18.1: La caja de Edgeworth

Nos hemos familiarizado bastante con el problema de asignación de recursos de la sociedad. Hemos utilizado el análisis de equilibrio parcial para enfocarnos en una sola mercancía, explorando cómo la oferta y la demanda determinan una cantidad de equilibrio que es la respuesta del mercado a la pregunta de asignación de recursos.

Sabemos todo sobre el excedente de consumidores y productores, la falla del mercado y la pérdida de peso muerto. Hemos dibujado repetidamente gráficos de oferta y demanda y enfatizado la comparación del equilibrio con la producción socialmente óptima.

Pero el enfoque en una sola mercancía es limitante. De hecho, el sistema de mercado utiliza la oferta y la demanda de cada bien o servicio para responder a las preguntas fundamentales de producción y distribución. En otras palabras, hay muchos mercados que interactúan (uno por cada mercancía) simultáneamente en operación.

Si monopolizamos una mercancía, causamos una mala asignación de recursos en el mercado monopolizado (se produce muy poco). El análisis de equilibrio parcial se detiene ahí. Pero el bajo rendimiento y el alto precio en el mercado monopolizado reverbera en toda la economía. Después de todo, los recursos que habrían entrado en ese mercado van a ir a otro lado y el alto precio en la materia prima monopolizada desplazará las curvas de demanda de sustitutos y complementos de ese bien.

El análisis de equilibrio general intenta dar cuenta de la oferta y la demanda en todos los mercados a la vez. Como se puede imaginar, es mucho más difícil que el análisis de equilibrio parcial, pero también es superior porque se está considerando toda la cuestión de asignación de recursos.

Este libro se centra en la teoría del equilibrio general, pero como explica el epígrafe de este capítulo, se utilizan modelos computables de equilibrio general para estimar los efectos de equilibrio general de las políticas fiscales, el poder de monopolio y otros eventos. Los economistas siempre han sido conscientes de las limitaciones del análisis de equilibrio parcial, pero no fue sino hasta el desarrollo de las computadoras modernas que estos complicados modelos pudieron resolverse y aplicarse.

Antes de comenzar nuestro estudio de la teoría del equilibrio general, dos observaciones están en orden.

1. La sociedad puede decidir qué bienes y servicios son manejados por el mercado. La sociedad podrá decidir que los órganos humanos o los votos no puedan comprarse y venderse legalmente. Diferentes sociedades basadas en el mercado pueden elegir diferentes listas de materias primas para ser asignadas por el mercado. Llamamos a una sociedad basada en el mercado si los propietarios de recursos individuales toman decisiones sobre cómo asignar los insumos que administran, incluso si determinados productos básicos están regulados o sectores enteros de la economía (como la educación o la salud) no son de propiedad privada.

2. Un análisis completo del equilibrio general del sistema de mercado está fuera de nuestro alcance. Hay tres partes, de las cuales este libro abarca sólo la primera.

   • Puro intercambio: Supongamos que cada consumidor tiene dotaciones de bienes ya producidos y permite que se produzca el comercio.

   • Producción: Permitir que los bienes se produzcan a partir de insumos.

   • Combinar el intercambio puro y la producción en un análisis de equilibrio general.

Nos enfocamos únicamente en el intercambio puro e ignoramos las dos etapas siguientes. Esto significa que no completaremos un verdadero análisis de equilibrio general del sistema de mercado. Enfatizar solo el problema del intercambio puro le permite ver los conceptos centrales del equilibrio general, incluida la gráfica Edgeworth Box, sin una complejidad abrumadora.

Incluso limitarnos a una situación en la que ya están hechos todos los productos requiere una seria inversión de capital intelectual. Como veremos, la Caja Edgeworth es una gráfica inteligente, pero se necesita algo de práctica para leerla.

Nuestro trabajo en puro intercambio nos permitirá cerrar el círculo y regresar al principiolos consumidores deciden qué comprar y vender en base a la solución óptima a un Modelo de Dotación. A medida que trabaje en el modelo y recuerde ideas y terminología, consolidará aún más el conocimiento verdaderamente fundamental.

