2.18: Prueba indirecta en álgebra y geometría
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Pruebas indirectas
Lo más probable es que el primer tipo de prueba formal que aprendiste fue una prueba directa usando razonamiento directo. La mayoría de las pruebas realizadas en geometría se realizan en el formato de dos columnas, que es un formato de prueba directa. Otro tipo común de razonamiento es el razonamiento indirecto, que probablemente hayas hecho fuera de la clase de matemáticas. A continuación aprenderemos formalmente qué es una prueba indirecta y veremos algunos ejemplos tanto en álgebra como en geometría.
Prueba indirecta o prueba por contradicción: Cuando la conclusión de una hipótesis se asume falsa (u opuesta a lo que afirma) y luego se alcanza una contradicción a partir de las declaraciones dadas o deducidas.
Es decir, si estás tratando de demostrar que algo es cierto, demuestra que si no fuera cierto habría una contradicción (algo más no tendría sentido).
Los pasos a seguir al probar indirectamente son:
- Asumir lo contrario de la conclusión (segunda mitad) de la declaración.
- Proceder como si esta suposición fuera cierta para encontrar la contradicción.
- Una vez que hay una contradicción, la afirmación original es cierta.
- NO use ejemplos específicos. Utilizar variables para que la contradicción pueda generalizarse.
La manera más fácil de entender las pruebas indirectas es con el ejemplo.
¿Y si quisieras probar que una declaración era cierta sin una prueba de dos columnas? ¿Cómo podrías hacerlo?
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Si\(x=2\), entonces\(3x−5\neq 10\). Demostrar que esta afirmación es cierta por contradicción.
Solución
Recuerda que en una prueba indirecta lo primero que haces es asumir que la conclusión de la declaración es falsa. En este caso, asumiremos lo contrario de “Si\(x=2\), entonces\(3x−5\neq 10\) “:
Si\(x=2\), entonces\(3x−5=10\).
Toma esta afirmación como verdadera y resuelve para x.
\(\begin{align*} 3x−5 &=10 \\ 3x &=15 \\ x &=5 \end{align*}\)
Pero\(x=5\) contradice la afirmación dada de que\(x=2\). De ahí que nuestra suposición es incorrecta y\(3x−5\neq 10\) es cierta.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Si\ Delta ABC es isósceles, entonces la medida de los ángulos base no puede ser\(92^{\circ}\). Demostrar esto indirectamente.
Solución
Recuerda, para empezar asumir lo contrario de la conclusión.
La medida de los ángulos base son\(92^{\circ}\).
Si los ángulos de la base son\(92^{\circ}\), entonces suman\(184^{\circ}\). Esto contradice el Teorema de la Suma del Triángulo que dice que las tres medidas angulares de todos los triángulos suman\(180^{\circ}\). Por lo tanto, los ángulos de base no pueden ser\(92^{\circ}\).
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Si\(\angle A\) y\(\angle B\) son complementarios entonces\(\angle A\leq 90^{\circ}\). Demuéstralo por contradicción.
Solución
Asumir lo contrario de la conclusión.
\(\angle A>90^{\circ}\).
Considere primero que la medida de\ ángulo B no puede ser negativa. Entonces, si\(\angle A>90^{\circ}\) esto contradice la definición de complementario, que dice que dos ángulos son complementarios si suman\(90^{\circ}\). Por lo tanto,\(\angle A\leq 90^{\circ}\).
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Si n es un entero y\(n^{2}\) es impar, entonces n es impar. Demostrar que esto es cierto indirectamente.
Solución
Primero, supongamos lo contrario de “\(n\)es impar”.
\(n\)es parejo.
Ahora, cuadrar\(n\) y ver qué pasa.
Si\(n\) es par, entonces\(n=2a\), donde a es cualquier entero.
\(n^{2}=(2a)^{2}=4a^{2}\)
Esto quiere decir que\(n^{2}\) es un múltiplo de 4. Ningún número impar puede dividirse equitativamente por un número par, por lo que esto contradice nuestra suposición de que\(n\) es par. Por lo tanto,\(n\) debe ser impar si\( n^{2}\) es impar.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Demostrar el Teorema de Desigualdad SSS es cierto por contradicción. (El Teorema de Desigualdad SSS dice: “Si dos lados de un triángulo son congruentes con dos lados de otro triángulo, pero el tercer lado del primer triángulo es más largo que el tercer lado del segundo triángulo, entonces el ángulo incluido de los dos lados congruentes del primer triángulo es mayor en medida que el incluido ángulo de los dos lados congruentes del segundo triángulo.”)
Solución
Primero, supongamos lo contrario de la conclusión.
El ángulo incluido del primer triángulo es menor o igual que el ángulo incluido del segundo triángulo.
Si los ángulos incluidos son iguales entonces los dos triángulos serían congruentes por SAS y los terceros lados serían congruentes por CPCTC. Esto contradice la hipótesis de la afirmación original “el tercer lado del primer triángulo es más largo que el tercer lado del segundo”. Por lo tanto, el ángulo incluido del primer triángulo debe ser mayor que el ángulo incluido del segundo.
Revisar
Demostrar que las siguientes afirmaciones son verdaderas indirectamente.
- Si\(n\) es un entero y\(n^{2}\) es par, entonces n es par.
- Si\(m\angle A\neq m\angle B\) en\(\Delta ABC\), entonces no\(\Delta ABC\) es equilátero.
- Si\(x>3\), entonces\(x^{2}>9\).
- Los ángulos de base de un triángulo isósceles son congruentes.
- Si\(x\) es par y\(y\) es impar, entonces\(x+y\) es impar.
- En\(\Delta ABE\), si\(\angle A\) es un ángulo recto, entonces\( \angle B\) no puede ser obtuso.
- Si\(A\),\(B\), y\(C\) son colineales, entonces\(AB+BC=AC\) (Postulado de Adición de Segmento).
- Si\(\Delta ABC\) es equilátero, entonces la medida de los ángulos base no puede ser\(72^{\circ}\).
- Si\(x=11\) entonces\(2x−3\neq 21\).
- Si\( \Delta ABC\) es un triángulo rectángulo, entonces no puede tener longitudes laterales 3, 4 y 6.
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 5.8.
Recursos adicionales
Video: Prueba indirecta en álgebra y ejemplos de geometría - Básico
Actividades: Prueba indirecta en álgebra y geometría Preguntas de discusión
Ayudas de estudio: Guía de estudio de tipos de razonamiento
Práctica: Prueba indirecta en álgebra y geometría
Mundo real: Evidencia contradictoria