” data-valign="top">\(−1,\space −28\)

    \(−2,\space −14\)

    \(−4,\space −7\)
    \(−1+(−28)=−29\)

    \(−2+(−14)=−16\)

    \(−4+(−7)=−11^∗\)

    \(\begin{array} {ll} \text{Use }−4,\space −7\text{ as the last terms of the binomials.} &(y−4)(y−7) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (y−4)(y−7) & \\ \hspace{25mm} y^2−7y−4y+28 & \\ \hspace{30mm} y^2−11y+28\checkmark & \end{array} \)

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Factor: \(u^2−9u+18\).

    Contestar

    \((u−3)(u−6)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Factor: \(y^2−16y+63\).

    Contestar

    \((y−7)(y−9)\)

    Ahora bien, ¿y si el último término en el trinomio es negativo? Piensa en FOILO. El último término es producto de los últimos términos en los dos binomios. Un producto negativo resulta de multiplicar dos números con signos opuestos. Tienes que tener mucho cuidado al elegir factores para asegurarte de obtener el signo correcto para el mediano plazo, también.

    ¿Cómo se obtiene un producto negativo y una suma positiva ? Usamos un número positivo y otro negativo.

    Cuando tenemos en cuenta los trinomios, debemos tener los términos escritos en orden descendente, en orden de mayor a menor grado.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Factor: \(2x+x^2−48\).

    Contestar

    \(\begin{array} {ll} &2x+x^2−48 \\ \text{First we put the terms in decreasing degree order.} &x^2+2x−48 \\ \text{Factors will be two binomials with first terms }x. &(x\quad)(x\quad) \end{array} \)

    Factores de −48−48 Suma de factores
    \(−1,\space 48\)
    \(−2,\space 24\)
    \(−3,\space 16\)
    \(−4,\space 12\)
    \(−6,\space 8\)
    \(−1+48=47\)
    \(−2+24=22\)
    \(−3+16=13\)
    \(−4+12=8\)
    \(−6+8=2^∗\)

    \(\begin{array} {ll} \text{Use }−6,\space 8\text{ as the last terms of the binomials.} &(x−6)(x+8) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (x−6)(x+8) & \\ \hspace{25mm} x^2−6q+8q−48 & \\ \hspace{30mm} x^2+2x−48\checkmark & \end{array} \)

    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Factor: \(9m+m^2+18\).

    Contestar

    \((m+3)(m+6)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Factor: \(−7n+12+n^2\).

    Contestar

    \((n−3)(n−4)\)

    A veces necesitarás factorizar los trinomios de la forma \(x^2+bxy+cy^2\) con dos variables, como \(x^2+12xy+36y^2\). El primer término, \(x^2\), es el producto de los primeros términos de los factores binomiales, \(x·x\). El \(y^2\) en el último término significa que los segundos términos de los factores binomiales deben contener cada uno \(y\). Para obtener los coeficientes \(b\) y \(c\), se utiliza el mismo proceso resumido en Cómo factorizar los trinomios.

    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Factor: \(r^2−8rs−9s^2\).

    Contestar

    Necesitamos \(r\) en el primer término de cada binomio y \(s\) en el segundo término. El último término del trinomio es negativo, por lo que los factores deben tener signos opuestos.
    \(\begin{array} {ll} &r^2−8rs−9s^2 \\ \text{Note that the first terms are }r,\text{last terms contain }s. &(r\quad s)(r\quad s) \\ \text{Find the numbers that multiply to }−9\text{ and add to }−8. \end{array}\)

    Factores de \(−9\) Suma de factores
    \ (−9\)” data-valign="top">\(1,\space −9\) \(−1+9=8\)
    \ (−9\)” data-valign="top">\(−1,\space 9\) \(1+(−9)=−8^∗\)
    \ (−9\)” data-valign="top">\(3,\space −3\) \(3+(−3)=0\)

    \(\begin{array} {ll} \text{Use }1,\space -9\text{ as coefficients of the last terms.} &(r+s)(r−9s) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (r−9s)(r+s) & \\ \hspace{25mm} r^2+rs−9rs−9s^2 & \\ \hspace{30mm} r^2−8rs−9s^2\checkmark & \end{array} \)

    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    Factor: \(a^2−11ab+10b^2\).

