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11.3: Parábolas

  • Page ID
    51830
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Gráfica de parábolas verticales
    • Gráfica de parábolas horizontales
    • Resolver aplicaciones con parábola
    Esté Preparado

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Gráfica: \(y=-3 x^{2}+12 x-12\).
      Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 9.47.
    2. Resuelve completando la plaza: \(x^{2}-6 x+6=0\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 9.12.
    3. Escribir en forma estándar: \(y=3 x^{2}-6 x+5\).
      Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 9.59.

    Gráfica Parábolas Verticales

    La siguiente sección cónica que veremos es una parábola. Definimos una parábola como todos los puntos en un plano que están a la misma distancia de un punto fijo y una línea fija. El punto fijo se llama foco,y la línea fija se llama directrixde la parábola.

    Figura 11.2.1
    Definición \(\PageIndex{1}\): Parábola, Enfoque y Directrix

    Una parábola son todos los puntos en un plano que están a la misma distancia de un punto fijo y una línea fija. El punto fijo se llama foco, y la línea fija se llama directrix de la parábola.

    Figura 11.2.2

    Anteriormente, aprendimos a graficar parábola vertical a partir de la forma general o la forma estándar utilizando propiedades. Esos métodos también funcionarán aquí. Aquí resumiremos las propiedades.

    Parábolas verticales

     

    Forma general

    \(y=a x^{2}+b x+c\)

    Forma Estándar

    \(y=a(x-h)^{2}+k\)

    Orientación \ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">\(a>0\) arriba; \(a<0\) abajo \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">\(a>0\) arriba; \(a<0\) abajo
    Eje de simetría \ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">\(x=-\dfrac{b}{2 a}\) \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">\(x=h\)
    Vértice \ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">Sustituir \(x=-\dfrac{b}{2 a}\) y
    resolver \(y .\)
    \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">\((h, k)\)
    \(y\)-interceptar \ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">Vamos \(x=0\) \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">Vamos \(x=0\)
    \(x\)-intercepta \ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">Vamos \(y=0\) \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">Vamos \(y=0\)
    Cuadro 11.2.1

    Las gráficas muestran cómo se ven las parábola cuando se abren hacia arriba o hacia abajo. Su posición en relación con el eje \(x\)- o \(y\)-eje no es más que un ejemplo.

    Figura 11.2.3

    Para graficar una parábola a partir de estas formas, utilizamos los siguientes pasos.

    Gráfica de parábolas verticales

    Cómo Graficar Parábolas Verticales \(y=a x^{2}+b x+c\) o \(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) usando Propiedades.

    • Paso 1: Determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
    • Paso 2. Encuentra el eje de simetría.
    • Paso 3. Encuentra el vértice.
    • Paso 4. Encuentra la \(y\)-intercepción. Encuentra el punto simétrico a la \(y\)-intercepción a través del eje de simetría.
    • Paso 5. Encuentra las \(x\)-intercepciones.
    • Paso 6. Grafica la parábola.

    El siguiente ejemplo revisa el método de graficar una parábola a partir de la forma general de su ecuación.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Gráfica \(y=-x^{2}+6 x-8\) mediante el uso de propiedades.

    Solución:

      \( \begin{align*} \color{red}{y} &\color{red}{=} a x^{2}+b x+c \\[4pt]  \color{black}{y} &=-x^{2}+6 x-8 \end{align*}\)
    Ya que \(a\) es \(-1\), la parábola se abre hacia abajo.  
     
    Para encontrar el eje de simetría, encuentre \(x=-\dfrac{b}{2 a}\). \( \begin{align*} x &=-\dfrac{b}{2 a}\\[4pt] x &=-\dfrac{6}{2(-1)} \\[4pt] x &= 3 \end{align*}\)
      El eje de simetría es \(x=3\).
     