Construyendo la caja Edgeworth

La gráfica canónica utilizada para representar una economía de cambio pura se llama Caja Edgeworth. También se le conoce comúnmente como la Caja Edgeworth-Bowley. Resulta que ambos nombres están equivocados. Blaug (1996, p. 523), al discutir algo llamado el Efecto Ricardo, señala algo interesante sobre los nombres:

Si realmente está en Ricardo es una buena pregunta. El hecho de que el Efecto Ricardo sea difícil de encontrar en Ricardo ejemplifica una regla general. Según R. K. Merton, 'eponimia' es la “práctica de colocar el nombre del científico a todo o parte de lo que ha encontrado” pero es un hecho llamativo que el resultado de la eponimia es casi siempre colgar la etiqueta correcta a la persona equivocada. Así, Thomas Gresham nunca declaró la Ley de Gresham. Jean Baptiste Say solo declaró la Ley de Say después de que James Mill la hubiera declarado para él. Robert Giffen nunca declaró la Paradoja de Giffen. Francis Edgeworth nunca dibujó la Caja Edgeworth. Ernst Engel nunca dibujó una curva de Engel. Walras nunca declaró la Ley de Walras. Irving Fisher no inventó el Número de Índice Ideal y en realidad suplicó (en vano) que no debía ser nombrado después de él. Arthur Bowley no enunció la Ley de Bowley. Arthur Pigou no declaró el Efecto Pigou y así sucesivamente. De hecho S. M. Stigler ha avanzado “Ley de Eponimia de Stigler: Ningún descubrimiento científico lleva el nombre de su descubridor original”, una ley que se confirma tan pronto como se afirma (ver Transacciones de la Academia de Ciencias de Nueva York, Serie 11, 39, 1980). Sin embargo, también hay contra-ejemplos en economía a la Ley de Stigler, como la Pareto-optimalidad y el Efecto Wicksell.

Si no fue Edgeworth, ¿entonces quién creó la gráfica canónica del análisis de equilibrio general? Según Tarascio (1972), fue Vilfredo Pareto (pronunciado pa-ray-toe) quien debería ser acreditado con haber inventado la gráfica que llamamos la Caja Edgeworth. Porque nadie ha oído hablar de la Caja de Pareto, seguiremos llamándola la Caja Edgeworth, pero ahora ya sabes la verdad detrás del nombre.

La caja Edgeworth es una gráfica que se construye reuniendo las gráficas de problemas de elección del consumidor de dos consumidores. Termina pareciendo una caja; de ahí su nombre. Si bien la mayoría de los libros simplemente dibujan una caja, podemos usar Excel para ver exactamente cómo se construye una caja Edgeworth.

PASO Abra el libro de Excel EdgeworthBox.xls y lea la hoja de introducción, luego vaya a la hoja A para ver el problema de optimización del consumidor A.

Tómate el tiempo para revisar la sábana. El objetivo es maximizar la satisfacción, dada por una función de utilidad Cobb-Douglas que refleja fielmente las preferencias del consumidor. La pendiente de la restricción presupuestal es\(-\frac{p_1}{p_2}\) y en la dotación inicial (35,10), el MRS es menor que la relación precio.

Sabes que no necesitas ejecutar Solver porque a los 25,\(16 \frac{2}{3}\) (los valores reales en la hoja son la falsa precisión de Solver) se cumple la condición equimarginal y el consumidor está alcanzando la curva de indiferencia más alta alcanzable.

A los precios dados, la hoja muestra que A maximizará la utilidad, sujeto a la restricción presupuestal, al vender 10 unidades de\(x_1\) y comprar\(6 \frac{2}{3}\) unidades de\(x_2\). Estas son las demandas netas para\(x_1\) y\(x_2\).

PASO Proceda a la hoja B para ver la solución óptima del consumidor B.

Observe que B tiene una dotación inicial diferente (5,30) que A, pero el resto del problema de optimización es el mismo. Dados los mismos precios que enfrenta el consumidor A, el consumidor B optimiza comprando 20 unidades de\(x_1\) y vendiendo\(13 \frac{1}{3}\) unidades de\(x_2\).

La Figura 18.1 tiene gráficas del Modelo de Dotación para los dos consumidores. Podemos ver que toman distintas decisiones sobre qué comprar y vender. A mueve hacia arriba la restricción (venta\(x_1\) y compra\(x_2\)), mientras que B hace lo contrario.

Figura 18.1: Preparándose para construir la caja Edgeworth.

Fuente: EdgeworthBox.xls! A y B.

La figura 18.1 muestra a los dos consumidores uno al lado del otro y eso nos ayuda a ver qué están haciendo ambos, pero no muestra cómo coinciden sus planes de compra y venta. Esta es la clave de la Caja Edgeworth. Queremos poder ver instantáneamente si las decisiones óptimas de los dos consumidores se mezclan.

El paso crucial para entender la Caja Edgeworth es el siguiente: la gráfica Flip consumer B, como se muestra en la Figura 18.2. La hoja B en Edgeworth-Box.xls muestra cómo hacer esto.

Figura 18.2: Volteando la gráfica de B.

Fuente: EdgeworthBox.xls! B.

PASO Siga las instrucciones de la columna F de la hoja B para replicar Figura 18.2.

