3.9: Líneas paralelas en el plano de coordenadas
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Las líneas paralelas son dos líneas que nunca se cruzan. En el plano de coordenadas, eso se vería así:
Si echamos un vistazo más de cerca a estas dos líneas, las pendientes son ambas\(\dfrac{2}{3}\).
Esto puede generalizarse a cualquier par de líneas paralelas. Las líneas paralelas siempre tienen la misma pendiente y diferentes\(y\) −intercepciones.
¿Y si te dieran dos líneas paralelas en el plano de coordenadas? ¿Qué podrías decir de sus pistas?
Video
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Encuentra la ecuación de la línea que es paralela\(y=\dfrac{1}{4}x+3\) y que pasa por ella\((8, -7)\).
Solución
Sabemos que las líneas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que la línea tendrá una pendiente de\(dfrac{1}{4}\). Ahora, tenemos que encontrar el\(y\) −intercept. Enchufe 8 para x y -7 para resolver\(y\) para el nuevo\(y\) −intercept (b).
\(\begin{align*}−7=\dfrac{1}{4} (8)+b \\ −7&=2+b \\ −9 &=b \end{align*}\)
La ecuación de la línea paralela es\(y=\dfrac{1}{4}x−9\).
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
¿Son las líneas\(3x+4y=7\) y\(y=\dfrac{3}{4} x+1\) paralelas?
Solución
Primero necesitamos reescribir la primera ecuación en forma de pendiente-intercepción.
\(\begin{align*}3x+4y &=7 \\ 4y &=−3x+7 \\ y &=−\dfrac{3}{4}x+\dfrac{7}{4} \end{align*}\).
La pendiente de esta línea es\(−\dfrac{3}{4}\) mientras que la pendiente de la otra línea es\(\dfrac{3}{4}\). Debido a que las pendientes son diferentes las líneas no son paralelas.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Encuentra la ecuación de la línea que es paralela\(y=−\dfrac{1}{3} x+4\) y que pasa por ella\((9, -5)\).
Solución
Recordemos que la ecuación de una línea es y=mx+b, donde m es la pendiente y b es la\(y\) intersección −. Sabemos que las líneas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que la línea tendrá una pendiente de −13. Ahora, tenemos que encontrar el\(y\) −intercept. Enchufe 9 para\(x\) y -5 para resolver\(y\) para el nuevo\(y\) −intercept (b).
\(\begin{align*}−5&=−\dfrac{1}{3} (9)+b \\ −5&=−3+b \\−2&=b\end{align*}\)
La ecuación de línea paralela es\(y=−\dfrac{1}{3} x−2\).
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Encuentra la ecuación de las líneas a continuación y determina si son paralelas.
Solución
La línea superior tiene un\(y\) −intercept de 1. A partir de ahí, usa “subir sobre carrera” para encontrar la pendiente. Desde el\(y\) −intercept, si subes 1 y más 2, vuelves a golpear la línea,\(m=\dfrac{1}{2}\). La ecuación es\(y=\dfrac{1}{2} x+1\).
Para la segunda línea, el\(y\) −intercept es -3. La “subida” es 1 y la “carrera” es 2 haciendo la pendiente\(\dfrac{1}{2}\). La ecuación de esta línea es\(y=\dfrac{1}{2} x−3\).
Las líneas son paralelas porque tienen la misma pendiente.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Encuentra la ecuación de la línea que es paralela a la línea a través del punto marcado con un punto azul.
Solución
Primero, observe que la ecuación de la línea es\(y=2x+6\) y el punto es\((2, -2)\). El paralelo tendría la misma pendiente y pasaría a través\((2, -2)\).
\(\begin{align*}y &=2x+b \\ −2 &=2(2)+b \\ −2&=4+b \\−6&=b \end{align*}\)
La ecuación de la línea paralela es\(y=2x+−6\).
Revisar
Determina si cada par de líneas son paralelas. Después, grafica cada par en el mismo conjunto de ejes.
- \(y=4x−2\)y\(y=4x+5\)
- \(y=−x+5\)y\(y=x+1\)
- \(5x+2y=−4\)y\(5x+2y=8\)
- \(x+y=6\)y\(4x+4y=−16\)
Determinar la ecuación de la línea que es paralela a la línea dada, a través del punto dado.
- \(y=−5x+1; (−2,3)\)
- \(y=\dfrac{2}{3}x−2; (9,1)\)
- \(x−4y=12; (−16,−2)\)
- \(3x+2y=10; (8,−11)\)
Encuentra la ecuación de las dos líneas en cada gráfica a continuación. Entonces, determine si las dos líneas son paralelas.
-
Figura\(\PageIndex{4}\)
Para la línea y el punto de abajo, busque una línea paralela, a través del punto dado.
-
Figura\(\PageIndex{5}\) -
Figura\(\PageIndex{6}\) -
Figura\(\PageIndex{7}\) -
Figura\(\PageIndex{8}\)
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.8.
El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Paralelo | Dos o más líneas son paralelas cuando se encuentran en el mismo plano y nunca se cruzan. Estas líneas siempre tendrán la misma pendiente. |
Recurso Adicional
Elemento Interactivo
Video: Ecuaciones de líneas paralelas y perpendiculares
Actividades: Líneas paralelas en el plano coordinado Preguntas de discusión
Ayudas de estudio: Líneas en el plano de coordenadas
Práctica: Líneas paralelas en el plano de coordenadas
Mundo Real: Líneas Paralelas en el Plano Coordiante