Considerar un mercado de pesca no regulado como el mercado de langosta considerado anteriormente, y dejar que S sea el stock de pescado. El propósito de este ejemplo es ilustrativo de la lógica, más que una contabilidad exacta de la biología de las poblaciones de peces, pero no es irrazonable. Que S sea el stock de una especie particular de peces. Nuestro punto de partida es un ambiente sin pesca: ¿Cómo cambia la población de peces con el tiempo? Denotar el cambio a lo largo del tiempo en la población de peces porS⋅(S⋅ es notación para la derivada con respecto al tiempo, notación que se remonta a Sir Isaac Newton). Suponemos que el crecimiento poblacional sigue la ecuación logísticaS⋅=rS(1−S). Esta ecuación refleja dos supuestos subyacentes. Primero, el apareamiento y reproducción son proporcionales al stock de peces S. Segundo, la supervivencia es proporcional a la cantidad de recursos disponibles 1 — S, donde 1 se establece como la población máxima sustentable. (Establecer las unidades del número de peces para que 1 sea la población completa.)
La dinámica del número de peces se ilustra en la Figura 7.5 “Dinámica poblacional de peces”. En el eje horizontal está el número de peces, y en el eje vertical está el cambio en S. CuandoS⋅>0, S va aumentando con el tiempo, y las flechas en el eje horizontal reflejan esto. De igual manera, siS⋅<0, S es decreciente.
Ausente de pesca, el valor 1 es un estado estable estable de la población de peces, en el que las variables se mantienen constantes y las fuerzas están equilibradas. Es un estado estacionario porque, siS=1,S˙=0; es decir, no hay cambio en la población de peces. Es estable porque el efecto de una pequeña perturbación—s cercana pero no exactamente igual a 1—es volver a 1. (De hecho, la población de peces es casi estable a nivel mundial. Empezar con cualquier población distinta a cero y la población vuelve a 1.) Resulta que existe una solución de forma cerrada para la población de peces:S(t)=S(0)S(0)+(1−S(0))e−rt.
Figura 7.5 Dinámica poblacional de peces
Ahora introducimos una población humana y volvemos a la economía de la pesca. Supongamos que un barco cuesta b para lanzar y operar y que captura una fracción fija a del stock total de peces S; es decir, cada barco captura As. El pescado se vende por un preciop=Q−1ε, donde el precio surge de la curva de demanda, que en este caso tiene elasticidad constante ε, y Q es la cantidad de pescado que se ofrece para la venta. Supongamos que hay n barcos lanzados; entonces la cantidad de peces capturados es Q = NaS. Los pescadores ingresan al mercado siempre y cuando las ganancias sean positivas, lo que lleva a cero ganancias para los pescadores; es decir,b=(Qn)p(Q). Esta ecuación hace que una empresa simplemente sea indiferente al lanzamiento de un barco adicional porque los costos e ingresos están equilibrados. Estas dos ecuaciones producen dos ecuaciones en las dos incógnitas n yQ:n=Qp(Q)b=1 b Qε−1ε, yQ=naS. Estas dos ecuaciones resuelven para el número de peces capturados,,Q=( as b )ε y el número de embarcaciones,n=aε−1 b εSε−1.
Restar la captura por humanos del crecimiento en los rendimientos de la población de peces
\ begin {ecuación} S^ {\ cdot} =r S (1-S) - (a S b)\ varepsilon\ fin {ecuación}
Así, un estado estacionario satisface0=S⋅=rS(1−S)−(aSb)ε.
Figura 7.6 Dinámica poblacional de peces con pesca
Figura 7.6 “Dinámica poblacional de peces con la pesca”.
La curva oscura representaS⋅, y así para S entre 0 y el punto etiquetadoS∗,S⋅ es positiva y por lo tanto S va aumentando con el tiempo. De igual manera, a la derecha deS∗, S está disminuyendo. Así,S∗ es estable bajo pequeñas perturbaciones en el stock de peces y es un equilibrio.