En realidad, voltear la gráfica de B te ayudará a recordar que las decisiones de B sobre la compra y venta siempre se leen desde la perspectiva de la esquina noreste (superior derecha) de la caja Edgeworth.

El último paso en la construcción de la Caja Edgeworth es unir el gráfico de A con el gráfico volteado de B. El resultado de esta operación es una gráfica que parece una caja.

PASO Proceda a la hoja EdgeWorthBox para su primer vistazo a una Edgeworth Box. Es posible que tengas que desplazarte un poco hacia abajo para verlo.

¿Cómo se crea este gráfico? Siguiendo las instrucciones anteriores y aprovechando la capacidad de Excel para hacer objetos transparentes.

PASO Haga clic en la gráfica para seleccionarla, y luego arrastre la gráfica hacia la derecha.

¡Se deshace! Claramente, la caja Edgeworth es simplemente dos gráficas separadas superpuestas una encima de la otra. La gráfica superior no tiene relleno, por lo que es transparente.

PASO Haga clic en el botón para volver a armar la caja. El botón simplemente alinea los dos gráficos precisamente para facilitar la creación de la caja.

PASO Desplácese hacia arriba para ver la organización de la hoja.

Hagamos un recorrido por la hoja. Los problemas de optimización de los dos consumidores se representan en las columnas A y B y las columnas M y N. En el medio (columnas G y H), se muestra la información del mercado. Las celdas H16 y H17 contienen los precios de los dos bienes.

El precio del bien\(x_2\), llamado numerario, se ha fijado igual a 1 y\(p_1\) se expresa como\(\frac{p_1}{p_2}\). En lugar de\(p_1 = 2\) y\(p_2 = 3\), podemos centrarnos en\(\frac{p_1}{p_2}=\frac{2}{3}\) como el precio relativo. Con muchos bienes, se elige uno solo (piense en el oro) como numerario y todo tiene un precio relativo a ese bien. En el siguiente capítulo, veremos cómo los precios responden a la oferta y la demanda.

Propiedades de la caja Edgeworth

The Edgeworth Box tiene propiedades y convenciones que serán útiles en nuestro trabajo futuro. Éstos son algunos de ellos.

1. Los lados de la caja dan los montos totales de los dos bienes disponibles. Total\(x_1 = 40\) de unidades y\(x_2 = 40\) unidades totales por lo que esta caja es un cuadrado.

2. Si hay\(x_1\) más total que\(x_2\), entonces la caja es más ancha que alta (si se usa la misma escala de eje para ambas mercancías). La primera pregunta del ejercicio pregunta qué significa si la caja es alta y delgada.

3. Dado que los consumidores enfrentan los mismos precios, se comparte una línea de presupuesto para ambos consumidores.

4. La pendiente de la línea presupuestal es la relación precio,\(\frac{p_1}{p_2}\), y eso es lo que importa, no los propios precios individuales. Por convención, normalizamos el problema y establecemos\(p_2 = 1\), y llamamos\(x_2\) al numerario.

5. Las demandas netas\(x_2\) para\(x_1\) y para A y B se pueden leer de la caja. Esto requiere una atención cuidadosa porque es fácil ser engañado. Recuerda leer las decisiones de B sobre la compra y venta desde la esquina superior derecha.

6. La Caja Edgeworth tiene suficiente información para averiguar cómo cambiarán los precios y dónde se encuentra la solución de equilibrio. En la siguiente sección se muestra cómo.

Fundamentos de Edgeworth Box

En esta sección se introdujo la gráfica canónica de la teoría del equilibrio general. Es poco probable que hayas visto esta gráfica antes por lo que estamos procediendo lentamente. La Figura 18.3 muestra el gráfico de la hoja EdgeWorthBox.

Figura 18.3: Una caja de Edgeworth en desequilibrio.

Fuente: EdgeworthBox.xls! EdgeWorthBox.

La caja Edgeworth muestra simultáneamente los problemas de optimización de dos consumidores. La vista de A es la configuración habitual del eje x—y con el origen en la esquina inferior izquierda de la gráfica. La gráfica de B ha sido volteada por lo que el origen está en la esquina superior derecha. Así,\(x_1\) se eleva a medida que se mueve hacia la izquierda en la parte superior de la caja y\(x_2\) se eleva a medida que se mueve hacia abajo por el lado derecho de la caja.

Si dibujaste una caja Edgeworth en una hoja de papel o estás leyendo esto en una computadora portátil o tableta, literalmente podrías rotar el papel o dispositivo para que B fuera la configuración habitual en la parte inferior izquierda y los ejes de A estuvieran en la parte superior y derecha. Esto no cambiaría nada sustantivo.

En la siguiente sección, utilizaremos la Caja Edgeworth para ver cómo ambos mercados se equilibran simultáneamente. Este es el sello distintivo del análisis de equilibrio general. La Figura 18.3 no está en equilibrio. Hay fuerzas que harán que la línea presupuestal roja se balancee.