    Contestar

    \((a−b)(a−10b)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

    Factor: \(m^2−13mn+12n^2\).

    Contestar

    \((m−n)(m−12n)\)

    Algunos trinomios son primos. La única manera de estar seguro de un trinomio es prime es enumerar todas las posibilidades y demostrar que ninguna de ellas funciona.

    Ejemplo \(\PageIndex{13}\)

    Factor: \(u^2−9uv−12v^2\).

    Contestar

    Necesitamos \(u\) en el primer término de cada binomio y \(v\) en el segundo término. El último término del trinomio es negativo, por lo que los factores deben tener signos opuestos.
    \(\begin{array} {ll} &u^2−9uv−12v^2 \\ \text{Note that the first terms are }u,\text{ last terms contain }v. &(u\quad v)(u\quad v) \\ \text{Find the numbers that multiply to }−12\text{ and add to }−9. & \end{array} \)

    Factores de \(−12\) Suma de factores
    \ (−12\)” data-valign="top">\(1,−12\)
    \(−1,12\)
    \(2,−6\)
    \(−2,6\)
    \(3,−4\)
    \(−3,4\)
    \(1+(−12)=−11\)
    \(−1+12=11\)
    \(2+(−6)=−4\)
    \(−2+6=4\)
    \(3+(−4)=−1\)
    \(−3+4=1\)

    Tenga en cuenta que no hay pares de factores que nos den \(−9\) como suma. El trinomio es primordial.

    Ejemplo \(\PageIndex{14}\)

    Factor: \(x^2−7xy−10y^2\).

    Contestar

    prime

    Ejemplo \(\PageIndex{15}\)

    Factor: \(p^2+15pq+20q^2\).

    Contestar

    prime

    Vamos a resumir el método que acabamos de desarrollar para factorizar los trinomios de la forma \(x^2+bx+c\).

    ESTRATEGIA PARA FACTORING TRINOMIALES DE LA \(x^2+bx+c\)

    Cuando factorizamos un trinomio, primero miramos los signos de sus términos para determinar los signos de los factores binomiales.

      \( x^{2}+b x+c \)  
      \( (x+m)(x+n) \)  
    Cuando \( c \) es positivo, \( m \) y \( n \) tienen el mismo signo.
    \( b \) positivo   \( b \) negativo
    \( m,n \) positivo   \( m,n \) negativo
    \( x^{2}+5 x+6 \)   \( x^{2}-6 x+8 \)
    \( (x+2)(x+3) \)   \( (x-4)(x-2) \)
    mismos signos   mismos signos
    Cuando \( c \) es negativo, \( m \) y \( n \) tienen el signo contrario.
    \( x^{2}+x-12 \)   \( x^{2}-2 x-15 \)
    \( (x+4)(x-3) \)   \( (x-5)(x+3) \)
    signos opuestos   signos opuestos

    Observe que, en el caso cuando \(m\) y \(n\) tenga signos opuestos, el signo del que tiene el valor absoluto mayor coincide con el signo de \(b\).

    Factor Trinomios de la forma ax2+ bx+ cusando Ensayo y Error

    Nuestro siguiente paso es factorizar trinomios cuyo coeficiente principal no es 1, trinomios de la forma \(ax^2+bx+c\).

    ¡Recuerda comprobar siempre primero si hay un GCF ! En ocasiones, después de factorizar el FCM, se convierte en el coeficiente líder del trinomio \(1\) y se puede factorizarlo por los métodos que hemos utilizado hasta ahora. Hagamos un ejemplo para ver cómo funciona esto.

    Example \(\PageIndex{16}\)

    Factor completamente: \(4x^3+16x^2−20x\).

