6.3: Trinomios factoriales

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Trinomios factoriales de la forma$x^2+bx+c$
• Trinomios factoriales de la forma$ax^2+bx+c$ usando ensayo y error
• Trinomios factoriales de la forma$ax^2+bx+c$ usando el método$ac$ ''
• Factor usando sustitución

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Encuentra todos los factores de 72.
   Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
2. Encuentra el producto:$(3y+4)(2y+5)$.
   Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
3. Simplificar:$−9(6);\space −9(−6)$.
   Si te perdiste este problema, revisa [enlace].

Trinomios factoriales de la Forma$x^2+bx+c$

Ya aprendiste a multiplicar binomios usando FOIL. Ahora necesitarás “deshacer” esta multiplicación. Facturar el trinomio significa comenzar con el producto, y terminar con los factores.

Para averiguar cómo factorizaríamos un trinomio de la forma$x^2+bx+c$, tal como$x^2+5x+6$ y factorizarlo a$(x+2)(x+3)$, comencemos con dos binomios generales de la forma$(x+m)$ y$(x+n)$.

	$(x+m)(x+n)$
Foil para encontrar el producto.	$x^{2}+m x+n x+m n$
Facturar el GCF a partir de los términos medios.	$x^{2}+(m+n) x+m n$
Nuestro trinomio es de la forma$x^2+bx+c$.	$\overbrace{x^{2}+(m+n) x+m n}^{\color{red}x^{2}+b x+c}$

Esto nos dice que para factorizar un trinomio de la forma$x^2+bx+c$, necesitamos dos factores$(x+m)$ y$(x+n)$ donde los dos números$m$ y se$n$ multiplican a$c$ y se suman a$b$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: How to Factor a Trinomial of the form $x^2+bx+c$

Factor:$x^2+11x+24$.

Contestar

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Factor:$q^2+10q+24$.

Contestar

$(q+4)(q+6)$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Factor:$t^2+14t+24$.

Contestar

$(t+2)(t+12)$

Resumamos los pasos que usamos para encontrar los factores.

 

1. Escribe los factores como dos binomios con los primeros términos x. $\quad \begin{array} {l} x^2+bx+c \\ (x\quad)(x\quad) \end{array}$
2. Encuentra dos números$m$ y$n$ eso
   • multiplicar a$c$,$m·n=c$
   • agregar a$b$,$m+n=b$
3. Uso$m$ y$n$ como los últimos términos de los factores. $\quad (x+m)(x+n)$
4. Verificar multiplicando los factores.

En el primer ejemplo, todos los términos en el trinomio fueron positivos. ¿Qué pasa cuando hay términos negativos? Bueno, depende qué término es negativo. Veamos primero los trinomios con solo el negativo a medio plazo.

¿Cómo se obtiene un producto positivo y una suma negativa? Usamos dos números negativos.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Factor:$y^2−11y+28$.

Contestar

Nuevamente, con el último término positivo$28$, y el término medio negativo$−11y$, necesitamos dos factores negativos. Encuentra dos números que se multiplican$28$ y se suman a$−11$.
$\begin{array} {ll} &y^2−11y+28 \\ \text{Write the factors as two binomials with first terms }y. &( y \quad )( y \quad ) \\ \text{Find two numbers that: multiply to }28\text{ and add to }−11.\end{array}$

Factores de$28$	Suma de factores
\ (28\)” data-valign="top">$−1,\space −28$ $−2,\space −14$ $−4,\space −7$	$−1+(−28)=−29$ $−2+(−14)=−16$ $−4+(−7)=−11^∗$

$\begin{array} {ll} \text{Use }−4,\space −7\text{ as the last terms of the binomials.} &(y−4)(y−7) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (y−4)(y−7) & \\ \hspace{25mm} y^2−7y−4y+28 & \\ \hspace{30mm} y^2−11y+28\checkmark & \end{array}$

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Factor:$u^2−9u+18$.

Contestar

$(u−3)(u−6)$

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Factor:$y^2−16y+63$.

