OBJETIVO DE APRENDIZAJE
- ¿Cómo se evalúa un flujo de pagos o pasivos?
La promesa de $1 en el futuro no vale $1 hoy. Hay una variedad de razones por las que una promesa de pagos futuros no vale el valor nominal hoy en día, algunas de las cuales implican el riesgo de que no se pague el dinero. Dejemos a un lado tal riesgo por el momento. Incluso cuando se percibe que el pago futuro ocurre con un riesgo insignificante, la mayoría de la gente prefiere $1 hoy a $1 pagadero al año de ahí. Una forma de expresarlo es por el valor presente: El valor hoy de un pago futuro de un dólar es menor que un dólar. Desde la perspectiva del valor presente, los pagos futuros son descontados.
Desde una perspectiva individual, una razón por la que uno debe valorar un pago futuro menos que un pago actual se debe al arbitraje. El arbitraje es el proceso de compra y venta de tal manera que se obtenga una ganancia. Por ejemplo, si el trigo se vende por $3 por bushel en Nueva York pero $2.50 por bushel en Chicago, uno puede comprar en Chicago y vender en Nueva York, beneficiando por $0.50 por bushel menos cualquier costo de transacción y transporte. Dicho arbitraje tiende a obligar a los precios a diferir en no más que los costos de transacción. Cuando estos costos de transacción son pequeños, como ocurre con el oro, los precios serán aproximadamente los mismos a nivel mundial. Supongamos que va a necesitar 10,000 dólares dentro de un año para poner un anticipo a una casa. Una forma de producir 10 mil dólares es comprar un bono del gobierno que pague 10 mil dólares al año a partir de ahora. ¿Cuánto te costará ese bono? A las tasas de interés actuales, un bono seguroLos economistas tienden a considerar seguros los valores del gobierno federal de Estados Unidos, porque la probabilidad de tal incumplimiento es muy, muy baja. costará alrededor de $9,700. Esto significa que nadie debería estar dispuesto a pagar 10 mil dólares por un pago futuro de 10 mil dólares porque, en cambio, uno puede tener el futuro $10,000 comprando el bono, y tendrán 300 dólares sobrantes para gastar en capuchinos o libros de texto de economía. En otras palabras, si va a pagar $10,000 por una promesa segura de pagar los $10,000 al año por lo tanto, entonces puedo hacer un negocio exitoso vendiéndole la promesa segura por $10,000 y embolsándose $300.
Esta consideración de arbitraje también sugiere cómo valorar los pagos futuros: descontarlos por la tasa de interés relevante.
Ejemplo (Préstamo para auto): Usted está comprando un auto de $20,000, y se le ofrece la opción de pagarlo todo hoy en efectivo, o de pagar 21,000 dólares en un año. ¿Deberías pagar en efectivo (asumiendo que tienes tanto en efectivo) o tomar el préstamo? El préstamo se encuentra a una tasa de interés anual del 5% porque el reembolso es 5% superior al monto del préstamo. Este es un buen trato para ti si tu alternativa es pedir prestado dinero a una tasa de interés más alta; por ejemplo, en (la mayoría) de tarjetas de crédito. También es un buen trato si tienes ahorros que pagan más del 5% —si comprar el auto con efectivo implica cobrar un certificado de depósito que paga más del 5%, entonces estarías perdiendo la diferencia. Si, por otro lado, actualmente estás ahorrando dinero que paga menos del 5% de intereses, pagar el auto es un mejor trato.