    El vértice está en la línea \(x=3\). \(y=-x^{2}+6 x-8\)
    Vamos \(x=3\).
      \(\begin{align*} y &=-9+18-8 \\[4pt] y &=1 \end{align*}\)
      El vértice es \((3,1)\).
      .
    La \(y\)-intercepción ocurre cuando \(x=0\). \(y=-x^{2}+6 x-8\)
    Sustituto \(x=0\). \(y=-\color{red}{0}^{\color{black}{2}}+6 \cdot \color{red}{0} \color{black}{-} 8\)
    Simplificar. \(y=-8\)
      El \(y\)-intercepto es \((0,-8)\).
    El punto \((0,−8)\) es de tres unidades a la izquierda de la línea de simetría. El punto tres unidades a la derecha de la línea de simetría es \((6,−8)\). Punto simétrico a la \(y\)-intercepción es \((6,−8)\).
      .
    La \(x\)-intercepción ocurre cuando \(y=0\). \(y=-x^{2}+6 x-8\)
    Vamos \(y=0\). \(\color{red}{0} \color{black}{=}-x^{2}+6 x-8\)
    Factor el FGC. \(0=-\left(x^{2}-6 x+8\right)\)
    Factor el trinomio. \(0=-(x-4)(x-2)\)
    Resolver para \(x\). \(x=4, \quad x=2\)
      Las \(x\)-intercepciones son \((4,0),(2,0)\).
    Grafica la parábola. .
    Cuadro 11.2.2
    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    Gráfica \(y=-x^{2}+5 x-6\) mediante el uso de propiedades.

    Contestar
    Esta gráfica muestra una parábola que se abre hacia abajo, con intercepciones x (2, 0) y (3, 0) e intercepción y (0, negativo 6).
    Figura 11.2.24
    Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

    Gráfica \(y=-x^{2}+8 x-12\) mediante el uso de propiedades.

    Contestar
    Esta gráfica muestra una parábola que se abre hacia abajo, con vértice (4, 4) y x intercepta (2, 0) y (6, 0).
    Figura 11.2.25

    El siguiente ejemplo revisa el método de graficar una parábola a partir de la forma estándar de su ecuación, \(y=a(x-h)^{2}+k\).

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Escribe \(y=3 x^{2}-6 x+5\) en forma estándar y luego usa las propiedades de la forma estándar para graficar la ecuación.

    Solución:

    Reescribe la función en \(y=a(x-h)^{2}+k\) forma completando el cuadrado. \(\begin{align*} y &=3 x^{2}-6 x+5 \\[4pt] y &=3\left(x^{2}-2 x\right)+5 \\[4pt] y &=3\left(x^{2}-2 x+1\right) + 5-3  \\[4pt] y &=3(x-1)^{2}+2 \end{align*}\)
    Identificar las constantes \(a, h, k\). \(a=3, h=1, k=2\)
    Desde entonces \(a=2\), la parábola se abre hacia arriba.  
    .  
    El eje de simetría es \(x=h\). El eje de simetría es \(x=1\).
    El vértice es \((h,k)\). El vértice es \((1,2)\).
    Encuentra la \(y\)-intercepción sustituyendo \(x=0\), \( \begin{align*} y &=3(x-1)^{2}+2 \\[4pt] y &=3 \cdot 0^{2}-6 \cdot 0+5 \\[4pt] y &=0 \end{align*} \)
      \(y\)-interceptar \((0,5)\)
    Encuentra el punto simétrico a \((0,5)\) través del eje de simetría. \((2,5)\)
    Encuentra las \(x\)-intercepciones. \(\begin{aligned} y &=3(x-1)^{2}+2 \\[4pt] 0 &=3(x-1)^{2}+2 \\[4pt] -2 &=3(x-1)^{2} \\[4pt] -\dfrac{2}{3} &=(x-1)^{2} \\[4pt] \pm \sqrt{-\dfrac{2}{3}} &=x-1 \end{aligned}\)
      La raíz cuadrada de un número negativo nos dice que las soluciones son números complejos. Entonces no hay \(x\)-intercepciones.
    Grafica la parábola.
    Cuadro 11.2.3
    Ejercicio \(\PageIndex{3}\)
    1. Escribir \(y=2 x^{2}+4 x+5\) en forma estándar y
    2. utilizan propiedades de forma estándar para graficar la ecuación.
    Contestar
    1. \(y=2(x+1)^{2}+3\)
    2.  
    Figura 11.2.28
    Ejercicio \(\PageIndex{4}\)
    1. Escribir \(y=-2 x^{2}+8 x-7\) en forma estándar y
    2. utilizan propiedades de forma estándar para graficar la ecuación.
    Contestar
    1. \(y=-2(x-2)^{2}+1\)
    2.  
    Figura 11.2.29