Contestar

$(y−7)(y−9)$

Ahora bien, ¿y si el último término en el trinomio es negativo? Piensa en FOIL. El último término es producto de los últimos términos en los dos binomios. Un producto negativo resulta de multiplicar dos números con signos opuestos. Hay que tener mucho cuidado para elegir factores para asegurarse de obtener la señal correcta para el mediano plazo, también.

¿Cómo se obtiene un producto negativo y una suma positiva? Usamos un número positivo y otro negativo.

Cuando factorizamos trinomios, debemos tener los términos escritos en orden descendente, en orden desde el grado más alto hasta el grado más bajo.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Factor:$2x+x^2−48$.

Contestar

$\begin{array} {ll} &2x+x^2−48 \\ \text{First we put the terms in decreasing degree order.} &x^2+2x−48 \\ \text{Factors will be two binomials with first terms }x. &(x\quad)(x\quad) \end{array}$

Factores de −48−48	Suma de factores
$−1,\space 48$ $−2,\space 24$ $−3,\space 16$ $−4,\space 12$ $−6,\space 8$	$−1+48=47$ $−2+24=22$ $−3+16=13$ $−4+12=8$ $−6+8=2^∗$

$\begin{array} {ll} \text{Use }−6,\space 8\text{ as the last terms of the binomials.} &(x−6)(x+8) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (x−6)(x+8) & \\ \hspace{25mm} x^2−6q+8q−48 & \\ \hspace{30mm} x^2+2x−48\checkmark & \end{array}$

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Factor:$9m+m^2+18$.

Contestar

$(m+3)(m+6)$

Ejemplo$\PageIndex{9}$

Factor:$−7n+12+n^2$.

Contestar

$(n−3)(n−4)$

A veces necesitarás factorizar trinomios de la forma$x^2+bxy+cy^2$ con dos variables, como$x^2+12xy+36y^2$. El primer término,$x^2$, es producto de los primeros términos de los factores binomiales,$x·x$. El$y^2$ en el último término significa que los segundos términos de los factores binomiales deben contener cada uno$y$. Para obtener los coeficientes$b$ y$c$, se utiliza el mismo proceso resumido en Cómo factorizar trinomios.

Ejemplo$\PageIndex{10}$

Factor:$r^2−8rs−9s^2$.

Contestar

Necesitamos$r$ en el primer término de cada binomio y$s$ en el segundo término. El último término del trinomio es negativo, por lo que los factores deben tener signos opuestos.
$\begin{array} {ll} &r^2−8rs−9s^2 \\ \text{Note that the first terms are }r,\text{last terms contain }s. &(r\quad s)(r\quad s) \\ \text{Find the numbers that multiply to }−9\text{ and add to }−8. \end{array}$

Factores de$−9$	Suma de factores
\ (−9\)” datos-valign="top">$1,\space −9$	$−1+9=8$
\ (−9\)” datos-valign="top">$−1,\space 9$	$1+(−9)=−8^∗$
\ (−9\)” datos-valign="top">$3,\space −3$	$3+(−3)=0$

$\begin{array} {ll} \text{Use }1,\space -9\text{ as coefficients of the last terms.} &(r+s)(r−9s) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (r−9s)(r+s) & \\ \hspace{25mm} r^2+rs−9rs−9s^2 & \\ \hspace{30mm} r^2−8rs−9s^2\checkmark & \end{array}$

Ejemplo$\PageIndex{11}$

Factor:$a^2−11ab+10b^2$.

Contestar

$(a−b)(a−10b)$

Ejemplo$\PageIndex{12}$

Factor:$m^2−13mn+12n^2$.

Contestar

$(m−n)(m−12n)$

Algunos trinomios son primos. La única manera de estar seguro de un trinomio es prime es enumerar todas las posibilidades y demostrar que ninguna de ellas funciona.

Ejemplo$\PageIndex{13}$

Factor:$u^2−9uv−12v^2$.

