5.3: Teorema de Demoivre y poderes de los números complejos

Preguntas de enfoque

Las siguientes preguntas están destinadas a orientar nuestro estudio del material en esta sección. Después de estudiar esta sección, debemos entender los conceptos motivados por estas preguntas y poder escribir respuestas precisas y coherentes a estas preguntas.

• ¿Qué es el teorema de Moivre y por qué es útil?
• Si\(n\) es un entero positivo, ¿qué es una raíz\(n\) th de un número complejo? ¿Cuántas enésima raíces tiene un número complejo? ¿Cómo encontramos todas las\(n\) raíces de un número complejo?

La forma trigonométrica de un número complejo proporciona una manera relativamente rápida y fácil de calcular productos de números complejos. Como consecuencia, podremos calcular rápidamente potencias de números complejos, e incluso raíces de números complejos.

Actividad inicial

Vamos\(z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\). Utilice la forma trigonométrica de\(z\) para mostrar que

\[z^{2} = r^{2}(\cos(2\theta) + i\sin(2\theta))) \label{eq1}\]

Teorema de De Moivre

El resultado de la Ecuación\ ref {eq1} no se limita solo a los cuadrados de un número complejo. Si\(z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\), entonces también es cierto que

\[ \begin{align*} z^{3} &= zz^{2} \\[4pt] &= (r)(r^{2})(\cos(\theta + 2\theta) +i\sin(\theta + 2\theta)) \\[4pt] &= r^{3}(\cos(3\theta) + i\sin(3\theta)) \end{align*}\]

Podemos continuar con este patrón para ver que

\[ \begin{align*} z^{4} &= zz^{3} \\[4pt] &= (r)(r^{3})(\cos(\theta + 3\theta) +i\sin(\theta + 3\theta)) \\[4pt] &= r^{4}(\cos(4\theta) + i\sin(4\theta)) \end{align*}\]

Las ecuaciones para\(z^{2}\),\(z^{3}\), y\(z^{4}\) establecen un patrón que es verdadero en general; este resultado se llama Teorema de Moivre.

Teorema de Demoivre

Dejar\(z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\) ser un número complejo y\(n\) cualquier entero. Entonces

\[z^{n} = (r^{n})(\cos(n\theta) +i\sin(n\theta)) \label{DeMoivre}\]

Resulta que el Teorema de Demoivre también funciona para potencias enteras negativas también.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Escribe el número complejo\(1 - i\) en forma polar. Entonces usa el Teorema de DemoIVRE (Ecuación\ ref {demoIVRE}) para escribir\((1 - i)^{10}\) en la forma compleja\(a + bi\), donde\(a\) y\(b\) son números reales y no implican el uso de una función trigonométrica.

Responder

En forma polar,

\[1 - i = \sqrt{2}(\cos(-\dfrac{\pi}{4}) + \sin(-\dfrac{\pi}{4}))\]

Entonces\[(1 - i)^{10} = (\sqrt{2})^{10}(\cos(-\dfrac{10\pi}{4}) + \sin(-\dfrac{10\pi}{4})) = 32(\cos(-\dfrac{5\pi}{2}) + \sin(-\dfrac{5\pi}{2})) = 32(0 - i) = -32i\]

Raíces de números complejos

El teorema de Demoivre es muy útil para calcular potencias de números complejos, incluso potencias fraccionarias. Ilustramos con un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Roots of Complex Numbers

Encontraremos todas las soluciones a la ecuación\(x^{3} - 1 = 0\). Estas soluciones también se llaman las raíces del polinomio\(x^{3} - 1\).

Solución

Para resolver la ecuación\(x^{3} - 1 = 0\), agregamos 1 a ambos lados para reescribir la ecuación en la forma\(x^{3} = 1\). Recordemos que resolver una ecuación polinómica como\(x^{3} = 1\) significa encontrar todos los números (reales o complejos) que satisfacen la ecuación. Podemos tomar la raíz cúbica real de ambos lados de esta ecuación para obtener la solución x0 D 1, pero cada polinomio cúbico debe tener tres soluciones. ¿Cómo podemos encontrar a los otros dos? Si dibujamos la gráfica de\(y = x^{3} - 1\) vemos que la gráfica cruza el\(x\) -eje en un solo punto, por lo que solo hay una solución real para\(x^{3} = 1\). Eso significa que las otras dos soluciones deben ser complejas y podemos usar el Teorema de DemoIVRE para encontrarlas. Para ello, supongamos

\[z = r[\cos(\theta) + i\sin(\theta)]\]es una solución para\(x^{3} = 1\). Entonces

\[1 = z^{3} = r^{3}(\cos(3\theta) + i\sin(3\theta)). \nonumber \]