    Gráfica Parábolas Horizontales

    Nuestro trabajo hasta ahora sólo se ha ocupado de parábola que se abren hacia arriba o hacia abajo. Ahora vamos a mirar parábola horizontal. Estas parábola se abren ya sea a la izquierda o a la derecha. Si intercambiamos el \(x\) y \(y\) en nuestras ecuaciones anteriores por parábola, obtenemos las ecuaciones para las parábola que se abren a la izquierda o a la derecha.

    Parábolas horizontales

     

    Forma general

    \(x=a y^{2}+b y+c\)

    Forma estándar

    \(x=a(y-k)^{2}+h\)

    Orientación \ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">\(a>0\) derecha; \(a<0\) izquierda \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">\(a>0\) derecha; \(a<0\) izquierda
    Eje de simetría \ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">\(y=-\dfrac{b}{2 a}\) \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">\(y=k\)
    Vértice \ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">Sustituir \(y=-\dfrac{b}{2 a}\) y
    resolver \(x .\)
    \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">\((h, k)\)
    \(x\)-intercepta \ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">Vamos \(x=0\) \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">Vamos \(x=0\)
    \(y\)-interceptar \ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">Vamos \(y=0\) \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">Vamos \(y=0\)
    Cuadro 11.2.4

    Las gráficas muestran cómo se ven las parábola cuando están a la izquierda o a la derecha. Su posición en relación con el eje \(x\)- o \(y\)-eje no es más que un ejemplo.

    Figura 11.2.30

    Mirando estas parábola, ¿sus gráficas representan una función? Dado que ambas gráficas fallarían en la prueba de línea vertical, no representan una función.

    Graficar una parábola que se abre a la izquierda o a la derecha es básicamente lo mismo que hicimos para las parábola que se abren hacia arriba o hacia abajo, con la reversión de las \(x\) y \(y\) variables.

    Howto: Gráfica Parábolas Horizontales \(y=a x^{2}+b x+c\) o \(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) usando Propiedades
    • Paso 1: Determina si la parábola se abre hacia la izquierda o hacia la derecha.
    • Paso 2: Encuentra el eje de simetría.
    • Paso 3: Encuentra el vértice.
    • Paso 4: Encuentra la \(x\)-intercepción. Encuentra el punto simétrico a la \(x\)-intercepción a través del eje de simetría.
    • Paso 5: Encuentra las \(y\)-intercepciones.
    • Paso 6: Grafica la parábola.
    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Gráfica \(x=2 y^{2}\) mediante el uso de propiedades.

    Solución:

    Cuadro 11.2.5
     
    Desde \(a=2\), la parábola se abre a la derecha.  
     
    Para encontrar el eje de simetría, encuentre \(y=-\dfrac{b}{2 a}\) \(y=-\dfrac{b}{2 a}\)
      \(y=-\dfrac{0}{2(2)}\)
      \(y=0\)
      El eje de simetría es \(y=0\).
    El vértice está en la línea \(y=0\). \(x=2 y^{2}\)
    Vamos \(y=0\).
      \(x=0\)
      El vértice es \((0,0)\).

    Dado que el vértice es \((0,0)\), tanto el \(x\)- y \(y\)-intercepta son el punto \((0,0)\). Para graficar la parábola necesitamos más puntos. En este caso es más fácil elegir valores de \(y\).

    En la ecuación x es igual a 2 y al cuadrado, cuando y es 1, x es 2 y cuando y es 2, x es 8. Los puntos son (2, 1) y (8, 2).
    Figura 11.2.38

    También trazamos los puntos simétricos hacia \((2,1)\) y a \((8,2)\) través del \(y\)eje -, los puntos \((2,−1),(8,−2)\).