Contestar

Necesitamos$u$ en el primer término de cada binomio y$v$ en el segundo término. El último término del trinomio es negativo, por lo que los factores deben tener signos opuestos.
$\begin{array} {ll} &u^2−9uv−12v^2 \\ \text{Note that the first terms are }u,\text{ last terms contain }v. &(u\quad v)(u\quad v) \\ \text{Find the numbers that multiply to }−12\text{ and add to }−9. & \end{array}$

Factores de$−12$	Suma de factores
\ (−12\)” datos-valign="top">$1,−12$ $−1,12$ $2,−6$ $−2,6$ $3,−4$ $−3,4$	$1+(−12)=−11$ $−1+12=11$ $2+(−6)=−4$ $−2+6=4$ $3+(−4)=−1$ $−3+4=1$

Tenga en cuenta que no hay pares de factores que nos den$−9$ como suma. El trinomio es primo.

Ejemplo$\PageIndex{14}$

Factor:$x^2−7xy−10y^2$.

Contestar

prime

Ejemplo$\PageIndex{15}$

Factor:$p^2+15pq+20q^2$.

Contestar

prime

Resumamos el método que acabamos de desarrollar para facturar trinomios de la forma$x^2+bx+c$.

ESTRATEGIA PARA FACTORAR TRINOMIOS DE LA FORMA$x^2+bx+c$

Cuando factorizamos un trinomio, miramos primero los signos de sus términos para determinar los signos de los factores binomiales.

	$x^{2}+b x+c$
	$(x+m)(x+n)$
Cuando$c$ es positivo,$m$ y$n$ tienen el mismo signo.
$b$positivo		$b$negativo
$m,n$positivo		$m,n$negativo
$x^{2}+5 x+6$		$x^{2}-6 x+8$
$(x+2)(x+3)$		$(x-4)(x-2)$
mismos signos		mismos signos
Cuando$c$ es negativo,$m$ y$n$ tienen el signo contrario.
$x^{2}+x-12$		$x^{2}-2 x-15$
$(x+4)(x-3)$		$(x-5)(x+3)$
signos opuestos		signos opuestos

Observe que, en el caso cuando$m$ y$n$ tengan signos opuestos, el signo del que tiene el valor absoluto mayor coincide con el signo de$b$.

Trinomios factoriales de la forma ax ² + bx + c usando Prueba y Error

Nuestro siguiente paso es factorizar trinomios cuyo coeficiente principal no es 1, trinomios de la forma$ax^2+bx+c$.

¡Recuerda siempre verificar primero un GCF! A veces, después de factorizar el GCF, el coeficiente principal del trinomio se vuelve$1$ y puedes factorizarlo por los métodos que hemos utilizado hasta ahora. Hagamos un ejemplo para ver cómo funciona esto.

Ejemplo$\PageIndex{16}$

Factor completamente:$4x^3+16x^2−20x$.

Contestar

$\begin{array} {lll} \text{Is there a greatest common factor?} &\qquad &4x^3+16x^2−20x \\ \quad \text{Yes, }GCF=4x.\text{ Factor it.} & &4x(x^2+4x−5) \\ & & \\ & & \\ \text{Binomial, trinomial, or more than three terms?} & & \\ \quad \text{It is a trinomial. So “undo FOIL.”} & &4x(x\quad)(x\quad) \\ & & \\ & & \\ \text{Use a table like the one shown to find two numbers that} & &4x(x−1)(x+5) \\ \text{multiply to }−5\text{ and add to }4. & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Factores de$−5$	Suma de factores
\ (−5\)” datos-valign="top">$−1,5$ $1,−5$	$−1+5=4^∗$ $1+(−5)=−4$

$\begin{array} {l} \text{Check:}\\ \hspace{27mm}4x(x−1)(x+5) \\ \hspace{25mm} 4x(x^2+5x−x−5) \\ \hspace{30mm} 4x(x^2+4x−5) \\ \hspace{25mm} 4x^3+16x2−20x\checkmark \end{array}$

Ejemplo$\PageIndex{17}$

Factor completamente:$5x^3+15x^2−20x$.

