Loading [MathJax]/extensions/TeX/newcommand.js
Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

6.18: Líneas tangentes

\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } 

\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}

\newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}

\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}} \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}

\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}} \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}

\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}

\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}

\newcommand{\id}{\mathrm{id}}

\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}

\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}

\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}

\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}

\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}

\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}

\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}

\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}

\newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}

\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow

\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow

\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } 

\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} 

\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} 

\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} 

\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}

\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } 

\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}

\newcommand{\avec}{\mathbf a} \newcommand{\bvec}{\mathbf b} \newcommand{\cvec}{\mathbf c} \newcommand{\dvec}{\mathbf d} \newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}} \newcommand{\evec}{\mathbf e} \newcommand{\fvec}{\mathbf f} \newcommand{\nvec}{\mathbf n} \newcommand{\pvec}{\mathbf p} \newcommand{\qvec}{\mathbf q} \newcommand{\svec}{\mathbf s} \newcommand{\tvec}{\mathbf t} \newcommand{\uvec}{\mathbf u} \newcommand{\vvec}{\mathbf v} \newcommand{\wvec}{\mathbf w} \newcommand{\xvec}{\mathbf x} \newcommand{\yvec}{\mathbf y} \newcommand{\zvec}{\mathbf z} \newcommand{\rvec}{\mathbf r} \newcommand{\mvec}{\mathbf m} \newcommand{\zerovec}{\mathbf 0} \newcommand{\onevec}{\mathbf 1} \newcommand{\real}{\mathbb R} \newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]} \newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]} \newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]} \newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]} \newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]} \newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]} \newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]} \newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]} \newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]} \newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}} \newcommand{\bcal}{\cal B} \newcommand{\ccal}{\cal C} \newcommand{\scal}{\cal S} \newcommand{\wcal}{\cal W} \newcommand{\ecal}{\cal E} \newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}} \newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}} \newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\row}{\text{Row}} \newcommand{\col}{\text{Col}} \renewcommand{\row}{\text{Row}} \newcommand{\nul}{\text{Nul}} \newcommand{\var}{\text{Var}} \newcommand{\corr}{\text{corr}} \newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}} \newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}} \newcommand{\bperp}{\bvec^\perp} \newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}} \newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}} \newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}} \newcommand{\what}{\widehat{\wvec}} \newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}} \newcommand{\lt}{<} \newcommand{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&} \definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}

Líneas perpendiculares al radio dibujado al punto de tangencia.

Teoremas de Línea Tangente

Hay dos teoremas importantes sobre las líneas tangentes.

1. Tangente a un teorema de círculo: Una línea es tangente a un círculo si y solo si la línea es perpendicular al radio dibujado al punto de tangencia.

f-d_a0971fc239dff6d9ba0ec252436a0a84dece6826fabe74ed1aa3f444+image_tiny+image_tiny.png
Figura\PageIndex{1}

\overleftrightarrow{BC}es tangente en el puntoB si y solo si\overleftrightarrow{BC}\perp \overline{AB}.

Este teorema utiliza las palabras “si y solo si”, convirtiéndolo en una declaración bicondicional, lo que significa que lo contrario de este teorema también es cierto.

2. Teorema de dos tangentes: Si se dibujan dos segmentos tangentes a un círculo desde el mismo punto externo, entonces son congruentes.

F-D_14fcbbb368146783d10f3f271012b1165e8b2e432d8abc8c291e944c+imagen_tiny+imagen_tiny.png
Figura\PageIndex{2}

\overline{BC}y\overline{DC} tienenC como punto final y son tangentes;\overline{BC}\cong \overline{DC}.

¿Y si se dibujara una línea fuera de un círculo que pareciera tocar el círculo en un solo punto? ¿Cómo podrías determinar si esa línea era en realidad una tangente?

Ejemplo\PageIndex{1}

Determina si el triángulo de abajo es un triángulo rectángulo.

f-d_ce2c0b86512dc266c82c4ac4b7c56edfe31136f8b9ef60bf1172893d+image_tiny+image_tiny.png
Figura\PageIndex{3}

Solución

Usa el Teorema de Pitágoras. 4\sqrt{10}es el lado más largo, así serác.