Vemos que si la demanda de peces es elástica, la pesca no conducirá a los peces a la extinción. Aun así, la pesca reducirá el stock de peces por debajo del nivel eficiente porque los pescadores individuales no toman en cuenta la externalidad que imponen, su pesca reduce el stock para las generaciones futuras. El nivel de peces en el mar converge a S* satisfactorio
\ begin {ecuación} 0=r S^ {*}\ izquierda (1-S^ {*}\ derecha) -\ izquierda (a S^ {*} b\ derecha)\ varepsilon\ end {ecuación}
En contraste, si la demanda es inelástica, la pesca puede llevar a los peces a la extinción. Por ejemplo, si r = 2 y a = b = 1, y ε = 0.7, la extinción es necesaria, como se ilustra en la Figura 7.7 “Dinámica poblacional de peces: extinción”.
Figura 7.7 Dinámica poblacional de peces: extinción
La Figura 7.7 “Dinámica poblacional de peces: extinción” muestra que, para los parámetros dados, el crecimiento neto de la población de peces es negativo para cada valor del stock S. Así, la población de peces disminuye consistentemente. Este es un caso en el que la externalidad pesquera (la sobrepesca hoy reduce el stock de peces mañana) tiene consecuencias particularmente nefastas. La razón por la que importa la elasticidad de la demanda es que, con la demanda inelástica, la caída en el stock de pescado aumenta el precio en una gran cantidad (lo suficiente para que los ingresos totales suban). Esto, a su vez, aumenta el número de embarcaciones pesqueras, a pesar de la caída en la captura. En contraste, con la demanda elástica, el número de embarcaciones pesqueras disminuye a medida que disminuye la población, reduciendo la proporción de peces capturados, y evitando así la extinción. Esto lo vemos para la ecuación para el número de embarcaciones pesqueras, n= a ε−1 b ε S ε−1, que refleja el hecho de que el esfuerzo pesquero aumenta a medida que cae la población si y sólo si la demanda es inelástica.
Es posible, incluso con demanda inelástica, que haya una población estable de peces. No todos los valores de los parámetros conducen a la extinción. Usando los mismos parámetros que antes, pero con ε = 0.9, obtenemos un resultado estable como se ilustra en la Figura 7.8 “Posibilidad de equilibrios múltiples”.
Figura 7.8 Posibilidad de equilibrios múltiples
Además del resultado de equilibrio estable, existe un estado estacionario inestable, que puede converger ya sea hacia arriba o hacia abajo. Una característica de la pesca con demanda inelástica es que existe una región donde la extinción es inevitable porque, cuando la población está cerca de cero, el alto precio de demanda inducido por la inelasticidad obliga a la pesca suficiente para asegurar la extinción.
Como consecuencia de la externalidad pesquera, las naciones intentan regular la pesca, tanto extendiendo su propio alcance 200 millas hacia el mar como mediante tratados que limitan la pesca en mar abierto. Estos intentos regulatorios sólo han tenido un modesto éxito en la prevención de la sobrepesca.
¿Cuál es el stock eficiente de peces? Este es un problema matemático desafiante, pero se puede obtener cierta información a través de un análisis de estado estacionario. Un estado estacionario surge cuandoS⋅=0. Si se elimina una cantidad constante Q, debe ocurrir un estado estacionario en el stock en0=S⋅=rS(1−S)−Q. Esta captura máxima ocurre entonces en S = ½ y Q = ¼ r Este no es el nivel eficiente, ya que descuida el costo de las embarcaciones, y el stock eficiente en realidad será mayor. De manera más general, nunca es eficiente enviar a la población por debajo del punto máximo en la curva de supervivencia trazada en la Figura 7.5 “Dinámica poblacional de peces”.
Conceptualmente, la pesca es un ejemplo de la tragedia de la externalidad común ya discutida. Sin embargo, la amenaza de una extinción permanente y la seductora posibilidad de resolver modelos dinámicos lo convierten en un ejemplo particularmente dramático.
Claves para llevar
La extinción surge de la interacción de dos sistemas: uno biológico y otro económico.
Cuando la demanda es elástica, la extinción no debe surgir.
Cuando la demanda es inelástica, la población disminuye disminuye la cantidad, lo que incrementa los ingresos totales, lo que lleva a una mayor inversión en la pesca. Cuando la demanda es suficientemente inelástica, el aumento de la inversión conduce a proporcionalmente más peces capturados y los peces se extinguen.
La pesca es un ejemplo de la tragedia de la externalidad común.
EJERCICIO
Supongamos ε = 1. ¿Para qué valores de parámetros son los peces necesariamente impulsados a la extinción? ¿Se puede interpretar esta condición para decir que la demanda de peces capturados supera a la producción vía reproducción?
