1.3: Numeración decimal versus numeración binaria

Vamos a contar de cero a veinte usando cuatro tipos diferentes de sistemas de numeración: marcas hash, números romanos, decimales y binarios:

Ni las marcas hash ni el sistema romano son muy prácticos para simbolizar grandes números. Obviamente, los sistemas ponderados por lugar como los decimales y binarios son más eficientes para la tarea. Observe, sin embargo, cuánto más corta es la notación decimal sobre la notación binaria, para el mismo número de cantidades. Lo que toma cinco bits en notación binaria solo toma dos dígitos en notación decimal.

Esto plantea una pregunta interesante respecto a los diferentes sistemas de numeración: ¿qué tan grande de un número se puede representar con un número limitado de posiciones de cifrado, o lugares? Con el sistema de hash-mark crudo, el número de lugares ES el número más grande que se puede representar, ya que se requiere una marca hash “place” para cada paso entero. Para los sistemas de numeración ponderados por lugar, sin embargo, la respuesta se encuentra tomando base del sistema de numeración (10 para decimal, 2 para binario) y elevándolo a la potencia del número de lugares. Por ejemplo, 5 dígitos en un sistema de numeración decimal pueden representar 100,000 valores de números enteros diferentes, de 0 a 99,999 (10 a la 5ª potencia = 100,000). 8 bits en un sistema de numeración binaria pueden representar 256 valores de números enteros diferentes, de 0 a 11111111 (binario), o 0 a 255 (decimal), porque 2 al 8ª potencia equivale a 256. Con cada posición de lugar adicional al campo numérico, la capacidad para representar números aumenta por un factor de la base (10 para decimal, 2 para binario).

Una interesante nota al pie de página para este tema es la de las primeras computadoras digitales electrónicas, la Eniac. Los diseñadores del Eniac optaron por representar números en forma decimal, digitalmente, utilizando una serie de circuitos llamados “contadores de anillo” en lugar de simplemente ir con el sistema de numeración binaria, en un esfuerzo por minimizar el número de circuitos requeridos para representar y calcular números muy grandes. Este enfoque resultó ser contraproducente, y prácticamente todas las computadoras digitales desde entonces han sido de diseño puramente binario.

Para convertir un número en numeración binaria a su equivalente en forma decimal, todo lo que tiene que hacer es calcular la suma de todos los productos de bits con sus respectivas constantes de lugar y peso. Para ilustrar:

El bit en el extremo derecho se llama el bit menos significativo (LSB), porque se encuentra en el lugar del peso más bajo (el lugar del uno). El bit en el extremo izquierdo se llama el Bit Más Significativo (MSB), porque se encuentra en el lugar del peso más alto (el lugar de ciento veintiocho). Recuerde, un valor de bit de “1” significa que el peso de posición respectivo se agrega al valor total, y un valor de bit de “0” significa que el peso de posición respectivo no se agrega al valor total. Con el ejemplo anterior, tenemos:

Si nos encontramos con un número binario con un punto (.), llamado “punto binario” en lugar de un punto decimal, seguimos el mismo procedimiento, dándonos cuenta de que cada ponderación de lugar a la derecha del punto es la mitad del valor del uno a la izquierda del mismo (así como cada ponderación de lugar a la derecha de un punto decimal es una décima parte del peso del que está a la izquierda del mismo). Por ejemplo: