2.16: Pruebas de paralelogramo

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Aplicar teoremas para mostrar si un cuadrilátero tiene dos pares de lados paralelos.

Cuadriláteros que son Paralelogramos

Recordemos que un paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. Aunque un cuadrilátero no esté marcado con tener dos pares de lados, aún podría ser un paralelogramo. La siguiente es una lista de teoremas que te ayudarán a decidir si un cuadrilátero es un paralelogramo o no.

1. Teorema de lados opuestos Converse: Si ambos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces la figura es un paralelogramo.

f-d_b44f3f753ae5d2c0f64fe05ea27747fece73e8409e7a42a40ebe4a1b+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{1}\)

entonces

f-d_994d6497cbae0e45c57daa4d03e6067e99015df4ccb97c8bf5a14596+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{2}\)

2. Teorema de ángulos opuestos Converse: Si ambos pares de ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces la figura es un paralelogramo.

F-D_2118168440f8fc1a13c1238ef26d6fa54c1173fb4e7e4e2a20c7199c+imagen_tiny+imagen_tiny.png — Figura\(\PageIndex{3}\)

entonces

F-D_528830801800A01007E868C589B2EBF40AB26919F4557BE5E605481A+Image_Tiny+Image_Tiny.png — Figura\(\PageIndex{4}\)

3. Paralelogramo Diagonales Teorema Converse: Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan entre sí, entonces la figura es un paralelogramo.

f-d_46c004c44a75296d2eac72bd737291bae01ab65e1820b5204f3586ca+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{5}\)

entonces

f-d_c6443e1c10cf2e9c4d75ba5b555b815d0a95690ca23ea976a0b40e5f+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{6}\)

4. Teorema de Lados Congruentes Paralelos: Si un cuadrilátero tiene un conjunto de líneas paralelas que también son congruentes, entonces es un paralelogramo.

F-D_E46203F33A4881541307B95407D5031345EDCB82AE45185EA0C3AA76+Image_Tiny+Image_Tiny.png — Figura\(\PageIndex{7}\)

entonces

f-d_7d8fcf2fea2284750352c44fdde20db6255d6298f2cf47be907ff997+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{8}\)

Puedes usar cualquiera de los teoremas anteriores para ayudar a mostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo. Si estás trabajando en el plano x−y, es posible que necesites conocer las fórmulas que se muestran a continuación para ayudarte a usar los teoremas.

La Fórmula de la Pendiente,\(\dfrac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\). (Recuerda que si las pendientes son las mismas entonces las líneas son paralelas).
La Fórmula de Distancia,\(\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}\). (Esto te ayudará a demostrar que dos lados son congruentes).
La fórmula del punto medio,\( ( \dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2} )\). (Si los puntos medios de las diagonales son los mismos entonces las diagonales se bisecan entre sí).

¿Y si te dieran cuatro pares de coordenadas que forman un cuadrilátero? ¿Cómo podrías determinar si ese cuadrilátero es un paralelogramo?

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Demostrar el teorema de los lados congruentes paralelos.

F-D_481247021bd2921618edf2f5e05543ff7668412a6a797825b7b69f29+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{9}\)

Dado:\(\overline{AB}\parallel\overline{DC}\), y\(\overline{AB}\cong \overline{DC}\)

Probar:\(ABCD\) es un paralelogramo

Solución

*Comunicado*	*Razón*
1. \(\overline{AB}\parallel\overline{DC}\), y\(\overline{AB}\cong \overline{DC}\)	1. Dado
2. \(\angle ABD\cong \angle BDC\)	2. Ángulos interiores alternos
3. \(\overline{DB}\cong \overline{DB}\)	3. reflexivo\(PoC\)
4. \(\Delta ABD\cong \Delta CDB\)	4. SAS
5. \(\overline{AD}\cong \overline{BC}\)\)	5. CPCTC
6. \(ABCD\)es un paralelogramo	6. Lados opuestos Converse

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

¿Qué valor de\(x\) haría\(ABCD\) un paralelogramo?

F-D_57BE9D320081B376883EC8CAD8136DEDF5E1644F34D20438C1632327+Image_Tiny+Image_Tiny.png — Figura\(\PageIndex{10}\)

Solución

\(\overline{AB}\parallel\overline{DC}\). Por el Teorema de Lados Congruentes\(ABCD\) Paralelos, sería un paralelogramo si\(AB=DC\).

\(\begin{align*} 5x−8 &=2x+13 \\ 3x &=21 \\ x &=7 \end{align*}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Demostrar los lados opuestos Teorema Converse.

Teniendo en cuenta:\(\overline{AB}\cong \overline{DC}\),\(\overline{AD}\cong \overline{BC}\)

Probar:\(ABCD\) es un paralelogramo

Solución

*Comunicado*	*Razón*
1. \(\overline{AB}\cong \overline{DC}\),\(\overline{AD}\cong \overline{BC}\)	1.Dado
2. \(\overline{DB}\cong \overline{DB}\)	2. reflexivo\(PoC\)
3. \(\Delta ABD\cong \Delta CDB\)	3. SSS
4. \(\angle ABD\cong \angle BDC\),\(\angle ADB\cong \angle DBC\)	4. \(CPCTC\)
5. \(\overline{AB}\parallel\overline{DC}\),\(\overline{AD}\parallel\overline{BC}\)	5. Converse de ángulos interiores alternos
6. \(ABCD\)es un paralelogramo	6. Definición de un paralelogramo

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

¿El cuadrilátero es\(EFGH\) un paralelogramo? ¿Cómo lo sabes?

f-d_b1740b63357c5d41fd536f61ac4336ce081028133139b46445b5a7af+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{12}\)

Solución

Por el Teorema de Ángulos Opuestos Converse,\(EFGH\) es un paralelogramo.