Esto implica eso\(r = 1\) (o\(r = -1\), pero podemos incorporar este último caso en nuestra elección de ángulo). Luego reducimos la ecuación\(x^{3} = 1\) a la ecuación

\[1 = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta)\]

tiene soluciones cuando\(\cos(3\theta) = 1\) y\(\sin(3\theta) = 0\). Esto ocurrirá cuando\(3\theta = 2\pi k\), o\(\theta = \dfrac{2\pi k}{3}\), donde\(k\) esté cualquier entero. Los distintos múltiplos enteros de\(\dfrac{2\pi k}{3}\) en el círculo unitario ocurren cuando\(k = 0\) y\(\theta = 0\),\(k = 1\) y\(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\), y\(k = 2\) con\(\theta = \dfrac{4\pi}{3}\). En otras palabras, las soluciones a\(x^{3} = 1\) deben ser

\[ \begin{align*} x_{0} &= \cos(0) + i\sin(0) = 1 \\[4pt] x_{1} &= \cos(\dfrac{2\pi}{3}) + i\sin(\dfrac{2\pi}{3}) = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \\[4pt] x_{2} &= \cos(\dfrac{4\pi}{3}) + i\sin(\dfrac{4\pi}{3}) = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \end{align*}\]

Ya sabemos que\(x^{3}_{0} = 1^{3} = 1\) por lo que\(x_{0}\) en realidad es una solución para\(x^{3} = 1\). Para verificar eso\(x_{1}\) y también\(x_{2}\) son soluciones a\(x^{3} = 1\), aplicamos el Teorema de DemoIVRE (Ecuación\ ref {demoIVRE}):

\[x^{3}_{1} = [\cos(\dfrac{2\pi}{3}) + i\sin(\dfrac{2\pi}{3})]^{3} = \cos(3(\dfrac{2\pi}{3})) + i\sin(3(\dfrac{2\pi}{3})) = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1\], y\[x^{3}_{2} = [\cos(\dfrac{4\pi}{3}) + i\sin(\dfrac{4\pi}{3})]^{3} = \cos(3(\dfrac{4\pi}{3})) + i\sin(3(\dfrac{4\pi}{3})) = \cos(4\pi) + i\sin(4\pi) = 1\]

Así,\(x^{3}_{1} = 1\) y\(x^{3}_{2} = 1\) y hemos encontrado tres soluciones a la ecuación\(x^{3} = 1\). Dado que un cúbico puede tener solo tres soluciones, las hemos encontrado todas.

El proceso general de resolver una ecuación de la forma\(x^{n} = a + bi\), donde\(n\) es un entero positivo y\(a + bi\) es un número complejo funciona de la misma manera. Escribir\(a + bi\) en forma trigonométrica

\[a + bi = r[\cos(\theta) + i\sin(\theta)] \nonumber \]

y supongamos que\(z = s[\cos(\alpha) + i\sin(\alpha)]\) es una solución para\(x^{n} = a + bi\). Entonces

\[a + bi = z^{n}\nonumber\]

\[r[\cos(\theta) + i\sin(\theta)] = (s[\cos(\alpha) + i\sin(\alpha)])^{n}\nonumber\]

\[r[\cos(\theta) + i\sin(\theta)] = s^{n}[\cos(\alpha) + i\sin(\alpha)]\nonumber\]

Usando la última ecuación, vemos que

\[s^{n} = r\]y\[\cos(\theta) + i\sin(\theta) = \cos(n\alpha) + i\sin(n\alpha)\nonumber\]

Por lo tanto,\[s^{n} = r\] y\[n\alpha = \theta + 2\pi k\nonumber\]

donde\(k\) es cualquier entero. Esto nos da

\[s = \sqrt[n]{r}\]y\[\alpha = \dfrac{\theta + 2\pi k}{n}\nonumber\]

Obtendremos n soluciones diferentes para\(k = 0, 1, 2, ..., n - 1\), y estas serán todas las soluciones. Estas soluciones se llaman las raíces\(n\) th del número complejo\(a + bi\). Resumimos los resultados.