    Contestar

    \(\begin{array} {lll} \text{Is there a greatest common factor?} &\qquad &4x^3+16x^2−20x \\ \quad \text{Yes, }GCF=4x.\text{ Factor it.} & &4x(x^2+4x−5) \\ & & \\ & & \\ \text{Binomial, trinomial, or more than three terms?} & & \\ \quad \text{It is a trinomial. So “undo FOIL.”} & &4x(x\quad)(x\quad) \\ & & \\ & & \\ \text{Use a table like the one shown to find two numbers that} & &4x(x−1)(x+5) \\ \text{multiply to }−5\text{ and add to }4. & & \\ & & \\ & & \end{array} \)

    Factores de \(−5\) Suma de factores
    \ (−5\)” data-valign="top">\(−1,5\)
    \(1,−5\)
    \(−1+5=4^∗\)
    \(1+(−5)=−4\)

    \(\begin{array} {l} \text{Check:}\\ \hspace{27mm}4x(x−1)(x+5) \\ \hspace{25mm} 4x(x^2+5x−x−5) \\ \hspace{30mm} 4x(x^2+4x−5) \\ \hspace{25mm} 4x^3+16x2−20x\checkmark \end{array} \)

    Example \(\PageIndex{17}\)

    Factor completamente: \(5x^3+15x^2−20x\).

    Contestar

    \(5x(x−1)(x+4)\)

    Example \(\PageIndex{18}\)

    Factor completamente: \(6y^3+18y^2−60y\).

    Contestar

    \(6y(y−2)(y+5)\)

    ¿Qué sucede cuando el coeficiente líder no lo es \(1\) y no hay FVC? Existen varios métodos que se pueden utilizar para factorizar estos trinomios. En primer lugar utilizaremos el método Trial and Error.

    Vamos a factorizar el trinomio \(3x^2+5x+2\).

    De nuestro trabajo anterior, esperamos que esto se tenga en cuenta en dos binomios.

    \[3x^2+5x+2\nonumber\]\[(\quad)(\quad)\nonumber\]

    Sabemos que los primeros términos de los factores binomiales se multiplicarán para darnos \(3x^2\). Los únicos factores de \(3x^2\) son \(1x,\space 3x\). Podemos colocarlos en los binomios.

    El polinomio es 3x al cuadrado más 5x más 2. Existen dos pares de paréntesis, siendo los primeros términos en ellos x y 3x.

    Consultar: ¿Lo hace \(1x·3x=3x^2\)?

    Sabemos que los últimos términos de los binomios se multiplicarán a \(2\). Dado que este trinomio tiene todos los términos positivos, sólo necesitamos considerar factores positivos. Los únicos factores de \(2\) son \(1\) y \(2\). Pero ahora tenemos dos casos que considerar ya que marcará la diferencia si escribimos \(1\), \(2\) o \(2\), \(1\).

    La figura muestra el polinomio 3x al cuadrado más 5x más 2 y dos posibles pares de factores. Uno de ellos son paréntesis abiertos x más 1 paréntesis de cierre paréntesis abiertos 3x más 2 paréntesis de cierre. El otro es paréntesis abierto x más 2 paréntesis de cierre paréntesis abiertos 3x más 1 paréntesis de cierre.

    ¿Cuáles son los factores correctos? Para decidir eso, multiplicamos los términos internos y externos.

    La figura muestra el polinomio 3x al cuadrado más 5x más 2 y dos posibles pares de factores. Uno de ellos son paréntesis abiertos x más 1 paréntesis de cierre paréntesis abiertos 3x más 2 paréntesis de cierre. El otro es paréntesis abierto x más 2 paréntesis de cierre paréntesis abiertos 3x más 1 paréntesis de cierre. En cada caso, se muestran flechas emparejando el primer término del primer factor con el último término del segundo factor y el primer término del segundo factor con el último término del primer factor.

    Dado que el término medio del trinomio es \(5x\), los factores en el primer caso funcionarán. Usemos FOILA para verificar.

    \[(x+1)(3x+2)\nonumber\]\[3x^2+2x+3x+2\nonumber\]\[3x^2+5x+2\checkmark\nonumber\]

    Nuestro resultado del factoring es:

    \[3x^2+5x+2\nonumber\]\[(x+1)(3x+2)\nonumber\]

    Ejemplo \(\PageIndex{19}\): Cómo factorizar un trinomio usando ensayo y error

    Factor completamente usando ensayo y error: \(3y^2+22y+7\).