Contestar

$5x(x−1)(x+4)$

Ejemplo$\PageIndex{18}$

Factor completamente:$6y^3+18y^2−60y$.

Contestar

$6y(y−2)(y+5)$

¿Qué sucede cuando el coeficiente principal no es$1$ y no hay GCF? Existen varios métodos que se pueden utilizar para factorizar estos trinomios. Primero usaremos el método de Prueba y Error.

Facturemos el trinomio$3x^2+5x+2$.

De nuestro trabajo anterior, esperamos que esto se factorizará en dos binomios.

$$3x^2+5x+2\nonumber$$ $$(\quad)(\quad)\nonumber$$

Sabemos que los primeros términos de los factores binomiales se multiplicarán para darnos$3x^2$. Los únicos factores de$3x^2$ son$1x,\space 3x$. Podemos colocarlos en los binomios.

Cheque: ¿Lo hace$1x·3x=3x^2$?

Sabemos que los últimos términos de los binomios se multiplicarán a$2$. Dado que este trinomio tiene todos los términos positivos, solo necesitamos considerar factores positivos. Los únicos factores de$2$ son$1$ y$2$. Pero ahora tenemos dos casos a considerar ya que marcará la diferencia si escribimos$1$,$2$ o$2$,$1$.

¿Qué factores son correctos? Para decidir eso, multiplicamos los términos interno y externo.

Dado que el término medio del trinomio es$5x$, los factores en el primer caso funcionarán. Usemos FOIL para verificar.

$$(x+1)(3x+2)\nonumber$$ $$3x^2+2x+3x+2\nonumber$$ $$3x^2+5x+2\checkmark\nonumber$$

Nuestro resultado del factoring es:

$$3x^2+5x+2\nonumber$$ $$(x+1)(3x+2)\nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{19}$: How to Factor a Trinomial Using Trial and Error

Facturar completamente usando prueba y error:$3y^2+22y+7$.

Contestar

Ejemplo$\PageIndex{20}$

Facturar completamente usando prueba y error:$2a^2+5a+3$.

Contestar

$(a+1)(2a+3)$

Ejemplo$\PageIndex{21}$

Facturar completamente usando prueba y error:$4b^2+5b+1$.

Contestar

$(b+1)(4b+1)$

TRINOMIOS FACTORIALES DE LA FORMA$ax^2+bx+c$ USING TRIAL AND ERROR.

1. Escribir el trinomio en orden descendente de grados según sea necesario.
2. Factorial cualquier GCF.
3. Encuentra todos los pares de factores del primer término.
4. Encuentra todos los pares de factores del tercer término.
5. Pruebe todas las combinaciones posibles de los factores hasta encontrar el producto correcto.
6. Verificar multiplicando.

Recuerde, cuando el término medio es negativo y el último término es positivo, los signos en los binomios deben ser ambos negativos.

Ejemplo$\PageIndex{22}$

Facturar completamente usando prueba y error:$6b^2−13b+5$.

Contestar

El trinomio ya está en orden descendente.
Encuentra los factores del primer término.
Encuentra los factores del último término. Considera las señales. Desde el último término,$5$, es positivo sus factores deben ser ambos positivos o ambos ser negativos. El coeficiente del término medio es negativo, por lo que utilizamos los factores negativos.

Considera todas las combinaciones de factores.

