2.18: Prueba indirecta en álgebra y geometría

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Si$x=2$, entonces$3x−5\neq 10$. Demostrar que esta afirmación es cierta por contradicción.

Solución

Recuerda que en una prueba indirecta lo primero que haces es asumir que la conclusión de la declaración es falsa. En este caso, asumiremos lo contrario de “Si$x=2$, entonces$3x−5\neq 10$ “:

Si$x=2$, entonces$3x−5=10$.

Toma esta afirmación como verdadera y resuelve para x.

$\begin{align*} 3x−5 &=10 \\ 3x &=15 \\ x &=5 \end{align*}$

Pero$x=5$ contradice la afirmación dada de que$x=2$. De ahí que nuestra suposición es incorrecta y$3x−5\neq 10$ es cierta.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Si\ Delta ABC es isósceles, entonces la medida de los ángulos base no puede ser$92^{\circ}$. Demostrar esto indirectamente.

Solución

Recuerda, para empezar asumir lo contrario de la conclusión.

La medida de los ángulos base son$92^{\circ}$.

Si los ángulos de la base son$92^{\circ}$, entonces suman$184^{\circ}$. Esto contradice el Teorema de la Suma del Triángulo que dice que las tres medidas angulares de todos los triángulos suman$180^{\circ}$. Por lo tanto, los ángulos de base no pueden ser$92^{\circ}$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Si$\angle A$ y$\angle B$ son complementarios entonces$\angle A\leq 90^{\circ}$. Demuéstralo por contradicción.

Solución

Asumir lo contrario de la conclusión.

$\angle A>90^{\circ}$.

Considere primero que la medida de\ ángulo B no puede ser negativa. Entonces, si$\angle A>90^{\circ}$ esto contradice la definición de complementario, que dice que dos ángulos son complementarios si suman$90^{\circ}$. Por lo tanto,$\angle A\leq 90^{\circ}$.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Si n es un entero y$n^{2}$ es impar, entonces n es impar. Demostrar que esto es cierto indirectamente.

Solución

Primero, supongamos lo contrario de “$n$es impar”.

$n$es parejo.

Ahora, cuadrar$n$ y ver qué pasa.

Si$n$ es par, entonces$n=2a$, donde a es cualquier entero.

$n^{2}=(2a)^{2}=4a^{2}$

Esto quiere decir que$n^{2}$ es un múltiplo de 4. Ningún número impar puede dividirse equitativamente por un número par, por lo que esto contradice nuestra suposición de que$n$ es par. Por lo tanto,$n$ debe ser impar si$n^{2}$ es impar.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Demostrar el Teorema de Desigualdad SSS es cierto por contradicción. (El Teorema de Desigualdad SSS dice: “Si dos lados de un triángulo son congruentes con dos lados de otro triángulo, pero el tercer lado del primer triángulo es más largo que el tercer lado del segundo triángulo, entonces el ángulo incluido de los dos lados congruentes del primer triángulo es mayor en medida que el incluido ángulo de los dos lados congruentes del segundo triángulo.”)

Solución

Primero, supongamos lo contrario de la conclusión.

El ángulo incluido del primer triángulo es menor o igual que el ángulo incluido del segundo triángulo.

Si los ángulos incluidos son iguales entonces los dos triángulos serían congruentes por SAS y los terceros lados serían congruentes por CPCTC. Esto contradice la hipótesis de la afirmación original “el tercer lado del primer triángulo es más largo que el tercer lado del segundo”. Por lo tanto, el ángulo incluido del primer triángulo debe ser mayor que el ángulo incluido del segundo.