Search

Text Color

Margin Size

Font Type

Enable Dyslexic Font

Inicio
Educación Básica
Geometría
3: Líneas
3.8: Ángulos y líneas perpendiculares

3.8: Ángulos y líneas perpendiculares

Última actualización

30 oct 2022
Guardar como PDF
- 3.7: Ángulos interiores del mismo lado
- 3.9: Líneas paralelas en el plano de coordenadas

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$

$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$

$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$

$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$

$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$

$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$

$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$

$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$

$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$

$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$

$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$

$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$

$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$

$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$

$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$

$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$

$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$

$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$

$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$

$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$

$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$

$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$

$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$

$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$

$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$

$\newcommand{\real}{\mathbb R}$

$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$

$\newcommand{\bcal}{\cal B}$

$\newcommand{\ccal}{\cal C}$

$\newcommand{\scal}{\cal S}$

$\newcommand{\wcal}{\cal W}$

$\newcommand{\ecal}{\cal E}$

$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$

$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$

$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$

$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$

$\newcommand{\row}{\text{Row}}$

$\newcommand{\col}{\text{Col}}$

$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$

$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$

$\newcommand{\var}{\text{Var}}$

$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$

$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$

$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$

$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$

$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$

$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$

$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$

$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$

$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$

$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$

$\newcommand{\lt}{<}$

$\newcommand{\gt}{>}$

$\newcommand{\amp}{&}$

$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Líneas que se cruzan a 90 grados o ángulo recto.

Dos líneas son perpendiculares cuando se cruzan para formar un $90^{\circ}$ ángulo. Abajo, $l\perp \overline{AB}$ .

F-D_8125409784124bab9c2c0fceb926ed757b6e3ba610cca07d5a1d6342+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{1}$

En la definición de perpendicular se utiliza la palabra “línea”. Sin embargo, los segmentos de línea, rayos y planos también pueden ser perpendiculares. La siguiente imagen muestra dos planos paralelos, con un tercer plano azul que es perpendicular a ambos.

f-d_5854c70c8c90f356282e7a92d61625096e87ff939ae22f3638b65479+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{2}$

Datos básicos sobre las líneas perpendiculares

Teorema #1: Si $l\parallel m$ y $n\perp l$ , entonces $n\perp m$ .

f-d_d2c6aa2ac725d0e31f44eb383da6b059f9c2673048f4cc002fe66e7c+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{3}$

Teorema #2: Si $l\perp n$ y $n\perp m$ , entonces $l\parallel m$ .

Postulado: Para cualquier línea y un punto que no esté en la línea, hay una línea perpendicular a esta línea que pasa por el punto. Hay infinitamente muchas líneas que pasan por ellas $A$ , pero sólo una que es perpendicular a $l$ .

f-d_e4a15e358672ae2a892ede6e8122b6027c16964db04faf18af887512+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{5}$

¿Y si te dieran un par de líneas que se cruzan entre sí en $90^{\circ}$ ángulo? ¿Qué terminología usaría para describir tales líneas?

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Determinar la medida de $\angle 1$ .

f-d_32ac4d177c20bfb1bba068795dde896762fb82d8471b8ef957336e8f+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{6}$

Solución

Sabemos que ambas líneas paralelas son perpendiculares a la transversal.

$m\angle 1=90^{\circ}$ .

Ejemplo $\PageIndex{2}$

Encuentra $m\angle 1$ .

f-d_bd4feefa1f3cdc2e90d654bd3bdc943f84602023d479ee8e02278d3c+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{7}$

Solución

Los dos ángulos adyacentes se suman a $90^{\circ}$ , entonces $l\perp m$ .

$m\angle 1=90^{\circ}$

porque es un ángulo vertical con respecto al par de ángulos adyacentes y los ángulos verticales son congruentes.

Ejemplo $\PageIndex{3}$

¿Cuál de los siguientes es el mejor ejemplo de líneas perpendiculares: Latitud en un globo, lados opuestos de un marco de fotos, postes de cercas o lados adyacentes de un marco de fotos?

Solución

El mejor ejemplo serían los lados adyacentes de un marco de fotos. Recuerda que adyacente significa al lado y compartir un vértice. Los lados adyacentes de un marco de fotos se encuentran en $90^{\circ}$ ángulo y por lo tanto estos lados son perpendiculares.