La fórmula para el valor presente es descontar por la cantidad de interés. Denotemos la tasa de interés para el próximo año como r 1, la tasa del segundo año como r 2, y así sucesivamente. En esta notación, $1 invertido pagaría\(\begin{equation}\$\left(1+r_{1}\right) \text { next year, or } \$\left(1+r_{1}\right) \times\left(1+r_{2}\right) \text { after } 2 \text { years, or } \$\left(1+r_{1}\right) \times\left(1+r_{2}\right) \times\left(1+r_{3}\right)\end{equation}\) después de 3 años. Es decir, r i es la tasa de interés que determina el valor, al cierre del año i, de $1 invertido al inicio del año i. Entonces si obtenemos un flujo de pagos A 0 inmediatamente, A 1 al final del año uno, A 2 al final del año dos, y así sucesivamente, el valor actual de ese flujo es
\ begin {ecuación}\ mathrm {PV} =\ mathrm {A} 0+\ mathrm {A} 11+\ mathrm {r} 1+\ mathrm {A} 2 (1+\ mathrm {r} 1) (1+\ mathrm {r} 2) +\ mathrm {A} 2 (1+\ mathrm {r} 1) (1+\ mathrm {r} 2) (1+\ mathrm {r} 2) (1+\ mathrm {r} 2) (1+\ mathrm {r} 2) (1+\ mathrm rm {r} 3) +\ lpuntos\ fin {ecuación}
Ejemplo (Anualidades consolidadas o consolas): ¿Cuál es el valor de $1 pagado al final de cada año para siempre, con una tasa de interés fija r? Supongamos que el valor es v. Entonces, este desarrollo utiliza la fórmula que, para\(\begin{equation}-1<a<1,11-a=1+a+a 2+\ldots\end{equation}\), que se verifica fácilmente. Tenga en cuenta que esta fórmula implica una serie infinita.
\ begin {ecuación} v= 1 1+r + 1 (1+r) 2 + 1 (1+r) 3 +... = 1 1− 1 1+r −1= 1 r. \ end {ecuación}
A una tasa de interés del 5%, un millón de dólares anuales pagados para siempre vale 20 millones de dólares en la actualidad. Los bonos que pagan una cantidad fija cada año para siempre se conocen como consolas; ningún gobierno actual emite consolas.
Ejemplo (Hipotecas): Nuevamente, fije una tasa de interés r, pero esta vez deje que r sea la tasa de interés mensual. Una hipoteca implica un pago fijo mensual por un gran número de meses (por ejemplo, 360 para una hipoteca a 30 años). ¿Cuál es el valor actual de estos pagos a lo largo de n meses? Una forma sencilla de calcular esto es usar el valor de consol, porque
\ begin {ecuación} M= 1 1+r + 1 (1+r) 2 + 1 (1+r) 3 +... + 1 (1+r) n = 1 r − 1 (1+r) n+1 − 1 (1+r) n+2 − 1 (1+r) n+3 −... = 1 r − 1 (1+r) n (1 (1+r) + 1 (1+r) 2 + 1 (1+r) 3 +...) = 1 r − 1 (1+r) n 1 r = 1 r (1− 1 (1+r) n). \ end {ecuación}
Así, a una tasa de interés mensual de 0.5%, pagar $1 por mes por 360 meses produce un valor presente M de 1 0.005 (1− 1 (1.005) 360) =$166.79. Por lo tanto, para pedir prestados 100.000 dólares, uno tendría que pagar 100.000$ 166.79 = 599.55 dólares mensuales. Es importante recordar que un monto de préstamo diferente solo cambia la escala: El préstamo de $150,000 requiere un pago de $150,000 $166.79 = $899.33 al mes, porque $1 por mes genera $166.79 en valor presente.
Ejemplo (Interés simple y compuesto): En los días previos a las calculadoras, era un reto resolver realmente fórmulas de tasas de interés, por lo que se hicieron ciertas simplificaciones. Uno de ellos era el interés simple, lo que significaba que las tasas diarias o mensuales se tradujeron en tasas anuales por fórmulas incorrectas. Por ejemplo, con una tasa anual del 5%, la tasa diaria de interés simple es de 5% 365 = 0.07692%. El hecho de que esto sea incorrecto puede verse en el cálculo (1+ .05 365) 365 = 1.051267%, que es el cálculo del interés compuesto. El interés simple aumenta la tasa anual, por lo que beneficia a los prestamistas y perjudica a los prestatarios. (En consecuencia, los bancos anuncian la tasa anual precisa en las cuentas de ahorro, cuando a los consumidores les gusta que el número sea mayor, pero no en las hipotecas, aunque la ley exige que los bancos revelen, pero no publiquen ampliamente, las tasas de interés anuales reales de las hipotecas).