$6b^2−13b+5$
Posibles factores	Producto
\ (6b^2−13b+5\) Factores posibles” data-valign="top">$(b−1)(6b−5)$	\ (6b^2−13b+5\) Producto” data-valign="top">$6b^2−11b+5$
\ (6b^2−13b+5\) Factores posibles” data-valign="top">$(b−5)(6b−1)$	\ (6b^2−13b+5\) Producto” data-valign="top">$6b^2−31b+5$
\ (6b^2−13b+5\) Factores posibles” data-valign="top">$(2b−1)(3b−5)$	\ (6b^2−13b+5\) Producto” data-valign="middle">$6b^2−13b+5^∗$
\ (6b^2−13b+5\) Factores posibles” data-valign="top">$(2b−5)(3b−1)$	\ (6b^2−13b+5\) Producto” data-valign="middle">$6b^2−17b+5$

$\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial.} &(2b−1)(3b−5) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ \hspace{50mm} (2b−1)(3b−5) & \\ \hspace{47mm} 6b^2−10b−3b+5 & \\ \hspace{50mm} 6b^2−13b+5\checkmark & \end{array}$

Ejemplo$\PageIndex{23}$

Facturar completamente usando prueba y error:$8x^2−14x+3$.

Contestar

$(2x−3)(4x−1)$

Ejemplo$\PageIndex{24}$

Facturar completamente usando prueba y error:$10y^2−37y+7$.

Contestar

$(2y−7)(5y−1)$

Cuando facetamos una expresión, siempre buscamos primero un factor común más grande. Si la expresión no tiene un mayor factor común, tampoco puede haber uno en sus factores. Esto puede ayudarnos a eliminar algunas de las posibles combinaciones de factores.

Ejemplo$\PageIndex{25}$

Facturar completamente usando prueba y error:$18x^2−37xy+15y^2$.

Contestar

El trinomio ya está en orden descendente.
Encuentra los factores del primer término.
Encuentra los factores del último término. Considera las señales. Dado que 15 es positivo y el coeficiente del término medio es negativo, utilizamos los factores negativos.

Considera todas las combinaciones de factores.

$\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product is} & \\ \text{the original trinomial.} &(2x−3y)(9x−5y) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ & \\ & \\ & \\ \hspace{50mm} (2x−3y)(9x−5y) & \\ \hspace{45mm}18x^2−10xy−27xy+15y^2 & \\ \hspace{47mm}18x^2−37xy+15y^2\checkmark & \end{array}$

Ejemplo$\PageIndex{26}$

Facturar completamente usando prueba y error$18x^2−3xy−10y^2$.

Contestar

$(3x+2y)(6x−5y)$

Ejemplo$\PageIndex{27}$

Facturar completamente usando prueba y error:$30x^2−53xy−21y^2$.

Contestar

$(3x+y)(10x−21y)$

No olvides buscar primero un GCF y recordar si el coeficiente principal es negativo, también lo es el GCF.

Ejemplo$\PageIndex{28}$

Facturar completamente usando prueba y error:$−10y^4−55y^3−60y^2$.

Contestar

Observe el mayor factor común, entonces factírelo primero.
Factorial el trinomio.

Considera todas las combinaciones.

$\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial. Remember to include} & \\ \text{the factor }−5^y2. &−5y^2(y+4)(2y+3) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ \hspace{50mm} −5y^2(y+4)(2y+3) & \\ \hspace{45mm} −5y^2(2y^2+8y+3y+12) & \\ \hspace{47mm}−10y^4−55y^3−60y^2\checkmark & \end{array}$

Ejemplo$\PageIndex{29}$

Facturar completamente usando prueba y error:$15n^3−85n^2+100n$.

Contestar

$5n(n−4)(3n−5)$

Ejemplo$\PageIndex{30}$

Facturar completamente usando prueba y error:$56q^3+320q^2−96q$.

Contestar

$8q(q+6)(7q−2)$

Trinomios factoriales de la Forma$ax^2+bx+c$ usando el Método “$ac$”

Otra forma de facturar trinomios de la forma$ax^2+bx+c$ es el método “$ac$”. (El método “$ac$” a veces se llama el método de agrupación.) El método “$ac$” es en realidad una extensión de los métodos que utilizó en la última sección para factorizar trinomios con coeficiente inicial uno. Este método es muy estructurado (eso es paso a paso), ¡y siempre funciona!

Ejemplo$\PageIndex{31}$: How to Factor Trinomials using the “ac” Method

Factor usando el método “$ac$”:$6x^2+7x+2$.