Ejemplo $\PageIndex{4}$

¿Es $\overleftrightarrow{SO} \perp \overrightarrow{GD}$ ?

f-d_fd71597669ae3a94dfc5dd3f05f09e51c17232305cd2aa7bd907957a+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{8}$

Solución

$\angle OGD\cong \angle SGD$ y los ángulos forman un par lineal. Esto significa que ambos ángulos son $90^{\circ}$ , por lo que las líneas son perpendiculares.

Ejemplo $\PageIndex{5}$

Escribir una prueba de 2 columnas para probar el Teorema #1. Nota: Es necesario comprender los ángulos correspondientes para poder entender esta prueba. Si aún no has aprendido los ángulos correspondientes, asegúrate de revisar primero ese concepto, o saltarte este ejemplo por ahora.

Dado: $l\parallel m$ , $l\perp n$

Demostrar: $n\perp m$

f-d_430720902eEde3308265bc4feb427740745e0c596d766a38a6fc468e+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{9}$

Solución

*Declaración*	*Razón*
1. $l\parallel m$ , $l\perp n$	1. Dado
2. $\angle 1$ , $\angle 2$ , $\angle 3$ , y $\angle 4 are right angles$	2. Definición de líneas perpendiculares
3. $m\angle 1=90^{\circ}$	3. Definición de un ángulo recto
4. $m\angle 1=m\angle 5$	4. Postulado de ángulos correspondientes
5. $m\angle 5=90^{\circ}$	5. Transitivo $PoE$
6. $m\angle 6=m\angle 7=90^{\circ}$	6. Pares Lineales Congruentes
7. $m\angle 8=\(90^{\circ}$	7. Teorema de ángulos verticales
8. $\angle 5$ , $\angle 6$ $\angle 7$ , y $\angle 8$ son ángulos rectos	8. Definición de ángulo recto
9. $n\perp m$	9. Definición de líneas perpendiculares

Revisar

Utilice la siguiente figura para responder a las preguntas 1-2. Los dos pentágonos son paralelos y todos los lados rectangulares son perpendiculares a ambos.

f-d_dc6bed64085f2a2d510741341c01148f593a03c99081005265f67cee+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{10}$

Enumere un par de líneas perpendiculares.
Porque $\overline{AB}$ , ¿cuántas líneas perpendiculares pasarían por punto $V$ ? Nombra esta (s) línea (s).

Usa la imagen de abajo para la pregunta 3.

f-d_f8e0d0c765e41bd04ca58a5e73cd09555a02a929d06f952cf3e5ddd7+imagen_tiny+imagen_tiny.png — Figura $\PageIndex{11}$

Si $t\perp l$ , ¿es $t\perp m$ ? ¿Por qué o por qué no?

Encuentre la medida de $\angle 1$ para cada problema a continuación.

Figura $\PageIndex{12}$
Figura $\PageIndex{13}$
Figura $\PageIndex{14}$
Figura $\PageIndex{15}$
Figura $\PageIndex{16}$
Figura $\PageIndex{17}$
Figura $\PageIndex{18}$
Figura $\PageIndex{19}$
Figura $\PageIndex{20}$

En las preguntas 13-16, determinar si $l\perp m.$

Figura $\PageIndex{21}$
Figura $\PageIndex{22}$
Figura $\PageIndex{23}$
Figura $\PageIndex{24}$

Rellene los espacios en blanco en el comprobante a continuación.

Dado: $l\perp m$ , $l\perp n$ Demostrar: $m\parallel n$

F-D_45dfccf12527315f6ae801143dfbc7874e08d52822e3202c31c93f3b+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{25}$

*Declaración*	*Razón*
1.	1.
2. $\angle 1$ y $\angle 2$ son ángulos rectos	2.
3.	3. Definición de ángulos rectos
4.	4. Transitivo $PoE$
5. $m\parallel n$	5.

Recursos

El vocabulario

Término	Definición
perpendicular	Dos líneas son *perpendiculares* cuando se cruzan para formar un $90^{\circ}$ ángulo.
Ángulo	Una figura geométrica formada por dos rayos que conectan en un solo punto o vértice.
Líneas perpendiculares	Las líneas perpendiculares son líneas que se cruzan en $90^{\circ}$ ángulo.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Principios de líneas perpendiculares - Básicos

Actividades: Preguntas de discusión de líneas perpendiculares

Ayudas de estudio: Guía de estudio de líneas y ángulos

Práctica: Ángulos y líneas perpendiculares

Mundo real: dando vuelta a las toreras

Datos básicos sobre las líneas perpendiculares

Revisar

Recursos

El vocabulario

Recursos adicionales

Support Center

How can we help?