2.13: Introducción a las Pruebas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Utilizar pruebas de dos columnas para afirmar y probar la validez de una declaración escribiendo argumentos formales de declaraciones matemáticas. También aprenda sobre los formatos de prueba de párrafo y diagrama de flujo.
Pruebas de dos columnas
Una prueba de dos columnas es una forma común de organizar una prueba en geometría. Las pruebas de dos columnas siempre tienen dos columnas: una para declaraciones y otra para razones. La mejor manera de entender las pruebas de dos columnas es leer ejemplos.
Al escribir su propia prueba de dos columnas, tenga en cuenta estas cosas:
- Numere cada paso.
- Comience con la información dada.
- Las declaraciones con la misma razón se pueden combinar en un solo paso. Depende de usted.
- Dibuja un cuadro y márcalo con la información dada.
- Debes tener un motivo para CADA declaración.
- El orden de las declaraciones en la prueba no siempre es fijo, sino asegurarse de que el orden tenga sentido lógico.
- Las razones serán definiciones, postulados, propiedades y teoremas previamente probados. “Dado” sólo se utiliza como razón si la información en la columna de declaración se dio en el problema.
- Utilice símbolos y abreviaturas para las palabras dentro de las pruebas. Por ejemplo, se≅ puede utilizar en lugar de la palabra congruente. También podrías usar\ (\ ángulo para la palabra ángulo.
Supongamos que te dicen que∠XYZ es un ángulo recto y que→YW bisecta∠XYZ. Entonces se le pide que demuestre∠XYW≅∠WYZ.
Ejemplo2.13.1
Escriba una prueba de dos columnas para lo siguiente:
SiA,B,C, yD son puntos en una línea, en el orden dado, yAB=CD, entoncesAC=BD.
Solución
Cuando la declaración se da de esta manera, la parte de “si” es la dada y la parte de “entonces” es lo que estamos tratando de probar.
Siempre empieza por dibujar una imagen de lo que te dan.
Trazar los puntos en el ordenA,B,C,D en una línea.

Agregar lo dado,AB=CD.

Dibuja la prueba de dos columnas y comienza con la información dada.
Declaración | Razón |
---|---|
1. A,B,C, yD son colineales, en ese orden. | 1. Dado |
2. AB=CD | 2. Dado |
3. BC=BC | 3. PoE reflexivo |
4. AB+BC=BC+CD | 4. Adición PoE |
5. AB+BC=AC BC+CD=BD |
5. Postulado de adición de segmentos |
6. AC=BD | 6. Sustitución o PoE Transitivo |
Ejemplo2.13.2
Escriba una prueba de dos columnas.
Dado:→BF bisectos∠ABC;∠ABD≅∠CBE
Demostrar:∠DBF≅∠EBF

Solución
Primero, ponga las marcas apropiadas en la imagen. Recordemos, ese bisecto significa “cortar por la mitad”. Por lo tanto,m∠ABF=m∠FBC.