Ejemplo (Lotería obligatoria): Ganas la lotería, y el papel informa que has ganado 20 millones de dólares. Te van a pagar 20 millones de dólares, pero ¿vale 20 millones de dólares? De hecho, obtienes $1 millón al año durante 20 años. Sin embargo, a diferencia de nuestra fórmula, obtienes el primer millón de inmediato, por lo que el valor es
\ begin {ecuación}\ mathrm {PV} =1+11+\ mathrm {r} +1 (1+\ mathrm {r}) 2+1 (1+\ mathrm {r}) 3+\ ldots+1 (1+\ mathrm {r}) 19=1+1\ mathrm {r} (1-1 (1+\ mathrm {r}) 19)\ end {ecuación}
El cuadro 11.1 “Valor actual de 20 millones de dólares” calcula el valor actual de nuestra lotería de 20 millones de dólares, enumerando los resultados en miles de dólares, a diversas tasas de interés. Al 10% de interés, el valor de la lotería es inferior a la mitad del “número de dólares” pagados; e incluso al 5%, el valor del flujo de pagos es 65% del valor nominal.
Cuadro 11.1 Valor actual de 20 millones de dólares
| r |
3% |
4% |
5% |
6% |
7% |
10% |
| PV (000s) |
$15,324 |
14,134 |
$13,085 |
$12,158 |
$11,336 |
$9,365 |
El ejemplo de la lotería muestra que las tasas de interés tienen un impacto dramático en el valor de los pagos realizados en un futuro lejano. El análisis del valor presente es la herramienta número uno utilizada en los programas de MBA, donde se conoce como análisis del valor presente neto, o VPN. Es exacto decir que la mayoría de las decisiones de inversión corporativa se guían por un análisis de VPN.
Ejemplo (Precios de bonos): Una letra estándar del Tesoro tiene un valor futuro fijo. Por ejemplo, puede pagar 10.000 dólares en un año. Se vende a un descuento sobre el valor nominal, de manera que un bono de un año, $10,000 podría venderse por $9,615.39, produciendo una tasa de interés del 4%. Para calcular la tasa de interés efectiva r, la fórmula que relaciona el valor futuro FV, el número de años n, y el precio es
\ begin {ecuación} (1+r) n = Precio FV\ end {ecuación}
o
\ begin {ecuación} r= (Precio FV) 1 n −1. \ end {ecuación}
Podemos ver en cualquiera de las dos fórmulas que los precios de las letras del Tesoro se mueven inversamente a tasas de interés, un aumento en las tasas de interés reduce los precios Los bonos son un poco más complicados. Los bonos pagan una tasa de interés fija fijada en el momento de su emisión durante la vigencia del bono, generalmente cobrada semestralmente, y el valor nominal se paga al término del plazo. Estos bonos a menudo se vendían a largo plazo, hasta 30 años. Así, un bono de tres años, 10 mil dólares al 5% con pagos semestrales pagaría 250 dólares al final de cada semestre por 3 años, y pagaría 10 mil dólares al término de los 3 años. El valor actual neto, con una tasa de interés anual r, es
\ begin {ecuación}\ text {NPV} =\ $250 (1+r) 12+\ $250 (1+r) 1+\ $250 (1+r) 32+\ $250 (1+r) 2+\ $250 (1+r) 52+\ $250 (1+r) 3+\ $10000 (1+r) 3\ end {ecuación}
El valor presente neto será el precio del bono. Inicialmente, el precio del bono debe ser el valor nominal, ya que la tasa de interés se fija como tasa de mercado. El Tesoro de Estados Unidos dejó de emitir dichos bonos en 2001, reemplazándolos por bonos en los que se paga el valor nominal y luego se pagan intereses semestralmente.
