1.2: Sistemas de numeración

Los romanos idearon un sistema que constituía una mejora sustancial sobre las marcas hash, porque utilizaba una variedad de símbolos (o cifrados) para representar cantidades cada vez más grandes. La notación para 1 es la letra mayúscula I. La notación para 5 es la letra mayúscula V. Otros cifrados poseen valores crecientes:

Si un cifrado va acompañado de otro cifrado de igual o menor valor al derecho inmediato del mismo, sin cifras mayores que ese otro cifrado a la derecha de ese otro cifrado, ese valor de otro cifrado se agrega a la cantidad total. Así, VIII simboliza el número 8, y CLVII simboliza el número 157. Por otro lado, si un cifrado va acompañado de otro cifrado de menor valor a la izquierda inmediata, ese valor de otro cifrado se resta del primero. Por lo tanto, IV simboliza el número 4 (V menos I), y CM simboliza el número 900 (M menos C). Es posible que hayas notado que las secuencias de crédito finales para la mayoría de las películas contienen un aviso para la fecha de producción, en números romanos. Para el año 1987, diría: MCMLXXXVII. Vamos a dividir este número en sus partes constituyentes, de izquierda a derecha:

¿No te alegra que no utilicemos este sistema de numeración? Los números grandes son muy difíciles de denotar de esta manera, y la izquierda vs derecha/resta vs. suma de valores puede ser muy confuso, también. Otro problema importante de este sistema es que no existe ninguna disposición para representar el número cero o números negativos, ambos conceptos muy importantes en matemáticas. La cultura romana, sin embargo, fue más pragmática con respecto a las matemáticas que la mayoría, eligiendo únicamente desarrollar su sistema de numeración en la medida en que fuera necesario para su uso en la vida cotidiana.

Debemos una de las ideas más importantes en la numeración a los antiguos babilonios, quienes fueron los primeros (hasta donde sabemos) en desarrollar el concepto de posición de cifrado, o valor posicional, en representar números mayores. En lugar de inventar nuevos cifrados para representar números mayores, como lo hicieron los romanos, reutilizaron los mismos cifrados, colocándolos en diferentes posiciones de derecha a izquierda. Nuestro propio sistema de numeración decimal utiliza este concepto, con sólo diez cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) utilizadas en posiciones “ponderadas” para representar números muy grandes y muy pequeños.

Cada cifrado representa una cantidad entera, y cada lugar de derecha a izquierda en la notación representa una constante multiplicadora, o peso, para cada cantidad entera. Por ejemplo, si vemos la notación decimal “1206”, sabíamos que esta puede desglosarse en su peso constituyente -productos como tales:

Cada cifrado se denomina dígito en el sistema de numeración decimal, y cada peso, o valor posicional, es diez veces el de la derecha inmediata. Entonces, tenemos un lugar de unos, un lugar de decenas, un lugar de cientos, un lugar de miles, y así sucesivamente, trabajando de derecha a izquierda.

Ahora mismo, probablemente te estés preguntando por qué estoy trabajando para describir lo obvio. ¿A quién hay que decirle cómo funciona la numeración decimal, después de haber estudiado matemáticas tan avanzadas como álgebra y trigonometría? El motivo es entender mejor otros sistemas de numeración, conociendo primero el cómo y por qué del que ya estás acostumbrado.

El sistema de numeración decimal utiliza diez cifras y pesos de lugar que son múltiplos de diez. ¿Y si hiciéramos un sistema de numeración con la misma estrategia de lugares ponderados, excepto con menos o más cifras?

El sistema de numeración binaria es un sistema de este tipo. En lugar de diez símbolos de cifrado diferentes, siendo cada constante de peso diez veces la anterior, solo tenemos dos símbolos de cifrado, y cada constante de peso es el doble que la anterior. Los dos símbolos de cifrado permitidos para el sistema binario de numeración son “1” y “0”, y estos cifrados están dispuestos de derecha a izquierda en valores duplicados de peso. El lugar más a la derecha es el lugar de unos, al igual que con la notación decimal. Procediendo a la izquierda, tenemos el lugar de los dos, el lugar de cuatro, el lugar de los ochos, el lugar de los dieciséis, y así sucesivamente. Por ejemplo, se puede expresar el siguiente número binario, al igual que el número decimal 1206, como una suma de cada valor de cifrado multiplicado por su respectiva constante de peso:

Esto puede resultar bastante confuso, ya que he escrito un número con numeración binaria (11010), y luego mostré sus valores posicionales y total en forma de numeración decimal estándar (16 + 8 + 2 = 26). En el ejemplo anterior, estamos mezclando dos tipos diferentes de notación numérica. Para evitar confusiones innecesarias, tenemos que denotar qué forma de numeración estamos usando cuando escribimos (¡o escribimos!). Normalmente, esto se hace en forma de subíndice, con un “2” para binario y un “10” para decimal, por lo que el número binario 11010 ₂ es igual al número decimal 26 ₁₀.

Los subíndices no son símbolos matemáticos de operación como lo son los superíndices (exponentes). Todo lo que hacen es indicar qué sistema de numeración estamos usando cuando escribimos estos símbolos para que otras personas los lean. Si ves “3 ₁₀”, todo esto significa es el número tres escrito usando numeración decimal. No obstante, si ves “3 ¹⁰”, esto significa algo completamente diferente: del tres al décimo poder (59,049). Como es habitual, si no se muestra ningún subíndice, se supone que el (los) cifrado (s) representa un número decimal.

Comúnmente, el número de tipos de cifrado (y por lo tanto, el multiplicador de valor de lugar) utilizados en un sistema de numeración se denomina base de ese sistema. El binario se conoce como numeración “base dos”, y decimal como “base diez”. Adicionalmente, nos referimos a cada posición de cifrado en binario como un bit en lugar de la palabra familiar dígito utilizado en el sistema decimal.

Ahora bien, ¿por qué alguien usaría la numeración binaria? El sistema decimal, con sus diez cifras, tiene mucho sentido, siendo que tenemos diez dedos sobre los que contar entre nuestras dos manos. (Es interesante que algunas antiguas culturas centroamericanas utilizaran sistemas de numeración con una base de veinte. Presumiblemente, usaron tanto los dedos de las manos como de los pies para contar!!). Pero la razón principal por la que el sistema de numeración binaria se utiliza en las computadoras electrónicas modernas es por la facilidad de representar dos estados cifrados (0 y 1) electrónicamente. Con circuitos relativamente simples, podemos realizar operaciones matemáticas en números binarios representando cada bit de los números por un circuito que está encendido (actual) o apagado (sin corriente). Al igual que el ábaco con cada varilla representando otro dígito decimal, simplemente agregamos más circuitos para darnos más bits para simbolizar números más grandes. La numeración binaria también se presta bien al almacenamiento y recuperación de información numérica: en cinta magnética (manchas de óxido de hierro en la cinta magnetizadas para un “1” binario o desmagnetizadas para un “0” binario), discos ópticos (un pozo quemado con láser en la lámina de aluminio que representa un “1” binario y un mancha no quemada que representa un “0” binario), o una variedad de otros tipos de medios.

Antes de pasar a aprender exactamente cómo se hace todo esto en circuitos digitales, necesitamos familiarizarnos más con los sistemas binarios y otros sistemas asociados de numeración.