Comunicado | Razón |
---|---|
1. →BFbisectos∠ABC,∠ABD≅∠CBE | 1. Dado |
2. m∠ABF=m∠FBC | 2. Definición de una bisectriz angular |
3. m∠ABD=m∠CBE | 3. Si los ángulos son≅, entonces sus medidas son iguales. |
4. m∠ABF=m∠ABD+m∠DBF m∠FBC=m∠EBF+m∠CBE |
4. Postulado de Adición de Ángulo |
5. m∠ABD+m∠DBF=m∠EBF+m∠CBE | 5. Sustitución PoE |
6. m∠ABD+m∠DBF=m∠EBF+m∠ABD | 6. Sustitución PoE |
7. m∠DBF=m∠EBF | 7. Resta PoE |
8. ∠DBF≅∠EBF | 8. Si las medidas son iguales, los ángulos son\ (\ cong. |
Ejemplo2.13.3
El Teorema de Ángulo Recto establece que si dos ángulos son ángulos rectos, entonces los ángulos son congruentes. Demostrar este teorema.
Para probar este teorema, configura tu propio dibujo y nombra algunos ángulos para que tengas ángulos específicos de los que hablar.
Dado:∠A y∠B son ángulos rectos
Demostrar:∠A≅∠B
Solución
Comunicado | Razón |
---|---|
1. ∠Ay∠B son ángulos rectos | 1. Dado |
2. m∠A=90∘ym∠B=90∘ | 2. Definición de ángulos rectos |
3. m∠A=m∠B | 3. PoE Transitivo |
4. ∠A≅∠B | 4. ≅ángulos tienen = medidas |
Cualquier vez que se mencionen ángulos rectos en una prueba, necesitarás usar este teorema para decir que los ángulos son congruentes.
Ejemplo2.13.4
El Teorema de los Suplementos del Mismo Ángulo establece que si dos ángulos son complementarios al mismo ángulo entonces los dos ángulos son congruentes. Demostrar este teorema.
Dado:∠A y\ ángulo B son ángulos suplementarios. ∠By∠C son ángulos suplementarios.
Demostrar:∠A≅∠C
Solución
Comunicado | Razón |
---|---|
1. ∠Ay∠B son complementarios ∠By∠C son complementarios |
1. Dado |
2. \ (m\ ángulo A+m\ ángulo B=180^ {\ circ} \ (m\ ángulo B+m\ ángulo C=180^ {\ circ} |
2. Definición de ángulos suplementarios |
3. m∠A+m∠B=m∠B+m∠C | 3. Sustitución PoE |
4. m∠A=m∠C | 4. Resta PoE |
5. ∠A≅∠C | 5. ≅ángulos tienen = medidas |
Ejemplo2.13.5
El Teorema de Ángulos Verticales establece que los ángulos verticales son congruentes. Demostrar este teorema.
Dado: Líneaskm e intersección.
Demostrar:∠1≅∠3

Solución
Comunicado | Razón |
---|---|
1. Líneaskm e intersección | 1. Dado |
2. ∠1y∠2 son un par lineal \ ángulo 2 y∠3 son un par lineal |
2. Definición de un par lineal |
3. ∠1y∠2 son complementarios ∠2y∠3 son complementarios |
3. Postulado de Par Lineal |
4. m∠1+m∠2=180∘ m∠2+m∠3=180∘ |
4. Definición de ángulos suplementarios |
5. m∠1+m∠2=m∠2+m∠3 | 5. Sustitución PoE |
6. m∠1=m∠3 | 6. Resta PoE |
7. ∠1≅∠3 | 7. ≅ángulos tienen = medidas |
Ejemplo2.13.6
∠1≅∠4y∠C y∠F son ángulos rectos.
¿Qué ángulos son congruentes y por qué?

Solución
Por el teorema de ángulo recto,∠C≅∠F. También,∠2≅∠3 por el Teorema de Suplementos de Mismo Ángulos porque∠1≅∠4 y son pares lineales con estos ángulos congruentes.
Revisar
Rellene los espacios en blanco en las pruebas a continuación.
- Dado:∠ABC≅∠DEF y∠GHI≅∠JKL
Demostrar:m∠ABC+m∠GHI=m∠DEF+m∠JKL
Comunicado | Razón |
---|---|
1. | 1. Dado |
2. m∠ABC=m∠DEF m∠GHI=m∠JKL |
2. |
3. | 3. Adición PoE |
4. m∠ABC+m∠GHI=m∠DEF+m∠JKL | 4. |
- Dado:M es el punto medio de¯AN. Nes el punto medio¯MB
Demostrar:AM=NB
Comunicado | Razón |
---|---|
1. | Dado |
2. | Definición de un punto medio |
3. AM=NB |
- Dado:¯AC⊥¯BD y∠1≅∠4
Demostrar:∠2≅∠3

Comunicado | Razón |
---|---|
1. \ (\ overline {AC}\ perp\ overline {BD},\ (\ ángulo 1\ cong\ ángulo 4 | 1. |
2. m∠1=m∠4 | 2. |
3. | 3. \ (\ líneas perp crean ángulos rectos |
4. m∠ACB=90∘ m∠ACD=90∘ |
4. |
5. m∠1+m∠2=m∠ACB m∠3+m∠4=m∠ACD |
5. |
6. | 6. Sustitución |
7. m∠1+m∠2=m∠3+m∠4 | 7. |
8. | 8. Sustitución |
9. | 9.Resta PoE |
10. ∠2≅∠3 | 10. |
- Dado:∠MLN≅∠OLP
Demostrar:∠MLO≅∠NLP