    Grafica la parábola.

    Esta gráfica muestra parábola de apertura derecha con vértice (0, 0). En él se marcan cuatro puntos: punto (2, 1), punto (2, negativo 1), punto (8, 2) y punto (8 menos 2).
    Figura 11.2.39
    Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

    Gráfica \(x=y^{2}\) mediante el uso de propiedades.

    Contestar
    Esta gráfica muestra parábola de apertura derecha con vértice en origen. Dos puntos en él son (4, 2) y (4, menos 2).
    Figura 11.2.40
    Ejercicio \(\PageIndex{6}\)

    Gráfica \(x=-y^{2}\) mediante el uso de propiedades.

    Contestar
    Figura 11.2.41

    En el siguiente ejemplo, el vértice no es el origen.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Gráfica \(x=-y^{2}+2 y+8\) mediante el uso de propiedades.

    Solución:

      .
    Desde \(a=-1\), la parábola se abre a la izquierda.  
    .  
    Para encontrar el eje de simetría,
    encuentre \(y=-\dfrac{b}{2 a}\)
    \(y=-\dfrac{b}{2 a}\)
      \(y=-\dfrac{2}{2(-1)}\)
      \(y=1\)
      El eje de simetría es \(y=1\).
    El vértice está en la línea \(y=1\). \(x=-y^{2}+2 y+8\)
    Vamos \(y=1\). .
      \(x=9\)
      El vértice es \((9,1)\).
    La \(x\)-intercepción ocurre cuando \(y=0\). \(x=-y^{2}+2 y+8\)
      .
      \(x=8\)
      El \(x\)-intercepto es \((8,0)\).
    El punto \((8,0)\) es una unidad por debajo de la línea de
    simetría. El punto simétrico una unidad
    por encima de la línea de simetría es \((8,2)\)
    El punto simétrico es \((8,2)\).
    La \(y\)-intercepción ocurre cuando \(x=0\). \(x=-y^{2}+2 y+8\)
    Sustituto \(x=0\). \(0=-y^{2}+2 y+8\)
    Resolver. \(y^{2}-2 y-8=0\)
      \((y-4)(y+2)=0\)
      \(y=4, \quad  y=-2\)
      Las \(y\) -intercepciones son \((0,4)\) y \((0,-2)\).
    Conecte los puntos para graficar la parábola. .
    Cuadro 11.2.6
    Ejercicio \(\PageIndex{7}\)

    Gráfica \(x=-y^{2}-4 y+12\) mediante el uso de propiedades.

    Contestar
    Esta gráfica muestra parábola de apertura izquierda con vértice (16, negativo 2) y x intercepción (12, 0).
    Figura 11.2.58
    Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

    Gráfica \(x=-y^{2}+2 y-3\) mediante el uso de propiedades.

    Contestar
    Esta gráfica muestra parábola de apertura izquierda con vértice (negativo 2, 1) y x intersección menos (3, 0).
    Figura 11.2.59

    En la Tabla 11.2.4, vemos la relación entre la ecuación en forma estándar y las propiedades de la parábola. El cuadro Cómo hacer enumera los pasos para graficar una parábola en la forma estándar \(x=a(y-k)^{2}+h\). Utilizaremos este procedimiento en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Gráfica \(x=2(y-2)^{2}+1\) usando propiedades.

    Solución:

      .
    Identificar las constantes \(a, h, k\). \(a=2, h=1, k=2\)
    Desde \(a=2\), la parábola se abre a la derecha.  
    .  
    El eje de simetría es \(y=k\). El eje de simetría es \(y=2\).
    El vértice es \((h,k)\). El vértice es \((1,2)\).
    Encuentra el \(x\)-intercepto sustituyendo \(y=0\). \(x=2(y-2)^{2}+1\)
    \(x=2(0-2)^{2}+1\)
    \(x=9\)
      El \(x\)-intercepto es \((9,0)\).
    Encuentra el punto simétrico a \((9,0)\) través del eje de simetría. \((9,4)\)
    Encuentra las \(y\)-intercepciones. Vamos \(x=0\). \(\begin{aligned} x &=2(y-2)^{2}+1 \\ 0 &=2(y-2)^{2}+1 \\-1 &=2(y-2)^{2} \end{aligned}\)
      Un cuadrado no puede ser negativo, por lo que no hay una solución real. Entonces no hay \(y\)-intercepciones.
    Grafica la parábola.
    Cuadro 11.2.7
    Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

    Gráfica \(x=3(y-1)^{2}+2\) usando propiedades.