    Contestar

    El paso 1 es escribir el trinomio en orden descendente. El trinomio 3 y al cuadrado más 22y más 7 ya está en orden descendente.El paso 2 es factorizar el GCF. Aquí, no hay ninguno.El paso 3 es Encontrar todos los pares de factores del primer término. Los únicos factores aquí son 1y y 3y. Ya que sólo hay un par, podemos poner cada uno como primer término entre paréntesis.El paso 4 es encontrar todos los pares de factores del tercer término. Aquí, el único par es 1 y 7.El paso 5 es probar todas las combinaciones posibles de los factores hasta encontrar el producto correcto. Para posibles factores paréntesis abiertos y más 1 paréntesis de cierre paréntesis abiertos 37 más 7 paréntesis de cierre, el producto es 3 y al cuadrado más 10y más 7. Para los posibles factores paréntesis abiertos y más 7 paréntesis de cierre paréntesis abiertos 3y más 1 paréntesis de cierre, el producto es 3 y al cuadrado más 22y más 7, que es el producto correcto. De ahí que los factores correctos son paréntesis abiertos y más 7 paréntesis de cierre paréntesis abiertos 3y más 1 paréntesis de cierre.El paso 6 es verificar multiplicando.

    Example \(\PageIndex{20}\)

    Factor completamente usando ensayo y error: \(2a^2+5a+3\).

    Contestar

    \((a+1)(2a+3)\)

    Example \(\PageIndex{21}\)

    Factor completamente usando ensayo y error: \(4b^2+5b+1\).

    Contestar

    \((b+1)(4b+1)\)

    FACTOR TRINOMIALES DE LA FORMA \(ax^2+bx+c\) USANDO PRUEBA Y ERROR
    1. Escribir el trinomio en orden descendente de grados según sea necesario.
    2. Factor cualquier GCF.
    3. Encuentra todos los pares de factores del primer término.
    4. Encuentra todos los pares de factores del tercer término.
    5. Pruebe todas las combinaciones posibles de los factores hasta encontrar el producto correcto.
    6. Verifica multiplicando.

    Recuerden, cuando el término medio es negativo y el último término es positivo, los signos en los binomios deben ser ambos negativos.

    Example \(\PageIndex{22}\)

    Factor completamente usando ensayo y error: \(6b^2−13b+5\).

    Contestar
    El trinomio ya está en orden descendente. .
    Encuentra los factores del primer término. .
    Encuentra los factores del último término. Considera los signos.
    Dado que el último término \(5\),, es positivo sus factores deben ser ambos
    positivos o ambos ser negativos. El coeficiente del término
    medio es negativo, por lo que utilizamos los factores negativos.
    .

    Considera todas las combinaciones de factores.

    \(6b^2−13b+5\)
    Posibles factores Producto
    \ (6b^2−13b+5\) Factores posibles” data-valign="top">\((b−1)(6b−5)\) \ (6b^2−13b+5\) Producto” data-valign="top">\(6b^2−11b+5\)
    \ (6b^2−13b+5\) Factores posibles” data-valign="top">\((b−5)(6b−1)\) \ (6b^2−13b+5\) Producto” data-valign="top">\(6b^2−31b+5\)
    \ (6b^2−13b+5\) Factores posibles” data-valign="top">\((2b−1)(3b−5)\) \ (6b^2−13b+5\) Producto” data-valign="middle">\(6b^2−13b+5^∗\)
    \ (6b^2−13b+5\) Factores posibles” data-valign="top">\((2b−5)(3b−1)\) \ (6b^2−13b+5\) Producto” data-valign="middle">\(6b^2−17b+5\)

    \(\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial.} &(2b−1)(3b−5) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ \hspace{50mm} (2b−1)(3b−5) & \\ \hspace{47mm} 6b^2−10b−3b+5 & \\ \hspace{50mm} 6b^2−13b+5\checkmark & \end{array} \)

    Example \(\PageIndex{23}\)

    Factor completamente usando ensayo y error: \(8x^2−14x+3\).

