7.5: Reglas booleanas para la simplificación

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El álgebra booleana encuentra su uso más práctico en la simplificación de los circuitos lógicos. Si traducimos la función de un circuito lógico a una forma simbólica (booleana) y aplicamos ciertas reglas algebraicas a la ecuación resultante para reducir el número de términos y/o operaciones aritméticas, la ecuación simplificada puede traducirse de nuevo en forma de circuito para un circuito lógico que realice la misma función con menos componentes. Si se logra una función equivalente con menos componentes, el resultado será una mayor confiabilidad y menor costo de fabricación.

Para ello, existen varias reglas de álgebra booleana presentadas en esta sección para su uso en la reducción de expresiones a sus formas más simples. Las identidades y propiedades ya revisadas en este capítulo son muy útiles en la simplificación booleana, y en su mayor parte tienen similitud con muchas identidades y propiedades del álgebra “normal”. Sin embargo, las reglas que se muestran en esta sección son todas exclusivas de las matemáticas booleanas.

A + AB = A

Esta regla puede probarse simbólicamente factorizando una “A” de los dos términos, luego aplicando las reglas de A + 1 = 1 y 1A = A para lograr el resultado final:

Tenga en cuenta cómo se utilizó la regla A + 1 = 1 para reducir el término (B + 1) a 1. Cuando una regla como “A + 1 = 1” se expresa usando la letra “A”, no significa que solo se aplique a expresiones que contengan “A”. Lo que significa la “A” en una regla como A + 1 = 1 es cualquier variable booleana o colección de variables. Este es quizás el concepto más difícil para que los nuevos estudiantes dominen en la simplificación booleana: aplicar identidades, propiedades y reglas estandarizadas a expresiones que no están en forma estándar.

Por ejemplo, la expresión booleana ABC + 1 también reduce a 1 por medio de la identidad “A + 1 = 1”. En este caso, reconocemos que el término “A” en la forma estándar de la identidad puede representar todo el término “ABC” en la expresión original.

La siguiente regla se parece a la primera que se muestra en esta sección, pero en realidad es bastante diferente y requiere una prueba más inteligente:

A + barra A B = A + B

Observe cómo se usa la última regla (A + AB = A) para “dessimplificar” el primer término “A” en la expresión, cambiando la “A” en una “A + AB”. Si bien esto puede parecer un paso atrás, ¡sin duda ayudó a reducir la expresión a algo más simple! A veces en matemáticas debemos dar pasos “atrasados” para lograr la solución más elegante. Saber cuándo dar tal paso y cuándo no es parte de la forma artística del álgebra, así como una victoria en una partida de ajedrez casi siempre requiere sacrificios calculados.

Otra regla implica la simplificación de una expresión de producto de sumas:

(A + B) (A + C) = A + BC

Y, la prueba correspondiente:

Para resumir, aquí están las tres nuevas reglas de simplificación booleana expuestas en esta sección:

Reglas booleanas útiles para la simplificación. A + AB = A. A + A-barra B = A + B. (A + B) (A + C) = A + BC.