    Contestar
    Esta gráfica muestra una parábola que se abre a la derecha con vértice (2, 1) y x intercepción (5, 0).
    Figura 11.2.63
    Ejercicio \(\PageIndex{10}\)

    Gráfica \(x=2(y-3)^{2}+2\) usando propiedades.

    Contestar
    Esta gráfica muestra una parábola que se abre a la derecha con vértice (2, 3) y puntos simétricos (4, 2) y (4, 4).
    Figura 11.2.64

    En el siguiente ejemplo, notamos que la a es negativa y así la parábola se abre a la izquierda.

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Gráfica \(x=-4(y+1)^{2}+4\) usando propiedades.

    Solución:

      .
    Identificar las constantes \(a, h, k\). \(a=-4, h=4, k=-1\)
    Desde \(a=-4\), la parábola se abre a la izquierda.  
    .  
    El eje de simetría es \(y=k\). El eje de simetría es \(y=-1\).
    El vértice es \((h,k)\). El vértice es \((4,-1)\).
    Encuentra el \(x\)-intercepto sustituyendo \(y=0\). \(x=-4(y+1)^{2}+4\)
    \(x=-4(0+1)^{2}+4\)
    \(x=0\)
      El \(x\)-intercepto es \((0,0)\).
    Encuentra el punto simétrico a \((0,0)\) través del eje de simetría. \((0,-2)\)
    Encuentra las \(y\)-intercepciones. \(x=-4(y+1)^{2}+4\)
    Vamos \(x=0\). \(\begin{aligned} 0 &=-4(y+1)^{2}+4 \\-4 &=-4(y+1)^{2} \\ 1 &=(y+1)^{2} \\ y+1 &=\pm 1 \end{aligned}\)
      \(y=-1+1 \quad y=-1-1\)
      \(y=0 \quad\quad y=-2\)
      Las \(y\)-intercepciones son \((0,0)\) y \((0,-2)\).
    Grafica la parábola. .
    Cuadro 11.2.8
    Ejercicio \(\PageIndex{11}\)

    Gráfica \(x=-4(y+2)^{2}+4\) usando propiedades.

    Contestar
    Esta figura muestra una parábola que se abre a la izquierda con vértice (4, negativo 2) e intercepta y (0, negativo 1) y (0, negativo 3).
    Figura 11.2.68
    Ejercicio \(\PageIndex{12}\)

    Gráfica \(x=-2(y+3)^{2}+2\) usando propiedades.

    Contestar
    Esta figura muestra una parábola que se abre a la izquierda con vértice (2, negativo 3) e intercepta y (0, negativo 2) y (0, negativo 4).
    Figura 11.2.69

    El siguiente ejemplo requiere que primero pongamos la ecuación en forma estándar y luego utilicemos las propiedades.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Escribe \(x=2 y^{2}+12 y+17\) en forma estándar y luego usa las propiedades de la forma estándar para graficar la ecuación.

    Solución:

      \(x=2 y^{2}+12 y+17\)
    Reescribe la función en \(x=a(y-k)^{2}+h\) forma completando el cuadrado. \(x=2\left(y^{2}+6 y\right)+17\)
      .
      \(x=2(y+3)^{2}-1\)
      .
    Identificar las constantes \(a, h, k\). \(a=2, h=-1, k=-3\)
    Desde \(a=2\), la parábola se abre a la derecha.  
     