También se utilizará el Edgeworth Box para explicar el concepto de optimalidad de Pareto y la idea de eficiencia económica en un entorno de equilibrio general. Aunque no tiene el reconocimiento generalizado de la oferta y la demanda, la Caja Edgeworth es una gráfica verdaderamente fundamental en la teoría del equilibrio general. Es importante comprender cómo se construye y se lee para poder entender conceptos futuros que se basan en la Caja Edgeworth.

Ejercicios

1. Supongamos que un Edgeworth Box era muy alto y muy flaco. ¿Qué te diría eso?

2. Utilice las herramientas de dibujo de Word para dibujar una caja de Edgeworth que sea la misma que la hoja EdgeWorthBox excepto que la función de utilidad de B es\(U = min{x_1, x_2}\). Dibuja tres curvas de indiferencia representativas para B.

   Pista: Regresar a la Teoría del Comportamiento del Consumidor para conocer cómo son las curvas de indiferencia para esta función de utilidad.

3. Haga clic en el botón en la hoja EdgeWorthBox y establezca\(cB\) en la celda M21 a 0.1. Haga clic en el botón y pegue la gráfica en su documento de Word.

4. Explique la decisión de compra/venta de B para cada bien.

5. ¿Cómo tiene sentido la decisión de compra/venta de B dado que B tiene tan poco\(x_1\) y tanto de\(x_2\)?

Referencias

El epígrafe es de “Irma Adelman: Distinguished Fellow 2003”, The American Economic Review, Vol. 94, No. 3 (junio de 2004), www.jstor.org/ stable/i369727. Los avances en computadoras han permitido aplicaciones empíricas del mundo real del análisis de equilibrio general. Los modelos computables de equilibrio general (CGE) se utilizan para encontrar soluciones de equilibrio con muchos agentes y materias primas. Se simulan y evalúan los efectos de los impuestos y otros choques.

La historia de cómo se han utilizado las computadoras en modelos económicos cada vez más sofisticados es una historia de determinación y determinación. Ver Irma Adelman, “La investigación para el trabajo sobre la dinámica del modelo Klein-Goldberger”, Revista de medición económica y social, Vol.32 (2007), pp. 29—33, contenido.iospress.com/articles/journal-of-economicy-social-measurement/

jem00269, para conocer cómo Adelman y su esposo físico, Frank Adelman, utilizaron una computadora central IBM 650 en 1958 para producir uno de sus artículos más famosos, “Las propiedades dinámicas del modelo Klein-Goldberger”, Econometrica, Vol. 27, núm. 4 (octubre de 1959), pp. 596—625, www.jstor.org/stable/1909353. Este fue el primer intento de resolver un modelo econométrico con una computadora electrónica. Adelman (2007) también dice que la obra fue “Creo, una primera aplicación de las técnicas de Montecarlo en economía”. (pág. 32)

En una introducción a la descripción de Adelman de cómo se estimó el modelo, Renfro describe el IBM 650 y lo increíblemente impresionante que fue que Adelman logró usarlo para estimar el modelo. Además de cubrir su guarida con trozos de papel que indiquen el contenido de cada registro de memoria en cada paso del cómputo y tener que pagar más de un mes de su salario por 1 hora de tiempo de cómputo, Renfro (p. 24) señala que el trabajo tuvo que hacerse por la noche. “A lo largo de toda la era del mainframe, aquellos que necesitaban hacer algo rápidamente trabajaron durante toda la noche. Las computadoras en esos días tenían múltiples usuarios; esta era la hora del día que brindaba la mejor respuesta, cuando solo los más serios estaban despiertos”. Véase Charles G. Renfro, “Introducción”, Journal of Economic and Social Measurement, Vol. 32 (2007), pp. 23—28, content.iospress.com/articles/journal-of-economicy-social-measurement ment/jem00271.

La economía computacional basada en agentes (ACE) está relacionada con CGE. Para obtener más información sobre “economías en crecimiento de abajo hacia arriba”, visite www2.econ.iastate. edu/tesfatsi/ace.htm.

Sobre la afirmación de que debería llamarse Caja de Pareto, véase Vincent Tarascio, “Una corrección sobre la genealogía del llamado diagrama Edgeworth-Bowley”, Investigación económica, Vol. 10 (1972), pp. 193—197, onlinelibrary.wiley.com/ doi/10.1111/j.1465-7295.1972.tb01599.x.

Teoría económica en Retrospectiva es un libro clásico sobre la historia del pensamiento económico (la historia intelectual de la disciplina) es Mark Blaug (1962 publicado originalmente, ^5ª edición, 1996).