    Contestar

    \((2x−3)(4x−1)\)

    Example \(\PageIndex{24}\)

    Factor completamente usando ensayo y error: \(10y^2−37y+7\).

    Contestar

    \((2y−7)(5y−1)\)

    Cuando factorizamos una expresión, siempre buscamos primero un factor común más grande. Si la expresión no tiene un mayor factor común, tampoco puede haber uno en sus factores. Esto puede ayudarnos a eliminar algunas de las posibles combinaciones de factores.

    Example \(\PageIndex{25}\)

    Factor completamente usando ensayo y error: \(18x^2−37xy+15y^2\).

    Contestar
    El trinomio ya está en orden descendente. .
    Encuentra los factores del primer término. .
    Encuentra los factores del último término. Considera los signos.
    Dado que 15 es positivo y el coeficiente del
    término medio es negativo, utilizamos los factores negativos.
    .

    Considera todas las combinaciones de factores.

    Esta tabla muestra los posibles factores y productos correspondientes del trinomio 18 x al cuadrado menos 37xy más 15 y al cuadrado. En algunos pares de factores, cuando un factor contiene dos términos con un factor común, se resalta ese factor. En tales casos, el producto no es una opción porque si el trinomio no tiene factores comunes, entonces ninguno de los dos factores puede contener un factor común. Factor: paréntesis abiertos x menos 1y paréntesis de cierre paréntesis abiertos 18x menos 15y paréntesis de cierre, resaltados. Factor, paréntesis abiertos x menos 15y paréntesis de cierre paréntesis abiertos 18x menos 1y paréntesis de cierre; producto: 18 x al cuadrado menos 271xy más 15 y al cuadrado. Factor paréntesis abiertos x menos 3y paréntesis cerrar paréntesis abiertos 18x menos 5 y cerrar paréntesis; producto: 18 x al cuadrado menos 59xy más 15 y al cuadrado. Factor: paréntesis abiertos x menos 5y paréntesis de cierre paréntesis abiertos 18x menos 3y paréntesis de cierre resaltados. Factor: paréntesis abiertos 2x menos 1y paréntesis de cierre paréntesis abiertos 9x menos 15y paréntesis de cierre resaltados. Factor: paréntesis abiertos 2x menos 15y paréntesis de cierre paréntesis abiertos 9x menos 1y paréntesis de cierre; producto 18 x al cuadrado menos 137 xy más 15y al cuadrado. Factor: paréntesis abiertos 2x menos 3y paréntesis de cierre paréntesis abiertos 9x menos 5y paréntesis de cierre; producto: 18 x al cuadrado menos 37xy más 15 y al cuadrado, que es el trinomio original. Factor: paréntesis abiertos 2x menos 57 paréntesis de cierre paréntesis abiertos 9x menos 3y paréntesis de cierre resaltados. Factor: paréntesis abiertos 3x menos 1y paréntesis de cierre paréntesis abiertos 6x menos 15y paréntesis de cierre resaltados. Factor: paréntesis abiertos 3x menos 15y paréntesis de cierre resaltados paréntesis abiertos 6x menos 1y paréntesis de cierre. Factor: paréntesis abiertos 3x menos 3y paréntesis de cierre resaltados paréntesis abiertos 6x menos 5y.

    \(\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product is} & \\ \text{the original trinomial.} &(2x−3y)(9x−5y) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ & \\ & \\ & \\ \hspace{50mm} (2x−3y)(9x−5y) & \\ \hspace{45mm}18x^2−10xy−27xy+15y^2 & \\ \hspace{47mm}18x^2−37xy+15y^2\checkmark & \end{array} \)

    Example \(\PageIndex{26}\)

    Factor completamente usando ensayo y error \(18x^2−3xy−10y^2\).

    Contestar

    \((3x+2y)(6x−5y)\)

    Example \(\PageIndex{27}\)

    Factor completamente usando ensayo y error: \(30x^2−53xy−21y^2\).