    El eje de simetría es \(y=k\). El eje de simetría es \(y=-3\).
    El vértice es \((h,k)\). El vértice es \((-1,-3)\).
    Encuentra el \(x\)-intercepto sustituyendo \(y=0\). \(x=2(y+3)^{2}-1\)
    \(x=2(0+3)^{2}-1\)
    \(x=17\)
      El \(x\)-intercepto es \((17,0)\).
    Encuentra el punto simétrico a \((17,0)\) través del eje de simetría. \((17,-6)\)

    Encuentra las \(y\)-intercepciones.

    Vamos \(x=0\).

    \(\begin{aligned} x &=2(y+3)^{2}-1 \\ 0 &=2(y+3)^{2}-1 \\ 1 &=2(y+3)^{2} \\ \dfrac{1}{2} &=(y+3)^{2} \\ y+3 &=\pm \sqrt{\dfrac{1}{2}} \\ y &=-3 \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}\)
      \(y=-3+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad y=-3-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
      \(y \approx-2.3 \quad y \approx-3.7\)
      Las \(y\)-intercepciones son \(\left(0,-3+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(0,-3-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
    Grafica la parábola. .
    Cuadro 11.2.9
    Ejercicio \(\PageIndex{13}\)
    1. Escribir \(x=3 y^{2}+6 y+7\) en forma estándar y
    2. Utilice las propiedades de la forma estándar para graficar la ecuación.
    Contestar
    1. \(x=3(y+1)^{2}+4\)
    2.  
    Esta gráfica muestra una parábola que se abre a la derecha con vértice (4, negativo 1) e intercepción x (7, 0).
    Figura 11.2.77
    Ejercicio \(\PageIndex{14}\)
    1. Escribir \(x=-4 y^{2}-16 y-12\) en forma estándar y
    2. Utilice las propiedades de la forma estándar para graficar la ecuación.
    Contestar
    1. \(x=-4(y+2)^{2}+4\)
    2.  
    Figura 11.2.78

    Resolver aplicaciones con parábola

    Muchos diseños arquitectónicos incorporan parábola. No es raro que los puentes se construyan usando parábola como veremos en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Encuentra la ecuación del arco parabólico formado en la cimentación del puente que se muestra. Escribe la ecuación en forma estándar.

    Figura 11.2.79

    Solución:

    Primero establecemos un sistema de coordenadas y dibujaremos la parábola. El gráfico nos dará la información que necesitamos para escribir la ecuación de la gráfica en la forma estándar \(y=a(x-h)^{2}+k\).

    Deje que el lado inferior izquierdo del puente sea el origen de la cuadrícula de coordenadas en el punto \((0,0)\). Dado que la base tiene \(20\) pies de ancho el punto \((20,0)\) representa el lado inferior derecho.

    El puente mide 10 pies de altura en el punto más alto. El punto más alto es el vértice de la parábola por lo que la \(y\)coordenada del
    vértice será \(10\).
    Dado que el puente es simétrico, el vértice debe caer a medio camino entre el punto más izquierdo, \((0,0)\), y el punto más a la derecha \((20,0)\). De esto sabemos que la \(x\)-coordenada del vértice también lo será \(10\).

    Identificar el vértice, \((h,k)\). \((h, k)=(10,10)\)
      \(h=10, \quad k=10\)

    Sustituir los valores en la forma estándar.

    El valor de \(a\) es aún desconocido. Para encontrar el valor de \(a\) utilizar uno de los otros puntos en la parábola.

    \(\begin{aligned} y &=a(x-h)^{2}+k \\ y &=a(x-10)^{2}+10 \\(x, y) &=(0,0) \end{aligned}\)
    Sustituir los valores del otro punto en la ecuación. \(y=a(x-10)^{2}+10\)
    \(0=a(0-10)^{2}+10\)
    Resolver para \(a\). \(\begin{aligned} 0 &=a(0-10)^{2}+10 \\-10 &=a(-10)^{2} \\-10 &=100 a \\ \dfrac{-10}{100} &=a \\ a &=-\dfrac{1}{10} \end{aligned}\)
      \(y=a(x-10)^{2}+10\)
    Sustituir el valor para \(a\) en la ecuación. \(y=-\dfrac{1}{10}(x-10)^{2}+10\)
    Cuadro 11.2.10
    Ejercicio \(\PageIndex{15}\)

    Encuentra la ecuación del arco parabólico formado en la cimentación del puente que se muestra. Escribe la ecuación en forma estándar.