Contestar

Ejemplo$\PageIndex{32}$

Factor usando el método “$ac$”:$6x^2+13x+2$.

Contestar

$(x+2)(6x+1)$

Ejemplo$\PageIndex{33}$

Factor usando el método “$ac$”:$4y^2+8y+3$.

Contestar

$(2y+1)(2y+3)$

Aquí se resume el método “$ac$”.

TRINOMIOS FACTORIALES DE LA FORMA$ax^2+bx+c$ USING THE “$ac$” METHOD.

1. Factorial cualquier GCF.
2. Encuentra el producto$ac$.
3. Encuentra dos números$m$ y$n$ que:
   $\begin{array} {ll} \text{Multiply to }ac &m·n=a·c \\ \text{Add to }b &m+n=b \\ &ax^2+bx+c \end{array}$
4. Dividir el término medio usando$m$ y$n$. $ax^2+mx+nx+c$
5. Factor por agrupación.
6. Verificar multiplicando los factores.

¡No olvides buscar un factor común!

Ejemplo$\PageIndex{34}$

Factor usando el método '“$ac$”:$10y^2−55y+70$.

Contestar

¿Hay un factor común más grande?
Sí. El GCF es$5$.
Factorial.
El trinomio dentro de los paréntesis tiene un coeficiente principal que no lo es$1$.
Encuentra el producto$ac$.	$ac=28$
Encuentra dos números que se multiplican a$ac$	$(−4)(−7)=28$
y agregar a$b$.	$−4(−7)=−11$
Dividir el término medio.
Facturar el trinomio por agrupación.
Verifique multiplicando los tres factores. $\hspace{50mm} 5(y−2)(2y−7)$ $\hspace{45mm} 5(2y^2−7y−4y+14)$ $\hspace{48mm} 5(2y^2−11y+14)$ $\hspace{49mm} 10y^2−55y+70\checkmark$

Ejemplo$\PageIndex{35}$

Factor usando el método “$ac$”:$16x^2−32x+12$.

Contestar

$4(2x−3)(2x−1)$

Ejemplo$\PageIndex{36}$

Factor usando el método “$ac$”:$18w^2−39w+18$.

Contestar

$3(3w−2)(2w−3)$

Factor mediante sustitución

A veces un trinomio no parece estar en la$ax^2+bx+c$ forma. Sin embargo, a menudo podemos hacer una sustitución reflexiva que nos permitirá que se ajuste a la$ax^2+bx+c$ forma. A esto se le llama factorización por sustitución. Es estándar usar$u$ para la sustitución.

En el$ax^2+bx+c$, el término medio tiene una variable,$x$, y su cuadrado$x^2$,, es la parte variable del primer término. Busca esta relación mientras intentas encontrar una sustitución.

Ejemplo$\PageIndex{37}$

Factor por sustitución:$x^4−4x^2−5$.

Contestar

La parte variable del término medio es$x^2$ y su cuadrado,$x^4$, es la parte variable del primer término. (Ya sabemos$(x^2)^2=x^4)$. Si lo dejamos$u=x^2$, podemos poner nuestro trinomio en la$ax^2+bx+c$ forma que necesitamos para faccionarlo.

	$x^4−4x^2−5$
Reescribir el trinomio para prepararse para la sustitución.	$(x^2)^2−4(x^2)-5$
Dejar$u=x^2$ y sustituir.	$(u)^2−4(u)-5$
Factorial el trinomio.	$(u+1)(u-5)$
Reemplazar$u$ con$x^2$.	$(x^2+1)(x^2-5)$
Comprobar: $\begin{array} {l} \hspace{37mm} (x^2+1)(x^2−5) \\ \hspace{35mm}x^4−5x^2+x^2−5 \\ \hspace{40mm}x^4−4x^2−5\checkmark\end{array}$

Ejemplo$\PageIndex{38}$

Factor por sustitución:$h^4+4h^2−12$.