    Contestar

    \((3x+y)(10x−21y)\)

    No olvides buscar primero un GCF y recuerda si el coeficiente líder es negativo, también lo es el GCF.

    Example \(\PageIndex{28}\)

    Factor completamente usando ensayo y error: \(−10y^4−55y^3−60y^2\).

    Contestar
      .
    Observa el mayor factor común, así que facítalo primero. .
    Factor el trinomio. .

    Considera todas las combinaciones.

    Esta tabla muestra los posibles factores y producto del trinomio 2 y al cuadrado más 11y más 12. En algunos pares de factores, cuando un factor contiene dos términos con un factor común, se resalta ese factor. En tales casos, el producto no es una opción porque si el trinomio no tiene factores comunes, entonces ninguno de los dos factores puede contener un factor común. Factor: y más 1, 2y más 12 resaltado. Factor: y más 12, 2y más 1; producto: 2 y al cuadrado más 25y más 12. Factor: y más 2, 2y más 6 resaltado. Factor: y más 6, 2y más 2 resaltado. Factor: y más 3, 2y más 4 resaltado. Factor: y más 4, 2y más 3; producto: 2 y al cuadrado más 11y más 12. Este es el trinomio original.

    \(\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial. Remember to include} & \\ \text{the factor }−5^y2. &−5y^2(y+4)(2y+3) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ \hspace{50mm} −5y^2(y+4)(2y+3) & \\ \hspace{45mm} −5y^2(2y^2+8y+3y+12) & \\ \hspace{47mm}−10y^4−55y^3−60y^2\checkmark & \end{array} \)

    Example \(\PageIndex{29}\)

    Factor completamente usando ensayo y error: \(15n^3−85n^2+100n\).

    Contestar

    \(5n(n−4)(3n−5)\)

    Example \(\PageIndex{30}\)

    Factor completamente usando ensayo y error: \(56q^3+320q^2−96q\).

    Contestar

    \(8q(q+6)(7q−2)\)

    Factor Trinomios de la Forma \(ax^2+bx+c\) usando el Método “\(ac\)

    Otra forma de factorizar los trinomios de la forma \(ax^2+bx+c\) es el método “\(ac\)”. (El método “\(ac\)” a veces se llama el método de agrupación). El método “\(ac\)” es en realidad una extensión de los métodos que utilizó en la última sección a los trinomios de factor con coeficiente principal uno. Este método es muy estructurado (es decir paso a paso), ¡y siempre funciona!

    Ejemplo \(\PageIndex{31}\): Cómo factorizar los trinomios usando el método “ac”

    Factor mediante el método “\(ac\)”: \(6x^2+7x+2\).

    Contestar

    El paso 1 es factorizar el GCF. No hay ninguno en 6 x al cuadrado más 7x más 2.El paso 2 es encontrar el producto de a y c. El producto de 6 y 2 es 12.El paso 3 es encontrar 2 números m y n tal que mn es ac y m más n es b, así que necesitamos números que se multipliquen a 12 y sumen a 7. Ambos factores deben ser positivos. 3 veces 4 es 12 y 3 más 4 es 7.El paso 4 es dividir el término medio usando m y n, por lo que reescribimos 7 x como 3x más 4x. Daría el mismo resultado si usáramos 4x más 3x. Reescribiendo, obtenemos 6 x al cuadrado más 3x más 4x más 2. Note que esto es lo mismo que el polinomio original. Acabamos de dividir el término medio para obtener una forma más útilEl paso 5 es factorizar por agrupación. Entonces, obtenemos, 3x paréntesis abiertos 2x más 1 paréntesis de cierre más 2 paréntesis abiertos 2x más 1 paréntesis de cierre. Esto es igual a 2x más 1, 3x más 2.El paso 6 es verificar multiplicando los factores.

    Ejemplo \(\PageIndex{32}\)

    Factor mediante el método “\(ac\)”: \(6x^2+13x+2\).

    Contestar

    \((x+2)(6x+1)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{33}\)

    Factor mediante el método “\(ac\)”: \(4y^2+8y+3\).

    Contestar

    \((2y+1)(2y+3)\)

    El método “\(ac\)” se resume aquí.