\(EFGH\)no es un paralelogramo porque las diagonales no se bisecan entre sí.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

¿El cuadrilátero es\(ABCD\) un paralelogramo?

f-d_ad6c14bc1b86d3eeeaa76acbda23277a9070ebd2c788dea374e53bbc+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{13}\)

Solución

Usemos el Teorema de Lados Congruentes Paralelos para ver si\(ABCD\) es un paralelogramo. Primero, encuentra la longitud de AB y CD usando la fórmula de distancia.

\(\begin{align*} AB &=\sqrt{(−1−3)^2+(5−3)^2} & CD &=\sqrt{(2−6)^2+(−2+4)^2} \\ &=\sqrt{(−4)^{2}+2^2} & &=\sqrt{(−4)^2+2^2} \\ &=\sqrt{16+4}=\sqrt{20} & & =\sqrt{16+4}=\sqrt{20} \end{align*}\)

A continuación encuentra las pendientes para comprobar si las líneas son paralelas.

\(\begin{align*} Slope \: AB =\dfrac{5−3}{−1−3} =\dfrac{2}{−4} &=−\dfrac{1}{2} &Slope \: CD=\dfrac{−2+4}{2−6}=\dfrac{2}{−4}=−\dfrac{1}{2} \end{align*}\)

\(AB=CD\)y las pendientes son las mismas (lo que implica que las líneas son paralelas), así\(ABCD\) es un paralelogramo.

Revisar

Para las preguntas 1-12, determine si los cuadriláteros son paralelogramos.

Figura\(\PageIndex{14}\)
Figura\(\PageIndex{15}\)
Figura\(\PageIndex{16}\)
Figura\(\PageIndex{17}\)
Figura\(\PageIndex{18}\)
Figura\(\PageIndex{19}\)
Figura\(\PageIndex{20}\)
Figura\(\PageIndex{21}\)
Figura\(\PageIndex{22}\)
Figura\(\PageIndex{23}\)
Figura\(\PageIndex{24}\)
Figura\(\PageIndex{25}\)

Para las preguntas 13-18, determinar el valor de\(x\) y\(y\) eso haría del cuadrilátero un paralelogramo.

Figura\(\PageIndex{26}\)
Figura\(\PageIndex{27}\)
Figura\(\PageIndex{28}\)
Figura\(\PageIndex{29}\)
Figura\(\PageIndex{30}\)
Figura\(\PageIndex{31}\)

Para las preguntas 19-22, determine si\(ABCD\) es un paralelogramo.

\(A(8,−1)\),\(B(6,5)\),\(C(−7,2)\),\(D(−5,−4)\)
\(A(−5,8)\),\(B(−2,9)\),\(C(3,4)\),\(D(0,3)\)
\(A(−2,6)\),\(B(4,−4)\),\(C(13,−7)\),\(D(4,−10)\)
\(A(−9,−1)\),\(B(−7,5)\),\(C(3,8)\),\(D(1,2)\)

Rellene los espacios en blanco en las pruebas a continuación.

Teorema de ángulos opuestos Converse

F-D_14c5c7af431574174f61e564b4ce1c17a9f6dafef030e565b85454c6+imagen_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{32}\)

Teniendo en cuenta:\(\angle A\cong \angle C\),\(\angle D\cong \angle B\)

Probar:\(ABCD\) es un paralelogramo

*Comunicado*	*Razón*
1.	1.
2. \(m\angle A=m\angle C\),\(m\angle D=m\angle B\)	2.
3.	3. Definición de cuadrilátero
4. \(m\angle A+m\angle A+m\angle B+m\angle B=360^{\circ}\)	4.
5.	5. Combinar términos similares
6.	6. División\(PoE\)
7. \(\angle A\)y\(\angle B\) son complementarios\(\angle A\) y\(\angle D\) complementarios	7.
8.	8. Converse Converse Converse
9. \(ABCD\)es un paralelogramo	9.

Paralelogramo Diagonales Teorema Converse

F-D_4c50cdd807989540195ffb2226df7dc09513ff33267308d9f8203ca8+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{33}\)

Teniendo en cuenta:\(\overline{AE}\cong \overline{EC}\),\(\overline{DE}\cong \overline{EB}\)

Probar:\(ABCD\) es un paralelogramo

*Comunicado*	*Razón*
1.	1.
2.	2. Teorema de ángulos verticales
3. \(\Delta AED \cong \Delta CEB\) \(\Delta AEB\cong \Delta CED\)	3.
4.	4.
5. \(ABCD\)es un paralelogramo	5.

Teniendo en cuenta:\(\angle ADB\cong \angle CBD\),\(\overline{AD}\cong \overline{BC}\)

Probar:\(ABCD\) es un paralelogramo

*Comunicado*	*Razón*
1.	1.
2. \(\overline{AD}\parallel\overline{BC}\)	2.
3. \(ABCD\)es un paralelogramo	3.

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 6.4.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Demostrar un cuadrilátero es un paralelogramo Principios - Básico

Actividades: Cuadriláteros que son Paralelogramas Preguntas de Discusión

Ayudas de estudio: Guía de estudio de paralelogramos

Práctica: Pruebas de paralelogramo

Mundo real: cuadriláteros que son paralelogramos