    Figura 11.2.81
    Contestar

    \(y=-\dfrac{1}{20}(x-20)^{2}+20\)

    Ejercicio \(\PageIndex{16}\)

    Encuentra la ecuación del arco parabólico formado en la cimentación del puente que se muestra. Escribe la ecuación en forma estándar.

    Esta figura muestra un arco parabólico formado en la cimentación de un puente. Mide 5 pies de alto y 10 pies de ancho en la base.
    Figura 11.2.82
    Contestar

    \(y=-\dfrac{1}{5} x^{2}+2 x y=-\dfrac{1}{5}(x-5)^{2}+5\)

    Acceda a estos recursos en línea para instrucciones adicionales y práctica con funciones cuadráticas y parábola.

    • Funciones cuadráticas
    • Introducción a las Cónicas y Gráficas de Parábolas Horizontales

    Conceptos Clave

    • Parábola: Una parábola es todos los puntos en un plano que están a la misma distancia de un punto fijo y una línea fija. El punto fijo se llama foco, y la línea fija se llama directrix de la parábola.

    Parábolas verticales

     

    Forma general

    \(y=a x^{2}+b x+c\)

    Forma Estándar

    \(y=a(x-h)^{2}+k\)

    Orientación \ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">\(a>0\) arriba; \(a<0\) abajo \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">\(a>0\) arriba; \(a<0\) abajo
    Eje de simetría \ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">\(x=-\dfrac{b}{2 a}\) \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">\(x=h\)
    Vértice \ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">Sustituir \(x=-\dfrac{b}{2 a}\) y
    resolver \(y .\)
    \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">\((h, k)\)
    \(y\)-interceptar \ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">Vamos \(x=0\) \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">Vamos \(x=0\)
    \(x\)-intercepta \ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">Vamos \(y=0\) \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">Vamos \(y=0\)
    Cuadro 11.2.1
    Figura 11.2.3
    • Cómo graficar parábola vertical \(y=a x^{2}+b x+c\) o \(f(x)=a(x-h)^{2}+k)\) usando propiedades.
    1. Determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
    2. Encuentra el eje de simetría.
    3. Encuentra el vértice.
    4. Encuentra la \(y\)-intercepción. Encuentra el punto simétrico a la \(y\)-intercepción a través del eje de simetría.
    5. Encuentra las \(x\)-intercepciones.
    6. Grafica la parábola.

    Parábolas horizontales

     

    Forma general

    \(x=a y^{2}+b y+c\)

    Forma estándar

    \(x=a(y-k)^{2}+h\)

    Orientación \ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">\(a>0\) derecha; \(a<0\) izquierda \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">\(a>0\) derecha; \(a<0\) izquierda
    Eje de simetría \ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">\(y=-\dfrac{b}{2 a}\) \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">\(y=k\)
    Vértice \ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">Sustituir \(y=-\dfrac{b}{2 a}\) y
    resolver \(x .\)
    \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">\((h, k)\)
    \(x\)-intercepta \ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">Vamos \(x=0\) \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">Vamos \(x=0\)
    \(y\)-interceptar \ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">Vamos \(y=0\) \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">Vamos \(y=0\)
    Cuadro 11.2.4
    Figura 11.2.30
    Gráfica de parábolas horizontales 

    Cómo graficar parábola horizontal \(x=a y^{2}+b y+c\) o \(x=a(y-k)^{2}+h\) usando propiedades.

    1. Determina si la parábola se abre a la izquierda o a la derecha.
    2. Encuentra el eje de simetría.
    3. Encuentra el vértice.
    4. Encuentra la \(x\)-intercepción. Encuentra el punto simétrico a la \(x\)-intercepción a través del eje de simetría.
    5. Encuentra las \(y\)-intercepciones.
    6. Grafica la parábola.

    Glosario

    parábola
    Una parábola son todos los puntos en un plano que están a la misma distancia de un punto fijo y una línea fija.

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