    FACTOR TRINOMIALES DE LA FORMA \(ax^2+bx+c\) UTILIZANDO EL MÉTODO “\(ac\)
    1. Factor cualquier GCF.
    2. Encuentra el producto \(ac\).
    3. Encuentra dos números \(m\) y \(n\) eso:
      \(\begin{array} {ll} \text{Multiply to }ac &m·n=a·c \\ \text{Add to }b &m+n=b \\ &ax^2+bx+c \end{array} \)
    4. Dividir el término medio usando \(m\) y \(n\). \(ax^2+mx+nx+c\)
    5. Factor por agrupación.
    6. Verificar multiplicando los factores.

    ¡No olvides buscar un factor común!

    Ejemplo \(\PageIndex{34}\)

    Factor mediante el método '\(ac\)”: \(10y^2−55y+70\).

    Contestar
    ¿Existe un factor común más grande?    
    Sí. El GCF es \(5\).   .
    Factor él.   .
    El trinomio dentro de los paréntesis tiene un coeficiente
    principal que no lo es \(1\).
      .
    Encuentra el producto \(ac\). \(ac=28\)  
    Encuentra dos números que se multiplican a \(ac\) \((−4)(−7)=28\)  
    y añadir a \(b\). \(−4(−7)=−11\)  
    Dividir el mediano plazo.   .
        .
    Factor del trinomio por agrupación.   .
        .

    Verifica multiplicando los tres factores.

    \(\hspace{50mm} 5(y−2)(2y−7)\)

    \(\hspace{45mm} 5(2y^2−7y−4y+14)\)

    \(\hspace{48mm} 5(2y^2−11y+14)\)

    \(\hspace{49mm} 10y^2−55y+70\checkmark\)

       
    Ejemplo \(\PageIndex{35}\)

    Factor mediante el método “\(ac\)”: \(16x^2−32x+12\).

    Contestar

    \(4(2x−3)(2x−1)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{36}\)

    Factor mediante el método “\(ac\)”: \(18w^2−39w+18\).

    Contestar

    \(3(3w−2)(2w−3)\)

    Factor que usa la sustitución

    A veces un trinomio no parece estar en la \(ax^2+bx+c\) forma. No obstante, muchas veces podemos hacer una sustitución reflexiva que nos permita hacer que se ajuste a la \(ax^2+bx+c\) forma. A esto se le llama factoring por sustitución. Es estándar utilizar \(u\) para la sustitución.

    En el \(ax^2+bx+c\), el término medio tiene una variable, \(x\), y su cuadrado \(x^2\),, es la parte variable del primer término. Busca esta relación mientras intentas encontrar una sustitución.

    Example \(\PageIndex{37}\)

    Factor por sustitución: \(x^4−4x^2−5\).

    Contestar

    La parte variable del término medio es \(x^2\) y su cuadrado, \(x^4\), es la parte variable del primer término. (Sabemos \((x^2)^2=x^4)\). Si lo dejamos \(u=x^2\), podemos poner nuestro trinomio en la \(ax^2+bx+c\) forma que necesitamos para factorizarlo.

      \(x^4−4x^2−5\)
    Reescribir el trinomio para prepararse para la sustitución. \((x^2)^2−4(x^2)-5\)
    Dejar \(u=x^2\) y sustituir. \((u)^2−4(u)-5\)
    Factor el trinomio. \((u+1)(u-5)\)
    Reemplazar \(u\) con \(x^2\). \((x^2+1)(x^2-5)\)
    Chequear:

    \(\begin{array} {l} \hspace{37mm} (x^2+1)(x^2−5) \\ \hspace{35mm}x^4−5x^2+x^2−5 \\ \hspace{40mm}x^4−4x^2−5\checkmark\end{array}\)
     
    Example \(\PageIndex{38}\)

    Factor por sustitución: \(h^4+4h^2−12\).

    Contestar

    \((h^2−2)(h^2+6)\)

    Example \(\PageIndex{39}\)

    Factor por sustitución: \(y^4−y^2−20\).