Contestar

$(h^2−2)(h^2+6)$

Ejemplo$\PageIndex{39}$

Factor por sustitución:$y^4−y^2−20$.

Contestar

$(y^2+4)(y^2−5)$

A veces la expresión a sustituir no es un monomio.

Ejemplo$\PageIndex{40}$

Factor por sustitución:$(x−2)^2+7(x−2)+12$

Contestar

El binomio en el término medio,$(x−2)$ es cuadrado en el primer término. Si dejamos$u=x−2$ y sustituimos, nuestro trinomio estará en$ax^2+bx+c$ forma.

Reescribir el trinomio para prepararse para la sustitución.
Dejar$u=x−2$ y sustituir.
Factorial el trinomio.
Reemplazar$u$ con$x−2$.
Simplifica dentro de los paréntesis.

Esto también podría factorizarse multiplicando primero el$(x−2)^2$ y el$7(x−2)$ y luego combinando términos similares y luego factorizando. La mayoría de los estudiantes prefieren el método de sustitución.

Ejemplo$\PageIndex{41}$

Factor por sustitución:$(x−5)^2+6(x−5)+8$.

Contestar

$(x−3)(x−1)$

Ejemplo$\PageIndex{42}$

Factor por sustitución:$(y−4)^2+8(y−4)+15$.

Contestar

$(y−1)(y+1)$

Vea este video para obtener instrucciones y prácticas adicionales con el factoring.

Conceptos clave

• Cómo factorizar trinomios de la forma$x^2+bx+c$.
  1. Escribe los factores como dos binomios con los primeros términos x. $\quad \begin{array} (l) x^2+bx+c \\ (x\quad)(x\quad)\end{array}$
  2. Encuentra dos números$m$ y$n$ eso
     $\begin{array} {ll} \text{multiply to} &c,\space m·n=c \\ \text{add to} &b,\space m+n=b\end{array}$
  3. Uso$m$ y$n$ como los últimos términos de los factores. $\qquad (x+m)(x+n)$
  4. Verificar multiplicando los factores.
• Estrategia para Factorizar Trinomios de la Forma$x^2+bx+c$: Cuando factorizamos un trinomio, analizamos primero los signos de sus términos para determinar los signos de los factores binomiales.
  
  Para trinomios de la forma:$x^2+bx+c = (x+m)(x+n)$
  
  Cuando$c$ es positivo,$m$ y$n$ debe tener el mismo signo (y este será el signo de$b$ ).
  
  Ejemplos:$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$,$x^2−6x+8 = (x−4)(x−2)$
  
  Cuando$c$ es negativo,$m$ y$n$ tienen signos opuestos. El mayor de$m$ y$n$ tendrá el signo de$b$.
  
  Ejemplos:$x^2+x−12=(x+4)(x−3)$,$x^2−2x−15=(x−5)(x+3)$
  
  Observe que, en el caso cuando$m$ y$n$ tengan signos opuestos, el signo del que tiene el valor absoluto mayor coincide con el signo de$b$.
• Cómo factorial trinomios de la forma$ax^2+bx+c$ usando ensayo y error.
  1. Escribir el trinomio en orden descendente de grados según sea necesario.
  2. Factorial cualquier GCF.
  3. Encuentra todos los pares de factores del primer término.
  4. Encuentra todos los pares de factores del tercer término.
  5. Pruebe todas las combinaciones posibles de los factores hasta encontrar el producto correcto.
  6. Verificar multiplicando.
• Cómo factorial trinomios de la forma$ax^2+bx+c$ usando el método “$ac$”.
  1. Factorial cualquier GCF.
  2. Encuentra el producto$ac$.
  3. Encuentra dos números$m$ y$n$ que:
     $\begin{array} {ll} \text{Multiply to }ac. &m·n=a·c \\ \text{Add to }b. &m+n=b \\ &ax^2+bx+c\end{array}$
  4. Dividir el término medio usando$m$ y$n$. $\quad ax^2+mx+nx+c$
  5. Factor por agrupación.
  6. Verificar multiplicando los factores.