Si queremos representar las raíces\(n\) th de\(r[\cos(\theta) + i\sin(\theta)]\) usar grados en lugar de radianes, las raíces tendrán la forma

\[\sqrt[n]{r}[\cos(\dfrac{\theta + 360^\circ k}{n}) + i\sin(\dfrac{\theta + 360^\circ k}{n})]\nonumber\]

para\(k = 0, 1, 2, ..., (n - 1)\).

Raíces de números complejos

Dejar\(n\) ser un entero positivo. Las raíces\(n\) th del número complejo\(r[\cos(\theta) + i\sin(\theta)]\) están dadas por

\[\sqrt[n]{r}[\cos(\dfrac{\theta + 2\pi k}{n}) + i\sin(\dfrac{\theta + 2\pi k}{n})]\]

para\(k = 0, 1, 2, ..., (n - 1)\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Square Roots of 1

Como otro ejemplo, encontramos las complejas raíces cuadradas de 1. En otras palabras, encontramos las soluciones a la ecuación\(z^{2} = 1\). Por supuesto, ya sabemos que las raíces cuadradas de\(1\) son\(1\) y\(-1\), pero será instructivo utilizar nuestro resultado general y ver que da el mismo resultado. Tenga en cuenta que la forma trigonométrica de\(1\) es

\[1 = \cos(0) + i\sin(0)\]

por lo que las dos raíces cuadradas de\(1\) son

\[\sqrt{1}[\cos(\dfrac{0 + 2\pi(0)}{2}) + i\sin(\dfrac{0 + 2\pi(0)}{2})] = \cos(0) +i\sin(0) = 1\]

y

\[\sqrt{1}[\cos(\dfrac{0 + 2\pi(1)}{2}) + i\sin(\dfrac{0 + 2\pi(1)}{2})] = \cos(\pi) +i\sin(\pi) = -1\]

como se esperaba.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

1. Encuentre todas las soluciones para\(x^{4} = 1\). (Las soluciones a\(x^{n} = 1\) se llaman las raíces\(n\) th de la unidad, siendo la unidad el número 1.
2. Encuentra todas las sextas raíces de la unidad.

Responder

1. Encontramos las soluciones a la ecuación\(z^{4} = 1\). Vamos\(\omega = \cos(\dfrac{2\pi}{4}) + i\sin(\dfrac{2\pi}{4}) = \cos(\dfrac{\pi}{2}) + i\sin(\dfrac{\pi}{2})\). Entonces

• \(\omega^{0} = 1\),
• \(\omega = i\),
• \(\omega^{2} = \cos(\dfrac{2\pi}{2}) + i\sin(\dfrac{2\pi}{2}) = -1\)
• \(\omega^{3} = \cos(\dfrac{3\pi}{2}) + i\sin(\dfrac{3\pi}{2}) = -i\)

Entonces las cuatro cuartas raíces de la unidad son\(1, i, -1,\) y\(-i\).

2. Encontramos las soluciones a la ecuación\(z^{6} = 1\). Vamos\(\omega = \cos(\dfrac{2\pi}{6}) + i\sin(\dfrac{2\pi}{6}) = \cos(\dfrac{\pi}{3}) + i\sin(\dfrac{\pi}{3})\). Entonces

• \(\omega^{0} = 1\),
• \(\omega = \dfrac{1}{2} + \sqrt{32}i\),
• \(\omega^{2} = \cos(\dfrac{2\pi}{3}) + i\sin(\dfrac{2\pi}{3}) = -\dfrac{1}{2} + \sqrt{32}i\)
• \(\omega^{3} = \cos(\dfrac{3\pi}{3}) + i\sin(\dfrac{3\pi}{3}) = -1\)
• \(\omega^{4} = \cos(\dfrac{4\pi}{3}) + i\sin(\dfrac{4\pi}{3}) = -\dfrac{1}{2} - \sqrt{32}i\)
• \(\omega^{5} = \cos(\dfrac{5\pi}{3}) + i\sin(\dfrac{5\pi}{3}) = \dfrac{1}{2} - \sqrt{32}i\)

Entonces las cuatro cuartas raíces de la unidad son\(1, \dfrac{1}{2} + \sqrt{32}i, -\dfrac{1}{2} + \sqrt{32}i, -1, -\dfrac{1}{2} - \sqrt{32}i\), y\(\dfrac{1}{2} - \sqrt{32}i\).

