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Educación Básica
Geometría
3: Líneas
3.9: Líneas paralelas en el plano de coordenadas

3.9: Líneas paralelas en el plano de coordenadas

Última actualización

30 oct 2022
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- 3.8: Ángulos y líneas perpendiculares
- 3.10: Líneas perpendiculares en el plano de coordenadas

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Líneas con la misma pendiente que nunca se cruzan.

Las líneas paralelas son dos líneas que nunca se cruzan. En el plano de coordenadas, eso se vería así:

F-D_3ceeb0ba9414cc883c09344f3559186ae97bd2434e1d67cdfe4483d5+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{1}$

Si echamos un vistazo más de cerca a estas dos líneas, las pendientes son ambas $\dfrac{2}{3}$ .

Esto puede generalizarse a cualquier par de líneas paralelas. Las líneas paralelas siempre tienen la misma pendiente y diferentes $y$ −intercepciones.

¿Y si te dieran dos líneas paralelas en el plano de coordenadas? ¿Qué podrías decir de sus pistas?

Video

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Encuentra la ecuación de la línea que es paralela $y=\dfrac{1}{4}x+3$ y que pasa por ella $(8, -7)$ .

Solución

Sabemos que las líneas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que la línea tendrá una pendiente de $dfrac{1}{4}$ . Ahora, tenemos que encontrar el $y$ −intercept. Enchufe 8 para x y -7 para resolver $y$ para el nuevo $y$ −intercept (b).

$\begin{align*}−7=\dfrac{1}{4} (8)+b \\ −7&=2+b \\ −9 &=b \end{align*}$

La ecuación de la línea paralela es $y=\dfrac{1}{4}x−9$ .

Ejemplo $\PageIndex{2}$

¿Son las líneas $3x+4y=7$ y $y=\dfrac{3}{4} x+1$ paralelas?

Solución

Primero necesitamos reescribir la primera ecuación en forma de pendiente-intercepción.

$\begin{align*}3x+4y &=7 \\ 4y &=−3x+7 \\ y &=−\dfrac{3}{4}x+\dfrac{7}{4} \end{align*}$ .

La pendiente de esta línea es $−\dfrac{3}{4}$ mientras que la pendiente de la otra línea es $\dfrac{3}{4}$ . Debido a que las pendientes son diferentes las líneas no son paralelas.

Ejemplo $\PageIndex{3}$

Encuentra la ecuación de la línea que es paralela $y=−\dfrac{1}{3} x+4$ y que pasa por ella $(9, -5)$ .

Solución

Recordemos que la ecuación de una línea es y=mx+b, donde m es la pendiente y b es la $y$ intersección −. Sabemos que las líneas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que la línea tendrá una pendiente de −13. Ahora, tenemos que encontrar el $y$ −intercept. Enchufe 9 para $x$ y -5 para resolver $y$ para el nuevo $y$ −intercept (b).

$\begin{align*}−5&=−\dfrac{1}{3} (9)+b \\ −5&=−3+b \\−2&=b\end{align*}$

La ecuación de línea paralela es $y=−\dfrac{1}{3} x−2$ .

Ejemplo $\PageIndex{4}$

Encuentra la ecuación de las líneas a continuación y determina si son paralelas.

f-d_38dddf73576d1db57503d88e4e7d53ef9e5a222daa943706d3ed39c8+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{2}$

Solución

La línea superior tiene un $y$ −intercept de 1. A partir de ahí, usa “subir sobre carrera” para encontrar la pendiente. Desde el $y$ −intercept, si subes 1 y más 2, vuelves a golpear la línea, $m=\dfrac{1}{2}$ . La ecuación es $y=\dfrac{1}{2} x+1$ .

Para la segunda línea, el $y$ −intercept es -3. La “subida” es 1 y la “carrera” es 2 haciendo la pendiente $\dfrac{1}{2}$ . La ecuación de esta línea es $y=\dfrac{1}{2} x−3$ .

Las líneas son paralelas porque tienen la misma pendiente.

Ejemplo $\PageIndex{5}$

Encuentra la ecuación de la línea que es paralela a la línea a través del punto marcado con un punto azul.

f-d_f0bd89659d33ec8f1e5b8818076c5def893454eb65bf21b79a0d1ad5+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{3}$

Solución

Primero, observe que la ecuación de la línea es $y=2x+6$ y el punto es $(2, -2)$ . El paralelo tendría la misma pendiente y pasaría a través $(2, -2)$ .

$\begin{align*}y &=2x+b \\ −2 &=2(2)+b \\ −2&=4+b \\−6&=b \end{align*}$

La ecuación de la línea paralela es $y=2x+−6$ .

Revisar

Determina si cada par de líneas son paralelas. Después, grafica cada par en el mismo conjunto de ejes.

$y=4x−2$ y $y=4x+5$
$y=−x+5$ y $y=x+1$
$5x+2y=−4$ y $5x+2y=8$
$x+y=6$ y $4x+4y=−16$

Determinar la ecuación de la línea que es paralela a la línea dada, a través del punto dado.

$y=−5x+1; (−2,3)$
$y=\dfrac{2}{3}x−2; (9,1)$
$x−4y=12; (−16,−2)$
$3x+2y=10; (8,−11)$

Encuentra la ecuación de las dos líneas en cada gráfica a continuación. Entonces, determine si las dos líneas son paralelas.

Figura $\PageIndex{4}$

Para la línea y el punto de abajo, busque una línea paralela, a través del punto dado.

Figura $\PageIndex{5}$
Figura $\PageIndex{6}$
Figura $\PageIndex{7}$
Figura $\PageIndex{8}$

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.8.

El vocabulario

Término	Definición
Paralelo	Dos o más líneas son paralelas cuando se encuentran en el mismo plano y nunca se cruzan. Estas líneas siempre tendrán la misma pendiente.

Recurso Adicional

Elemento Interactivo

Video: Ecuaciones de líneas paralelas y perpendiculares

Actividades: Líneas paralelas en el plano coordinado Preguntas de discusión

Ayudas de estudio: Líneas en el plano de coordenadas

Práctica: Líneas paralelas en el plano de coordenadas

Mundo Real: Líneas Paralelas en el Plano Coordiante

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Recurso Adicional

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