8.2: Diagramas y Conjuntos de Venn
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Los matemáticos utilizan diagramas de Venn para mostrar las relaciones lógicas de conjuntos (colecciones de objetos) entre sí. Quizás ya hayas visto diagramas de Venn en tu álgebra u otros estudios de matemáticas. Si tiene, puede recordar círculos superpuestos y la unión e intersección de conjuntos. Revisaremos los círculos superpuestos del diagrama de Venn. Adoptaremos los términos OR y AND en lugar de unión e intersección ya que esa es la terminología utilizada en la electrónica digital.
El diagrama de Venn une el álgebra booleana de un capítulo anterior al Mapa de Karnaugh. Vamos a relacionar lo que ya sabes sobre álgebra booleana con diagramas de Venn, luego la transición a mapas de Karnaugh.
Un conjunto es una colección de objetos fuera de un universo como se muestra a continuación. Los miembros del conjunto son los objetos contenidos dentro del conjunto. Los integrantes del conjunto suelen tener algo en común; sin embargo, esto no es un requisito. Fuera del universo de números reales, por ejemplo, el conjunto de todos los enteros positivos {1,2,3...} es un conjunto. El conjunto {3,4,5} es un ejemplo de un conjunto más pequeño, o subconjunto del conjunto de todos los enteros positivos. Otro ejemplo es el conjunto de todos los varones fuera del universo de los universitarios. ¿Se te ocurren algunos ejemplos más de conjuntos?
Arriba a la izquierda, tenemos un diagrama de Venn que muestra el conjunto A en el círculo dentro del universo U, el área rectangular. Si todo dentro del círculo es A, entonces cualquier cosa fuera del círculo no es A. Así, por encima del centro, etiquetamos el área rectangular fuera del círculo A como A-no en lugar de U. Mostramos B y B-no de manera similar.
¿Qué pasa si tanto A como B están contenidos dentro del mismo universo? Mostramos cuatro posibilidades.
Echemos un vistazo más de cerca a cada una de las cuatro posibilidades como se muestra arriba.
El primer ejemplo muestra que el conjunto A y el conjunto B no tienen nada en común según el diagrama de Venn. No hay superposición entre las regiones rayadas circulares A y B. Por ejemplo, supongamos que los conjuntos A y B contienen los siguientes miembros:
Ninguno de los miembros del conjunto A está contenido dentro del conjunto B, ni ninguno de los miembros de B está contenido dentro de A. Así, no hay superposición de los círculos.
En el segundo ejemplo del diagrama de Venn anterior, el Conjunto A está totalmente contenido dentro del conjunto B ¿Cómo podemos explicar esta situación? Supongamos que los conjuntos A y B contienen los siguientes miembros:
Todos los miembros del conjunto A son también miembros del conjunto B. Por lo tanto, el conjunto A es un subconjunto del conjunto B. Dado que todos los miembros del conjunto A son miembros del conjunto B, el conjunto A se dibuja completamente dentro del límite del conjunto B.
Hay un quinto caso, no mostrado, con los cuatro ejemplos. Pista: es similar al último (cuarto) ejemplo. Dibuja un diagrama de Venn para este quinto caso.
El tercer ejemplo anterior muestra la superposición perfecta entre el conjunto A y el conjunto B. Parece que ambos conjuntos contienen los mismos miembros idénticos. Supongamos que los conjuntos A y B contienen lo siguiente:
Por lo tanto,
Conjuntos Y B son idénticos porque ambos tienen los mismos miembros idénticos. Las regiones A y B dentro del diagrama de Venn correspondiente arriba se superponen completamente. Si hay alguna duda sobre lo que representan los patrones anteriores, refiérase a cualquier figura anterior o inferior para estar seguro de cómo se veían las regiones circulares antes de que se superpusieran.
El cuarto ejemplo anterior muestra que hay algo en común entre el conjunto A y el conjunto B en la región superpuesta. Por ejemplo, seleccionamos arbitrariamente los siguientes conjuntos para ilustrar nuestro punto:
El Conjunto A y el Conjunto B tienen los elementos 3 y 4 en común Estos elementos son la razón de la superposición en el centro común a A y B. Necesitamos echar un vistazo más de cerca a esta situación.