Comunicado | Razón |
---|---|
1. | 1. |
2. | 2. ≅ángulos tienen = medidas |
3. | 3. Postulado de Adición de Ángulo |
4. | 4. Sustitución |
5. m∠MLO=m∠NLP | 5. |
6. | 6. ≅ángulos tienen = medidas |
- Dado:AE_⊥EC_ yBE_⊥ED_
Demostrar:∠1≅∠3

Comunicado | Razón |
---|---|
1. | 1. |
2. | 2. ⊥líneas crean ángulos rectos |
3. m∠BED=90∘ m∠AEC=90∘ |
3. |
4. | 4. Postulado de Adición de Ángulo |
5. | 5. Sustitución |
6. m∠2+m∠3=m∠1+m∠3 | 6. |
7. | 7. Resta PoE |
8. | 8. ≅ángulos tienen = medidas |
- Dado:∠L es complementario∠M y∠P es complementario a∠O y∠L≅∠O
Demostrar:∠P≅∠M

Comunicado | Razón |
---|---|
1. | 1. |
2. m∠L=m∠O | 2. |
3. | 3. Definición de ángulos suplementarios |
4. | 4. Sustitución |
5. | 5. Sustitución |
6. | 6. Resta PoE |
7. ∠M≅∠P | 7. |
- Dado:∠1≅∠4
Demostrar:∠2≅∠3

Comunicado | Razón |
---|---|
1. | 1. |
2. m∠1=m∠4 | 2. |
3. | 3. Definición de un par lineal |
4. ∠1y∠2 son complementarios ∠3y∠4 son complementarios |
4. |
5. | 5. Definición de ángulos suplementarios |
6. m∠1+m∠2=m∠3+m∠4 | 6. |
7. m∠1+m∠2=m∠3+m∠1 | 7. |
8. m∠2=m∠3 | 8. |
9. ∠2≅∠3 | 9. |
- Dado:∠C y∠F son ángulos rectos
Demostrar:m∠C+m∠F=180∘

Comunicado | Razón |
---|---|
1. | 1. |
2. m∠C=90∘,\(m∠F=90∘ | 2. |
3. 90∘+90∘=180∘ | 3. |
4. m∠C+m∠F=180∘ | 4. |
- Dado:l⊥m
Demostrar:∠1≅∠2

Comunicado | Razón |
---|---|
1. l⊥m | 1. |
2. ∠1y∠2 son ángulos rectos | 2. |
3. | 3. |
- Dado:m∠1=90∘
Demostrar:m∠2=90∘

Comunicado | Razón |
---|---|
1. | 1. |
2. ∠1y∠2 son un par lineal | 2. |
3. | 3. Postulado de Par Lineal |
4. | 4. Definición de ángulos suplementarios |
5. | 5. Sustitución |
6. m∠2=90∘ | 6. |
- Dado:l⊥m
Demostrar:∠1 y∠2 son complementos

Comunicado | Razón |
---|---|
1. | 1. |
2. | 2. ⊥líneas crean ángulos rectos |
3. m∠1+m∠2=90∘ | 3. |
4. ∠1y∠2 son complementarios | 4. |
- Dado:l⊥m y∠2≅∠6
Demostrar:∠6≅∠5

Comunicado | Razón |
---|---|
1. | 1. |
2. m∠2=m∠6 | 2. |
3. ∠5≅∠2 | 3. |
4. m∠5=m∠2 | 4. |
5. m∠5=m∠6 | 5. |
Reseña (Respuestas)
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El vocabulario
Término | Definición |
---|---|
prueba de dos columnas | Una forma común de organizar una prueba en geometría. Las pruebas de dos columnas siempre tienen dos columnas- declaraciones y razones. |
par lineal | Dos ángulos forman un par lineal si son suplementarios y adyacentes. |
Recursos adicionales
Video: Principios de Pruebas de Dos Columnas - Básicos
Actividades: Preguntas de discusión sobre pruebas de dos columnas
Ayudas de estudio: Guía de estudio de pruebas
Práctica: Introducción a las pruebas
Mundo real: Dame una razón