Ahora apliquemos nuestro resultado para encontrar raíces de números complejos distintos a\(1\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Roots of Other Complex Numbers

Encontraremos las soluciones a la ecuación

\[x^{4} = -8 + 8\sqrt{3}i \nonumber\]

Solución

Tenga en cuenta que podemos escribir el lado derecho de esta ecuación en forma trigonométrica como

\[-8 + 8\sqrt{3}i = 16(\cos(\dfrac{2\pi}{3}) + i\sin(\dfrac{2\pi}{3}))\]

Las cuartas raíces de\(-8 + 8\sqrt{3}i\) son entonces

\[x_{0} = \sqrt[4]{16}[\cos(\dfrac{\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi(0)}{4}) + i\sin(\dfrac{\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi(0)}{4})] = 2[\cos(\dfrac{\pi}{6}) + i\sin(\dfrac{\pi}{6})] = 2(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i) = \sqrt{3} + i\]

\[x_{1} = \sqrt[4]{16}[\cos(\dfrac{\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi(1)}{4}) + i\sin(\dfrac{\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi(1)}{4})] = 2[\cos(\dfrac{2\pi}{3}) + i\sin(\dfrac{2\pi}{3})] = 2(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i) = -1 + \sqrt{3}i\]

\[x_{2} = \sqrt[4]{16}[\cos(\dfrac{\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi(2)}{4}) + i\sin(\dfrac{\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi(2)}{4})] = 2[\cos(\dfrac{7\pi}{6}) + i\sin(\dfrac{7\pi}{6})] = 2(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}i) = -\sqrt{3} - i\]

\[x_{3} = \sqrt[4]{16}[\cos(\dfrac{\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi(3)}{4}) + i\sin(\dfrac{\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi(3)}{4})] = 2[\cos(\dfrac{5\pi}{3}) + i\sin(\dfrac{5\pi}{3})] = 2(\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i) = 1- \sqrt{3}i\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encontrar todas las cuatro raíces de\(-256\), es decir encontrar todas las soluciones de la ecuación\(x^{4} = -256\).

Responder

Ya que\(-256 = 256[\cos(\pi) + i\sin(\pi)]\) vemos que las cuartas raíces de\(-256\) son

\[x_{0} = \sqrt[4]{256}[\cos(\dfrac{\pi + 2\pi(0)}{4}) + i\sin(\dfrac{\pi + 2\pi(0)}{4})] = 4\cos(\dfrac{\pi}{4}) + i\sin(\dfrac{\pi}{4}) = 4[\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}i] = 2\sqrt{2} + 2i\sqrt{2}\]
\[x_{1} = \sqrt[4]{256}[\cos(\dfrac{\pi + 2\pi(1)}{4}) + i\sin(\dfrac{\pi + 2\pi(1)}{4})] = 4\cos(\dfrac{3\pi}{4}) + i\sin(\dfrac{3\pi}{4}) = 4[-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}i] = -2\sqrt{2} + 2i\sqrt{2}\]

\[x_{2} = \sqrt[4]{256}[\cos(\dfrac{\pi + 2\pi(2)}{4}) + i\sin(\dfrac{\pi + 2\pi(2)}{4})] = 4\cos(\dfrac{5\pi}{4}) + i\sin(\dfrac{5\pi}{4}) = 4[-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}i] = -2\sqrt{2} - 2i\sqrt{2}\]
\[x_{3} = \sqrt[4]{256}[\cos(\dfrac{\pi + 2\pi(3)}{4}) + i\sin(\dfrac{\pi + 2\pi(3)}{4})] = 4\cos(\dfrac{7\pi}{4}) + i\sin(\dfrac{7\pi}{4}) = 4[\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}i] = 2\sqrt{2} - 2i\sqrt{2}\]

Resumen

En esta sección, se estudiaron los siguientes conceptos e ideas importantes:

Teorema de Demoivre

Dejar\(z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\) ser un número complejo y n cualquier entero. Entonces

\[z^{n} = (r^{n})(\cos(n\theta) +i\sin(n\theta)) \nonumber \]

Raíces de números complejos

Dejar\(n\) ser un entero positivo. Las raíces\(n\) th del número complejo\(r[\cos(\theta) + i\sin(\theta)]\) están dadas por

\[\sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\dfrac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\sin \left(\dfrac{\theta + 2\pi k}{n}\right) \right] \nonumber \]

para\(k = 0, 1, 2, ..., (n - 1)\).