Hace

\begin{aligned} 8^2+10^2&= (4\sqrt{10})^2? \\ 64+100&\neq 160\end{aligned}

\Delta ABCno es un triángulo rectángulo. A partir de esto, también encontramos que no\overline{CB} es tangente a\bigodot A.

Ejemplo\PageIndex{2}

SiD yC son los centros yAE es tangente a ambos círculos, encuentraDC.

F-d_1617d3b1028c861a04cddc19d995e14943d47798007fad38e0b099a4+image_tiny+image_tiny.png
Figura\PageIndex{4}

Solución

\overline{AE}\perp \overline{DE}\overline{AE}\perp \overline{AC}y\Delta ABC \sim \Delta DBE por AA Similaridad.

Para encontrarDB, usa el Teorema de Pitágoras.

\begin{aligned} 10^2+24^2&=DB^2 \\ 100+576&=676 \\ DB&=\sqrt{676}=26 \end{aligned}

Para encontrarBC, usa triángulos similares.

\dfrac{5}{10}=\dfrac{BC}{26}\rightarrow BC=13. \: DC=DB+BC=26+13=39

Ejemplo\PageIndex{3}

\overline{CB}es tangente a\bigodot A en el puntoB. EncuentraAC. Reducir cualquier tipo de radicales.

f-d_7db605d5ba0749e9e138a8becd3bfeba5bedd1a4561ccd6355e5c906+image_tiny+imagen_tiny.png
Figura\PageIndex{5}

Solución

\overline{CB}es tangente, así\overline{AB}\perp \overline{CB} y\Delta ABC un triángulo rectángulo. Usa el Teorema de Pitágoras para encontrarAC.

\begin{aligned} 5^2+8^2&=AC^2 \\ 25+64&=AC^2 \\ 89&=AC^2 \\ AC&=\sqrt{89}\end{aligned}

Ejemplo\PageIndex{4}

Usando la respuesta del Ejemplo A anterior, encuentreDC en\bigodot A. Redondee su respuesta a la centésima más cercana.

F-D_99633BA38dbafd08d7442ab8fc5090387b64d0200713ee9645bcbdb5+image_tiny+image_tiny.png
Figura\PageIndex{6}

Solución

\begin{aligned} DC&=AC−AD \\ DC&=\sqrt{89}−5 \approx 4.43 \end{aligned}

Ejemplo\PageIndex{5}

Encuentra el perímetro de\Delta ABC.

f-d_57357abae2dd43ff73b3e6f00306589f2dc9181cef73c05b80c77634+imagen_tiny+imagen_tiny.png
Figura\PageIndex{7}

Solución

AE=AD,EB=BF, yCF=CD. Por lo tanto, el perímetro de

\Delta ABC=6+6+4+4+7+7=34.

\bigodot Gestá inscrito en\Delta ABC. Un círculo se inscribe en un polígono si cada lado del polígono es tangente al círculo.

Revisar

Determinar si el segmento dado es tangente a\bigodot K.

  1. F-D_0A3EC2115D487E67307ECDE6021FAAFD427F7253591D24CC09D06265+Image_Tiny+Image_Tiny.png
    Figura\PageIndex{8}
  2. f-d_efc7896eba8b9ee5499113e8f06ed8bf916de25fccfe8da1cc7df344+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\PageIndex{9}
  3. f-d_ae3338e2f3da916678fbf690b4089d8e47e419aef46114ceee11011f+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\PageIndex{10}

Encuentra el valor de la (s) longitud (s) indicada (s) en\bigodot C. AyB son puntos de tangencia. Simplifica todos los radicales.

