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Geometría
3: Líneas
3.9: Líneas paralelas en el plano de coordenadas

3.9: Líneas paralelas en el plano de coordenadas

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Líneas con la misma pendiente que nunca se cruzan.

Las líneas paralelas son dos líneas que nunca se cruzan. En el plano de coordenadas, eso se vería así:

F-D_3ceeb0ba9414cc883c09344f3559186ae97bd2434e1d67cdfe4483d5+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{1}\)

Si echamos un vistazo más de cerca a estas dos líneas, las pendientes son ambas\(\dfrac{2}{3}\).

Esto puede generalizarse a cualquier par de líneas paralelas. Las líneas paralelas siempre tienen la misma pendiente y diferentes\(y\) −intercepciones.

¿Y si te dieran dos líneas paralelas en el plano de coordenadas? ¿Qué podrías decir de sus pistas?

Video

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentra la ecuación de la línea que es paralela\(y=\dfrac{1}{4}x+3\) y que pasa por ella\((8, -7)\).

Solución

Sabemos que las líneas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que la línea tendrá una pendiente de\(dfrac{1}{4}\). Ahora, tenemos que encontrar el\(y\) −intercept. Enchufe 8 para x y -7 para resolver\(y\) para el nuevo\(y\) −intercept (b).

\(\begin{align*}−7=\dfrac{1}{4} (8)+b \\ −7&=2+b \\ −9 &=b \end{align*}\)

La ecuación de la línea paralela es\(y=\dfrac{1}{4}x−9\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

¿Son las líneas\(3x+4y=7\) y\(y=\dfrac{3}{4} x+1\) paralelas?

Solución

Primero necesitamos reescribir la primera ecuación en forma de pendiente-intercepción.

\(\begin{align*}3x+4y &=7 \\ 4y &=−3x+7 \\ y &=−\dfrac{3}{4}x+\dfrac{7}{4} \end{align*}\).

La pendiente de esta línea es\(−\dfrac{3}{4}\) mientras que la pendiente de la otra línea es\(\dfrac{3}{4}\). Debido a que las pendientes son diferentes las líneas no son paralelas.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra la ecuación de la línea que es paralela\(y=−\dfrac{1}{3} x+4\) y que pasa por ella\((9, -5)\).

Solución

Recordemos que la ecuación de una línea es y=mx+b, donde m es la pendiente y b es la\(y\) intersección −. Sabemos que las líneas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que la línea tendrá una pendiente de −13. Ahora, tenemos que encontrar el\(y\) −intercept. Enchufe 9 para\(x\) y -5 para resolver\(y\) para el nuevo\(y\) −intercept (b).

\(\begin{align*}−5&=−\dfrac{1}{3} (9)+b \\ −5&=−3+b \\−2&=b\end{align*}\)

La ecuación de línea paralela es\(y=−\dfrac{1}{3} x−2\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra la ecuación de las líneas a continuación y determina si son paralelas.

f-d_38dddf73576d1db57503d88e4e7d53ef9e5a222daa943706d3ed39c8+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{2}\)

Solución

La línea superior tiene un\(y\) −intercept de 1. A partir de ahí, usa “subir sobre carrera” para encontrar la pendiente. Desde el\(y\) −intercept, si subes 1 y más 2, vuelves a golpear la línea,\(m=\dfrac{1}{2}\). La ecuación es\(y=\dfrac{1}{2} x+1\).

Para la segunda línea, el\(y\) −intercept es -3. La “subida” es 1 y la “carrera” es 2 haciendo la pendiente\(\dfrac{1}{2}\). La ecuación de esta línea es\(y=\dfrac{1}{2} x−3\).

Las líneas son paralelas porque tienen la misma pendiente.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Encuentra la ecuación de la línea que es paralela a la línea a través del punto marcado con un punto azul.

f-d_f0bd89659d33ec8f1e5b8818076c5def893454eb65bf21b79a0d1ad5+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{3}\)

Solución

Primero, observe que la ecuación de la línea es\(y=2x+6\) y el punto es\((2, -2)\). El paralelo tendría la misma pendiente y pasaría a través\((2, -2)\).

\(\begin{align*}y &=2x+b \\ −2 &=2(2)+b \\ −2&=4+b \\−6&=b \end{align*}\)

La ecuación de la línea paralela es\(y=2x+−6\).

Revisar

Determina si cada par de líneas son paralelas. Después, grafica cada par en el mismo conjunto de ejes.

\(y=4x−2\)y\(y=4x+5\)
\(y=−x+5\)y\(y=x+1\)
\(5x+2y=−4\)y\(5x+2y=8\)
\(x+y=6\)y\(4x+4y=−16\)

Determinar la ecuación de la línea que es paralela a la línea dada, a través del punto dado.

\(y=−5x+1; (−2,3)\)
\(y=\dfrac{2}{3}x−2; (9,1)\)
\(x−4y=12; (−16,−2)\)
\(3x+2y=10; (8,−11)\)

Encuentra la ecuación de las dos líneas en cada gráfica a continuación. Entonces, determine si las dos líneas son paralelas.

Figura\(\PageIndex{4}\)

Para la línea y el punto de abajo, busque una línea paralela, a través del punto dado.

Figura\(\PageIndex{5}\)
Figura\(\PageIndex{6}\)
Figura\(\PageIndex{7}\)
Figura\(\PageIndex{8}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.8.

El vocabulario

Término	Definición
Paralelo	Dos o más líneas son paralelas cuando se encuentran en el mismo plano y nunca se cruzan. Estas líneas siempre tendrán la misma pendiente.

Recurso Adicional

Elemento Interactivo

Video: Ecuaciones de líneas paralelas y perpendiculares

Actividades: Líneas paralelas en el plano coordinado Preguntas de discusión

Ayudas de estudio: Líneas en el plano de coordenadas

Práctica: Líneas paralelas en el plano de coordenadas

Mundo Real: Líneas Paralelas en el Plano Coordiante