    Contestar

    \((y^2+4)(y^2−5)\)

    En ocasiones la expresión a sustituir no es monomio.

    Example \(\PageIndex{40}\)

    Factor por sustitución: \((x−2)^2+7(x−2)+12\)

    Contestar

    El binomio en el mediano plazo, \((x−2)\) es cuadrado en el primer término. Si lo dejamos \(u=x−2\) y sustituimos, nuestro trinomio estará en \(ax^2+bx+c\) forma.

      .
    Reescribir el trinomio para prepararse para la sustitución. .
    Dejar \(u=x−2\) y sustituir. .
    Factor el trinomio. .
    Reemplazar \(u\) con \(x−2\). .
    Simplificar dentro de los paréntesis. .

    Esto también podría ser factorizado multiplicando primero el \((x−2)^2\) y el \(7(x−2)\) y luego combinando términos similares y luego factorizando. La mayoría de los estudiantes prefieren el método de sustitución.

    Example \(\PageIndex{41}\)

    Factor por sustitución: \((x−5)^2+6(x−5)+8\).

    Contestar

    \((x−3)(x−1)\)

    Example \(\PageIndex{42}\)

    Factor por sustitución: \((y−4)^2+8(y−4)+15\).

    Contestar

    \((y−1)(y+1)\)

    Vea este video para instrucciones adicionales y práctica con factoring.

    Conceptos Clave

    • Cómo factorizar los trinomios de la forma \(x^2+bx+c\).
      1. Escribir los factores como dos binomios con primeros términos x. \(\quad \begin{array} (l) x^2+bx+c \\ (x\quad)(x\quad)\end{array}\)
      2. Encuentra dos números \(m\) y \(n\) eso
        \(\begin{array} {ll} \text{multiply to} &c,\space m·n=c \\ \text{add to} &b,\space m+n=b\end{array}\)
      3. Uso \(m\) y \(n\) como últimos términos de los factores. \(\qquad (x+m)(x+n)\)
      4. Verificar multiplicando los factores.
    • Estrategia para factorizar trinomios de la forma \(x^2+bx+c\): Cuando se factoriza un trinomio, primero observamos los signos de sus términos para determinar los signos de los factores binomiales.

      Para los trinomios de la forma: \(x^2+bx+c = (x+m)(x+n)\)

      Cuando \(c\) es positivo, \(m\) y \(n\) debe tener el mismo signo (y este será el signo de \(b\) ).

      Ejemplos: \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\), \(x^2−6x+8 = (x−4)(x−2)\)

      Cuando \(c\) es negativo, \(m\) y \(n\) tienen signos opuestos. El más grande de \(m\) y\(n\) tendrá el signo de \(b\).

      Ejemplos: \(x^2+x−12=(x+4)(x−3)\), \(x^2−2x−15=(x−5)(x+3)\)

      Observe que, en el caso cuando \(m\) y \(n\) tenga signos opuestos, el signo del que tiene el valor absoluto mayor coincide con el signo de \(b\).
    • Cómo factorizar los trinomios de la forma \(ax^2+bx+c\) mediante ensayo y error
      1. Escribir el trinomio en orden descendente de grados según sea necesario.
      2. Factor cualquier GCF.
      3. Encuentra todos los pares de factores del primer término.
      4. Encuentra todos los pares de factores del tercer término.
      5. Pruebe todas las combinaciones posibles de los factores hasta encontrar el producto correcto.
      6. Verifica multiplicando.
    • Cómo factorizar los trinomios de la forma \(ax^2+bx+c\) utilizando el método “\(ac\)
      1. Factor cualquier GCF.
      2. Encuentra el producto \(ac\).
      3. Encuentra dos números \(m\) y \(n\) eso:
        \(\begin{array} {ll} \text{Multiply to }ac. &m·n=a·c \\ \text{Add to }b. &m+n=b \\ &ax^2+bx+c\end{array}\)
      4. Dividir el término medio usando \(m\) y \(n\). \(\quad ax^2+mx+nx+c\)
      5. Factor por agrupación.
      6. Verificar multiplicando los factores.

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