  1. f-d_46f5be661ba76992125f859a83710c2b763f83559ddfffa1ddfbb394+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\PageIndex{11}
  2. f-d_cc87b8981383dec8fe40154c5384523e38878fa2fb3c28a6f3ad45f2+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\PageIndex{12}
  3. f-d_93fa2b56c4d4e6b3a4600489bc52ea9c67c87e1aae48d40b18801f52+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\PageIndex{13}
  4. f-d_c21eb973af57adeac906f217fea83793bde094f3bdb0d88690b3ec0c+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\PageIndex{14}
  5. f-d_2ea842b2fdc3b4e96d97f1cb945a1c7d8b1ea16a07e94199eb76d68b+imagen_tiny+imagen_tiny.png
    Figura\PageIndex{15}
  6. f-d_47d14f7070d46874aa6e3008b7e9507d3ae7c9e5246a81defe3484f9+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\PageIndex{16}

AyB son puntos de tangencia para\bigodot C y\bigodot D.

f-d_8e79fb92c98d8ea0e039782ca211671bc23cc0d7e4a2ca5082e648a9+image_tiny+image_tiny.png
Figura\PageIndex{17}
  1. ¿Es\Delta AEC \sim \Delta BED? ¿Por qué?
  2. EncuentraCE.
  3. EncuentraBE.
  4. EncuentraED.
  5. EncontrarBC yAD.

\bigodot Aestá inscrito enBDFH.

f-d_a5ada34d86ef344bb8edfa9c48aec1f4bb5e3c166f912e1bd96bcc89+image_tiny+image_tiny.png
Figura\PageIndex{18}
  1. Encuentra el perímetro deBDFH.
  2. ¿Qué tipo de cuadrilátero esBDFH? ¿Cómo lo sabes?
  3. Dibuja un círculo inscrito en un cuadrado. Si el radio del círculo es 5, ¿cuál es el perímetro de la plaza?
  4. ¿Se puede inscribir un círculo en un rectángulo? Si es así, dibuja. Si no, explique.
  5. Dibuja un triángulo con dos lados tangentes a un círculo, pero el tercer lado no lo es.
  6. ¿Se puede inscribir un círculo en un triángulo obtuso? Si es así, dibuja. Si no, explique.
  7. Rellene los espacios en blanco en la prueba del Teorema de las Dos Tangentes.

Dado:\overline{AB} y\overline{CB} con puntos de tangencia enA yC. \overline{AD}y\overline{DC} son radios.

Demostrar:\overline{AB}\cong \overline{CB}

Declaración Razón
1. 1.
2. \overline{AD}\cong \overline{DC} 2.
3. \overline{DA}\perp \overline{AB}y\overline{DC}\perp \overline{CB} 3.
4. 4. Definición de líneas perpendiculares
5. 5. Conexión de dos puntos existentes
6. \Delta ADBy\Delta DCB son triángulos rectos 6.
7. \overline{DB}\cong\overline{DB} 7.
8. \Delta ABD\cong \Delta CBD 8.
9. \overline{AB}\cong \overline{CB} 9.
  1. Rellene los espacios en blanco, utilizando la prueba de #21.
    1. ABCDes un _____________ (tipo de cuadrilátero).
    2. La línea que conecta el ___________ y el punto externoB __________\angle ABC.
  2. PuntosA,B, yC son puntos de tangencia para los tres círculos tangentes. Explique por qué\overline{AT}\cong \overline{BT}\cong \overline{CT}.
    F-D_08202BA89449389A707B52576F4541B9637BC999DD7CA9BC43F019A1+Image_Tiny+Image_Tiny.png
    Figura\PageIndex{19}

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 9.2.

Recursos

vocabulario

Término Definición
círculo El conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto específico, llamado el centro.
diámetro Un acorde que pasa por el centro del círculo. La longitud de un diámetro es dos veces la longitud de un radio.
punto de tangencia El punto donde la línea tangente toca el círculo.
radio La distancia desde el centro hasta el borde exterior de un círculo.
Tangente La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es un valor que se encuentra dividiendo la longitud del lado opuesto al ángulo dado por la longitud del lado adyacente al ángulo dado.
Teorema de la tangente a un círculo Una línea es tangente a un círculo si y sólo si la línea es perpendicular al radio dibujado al punto de tangencia.
Teorema de dos tangentes El Teorema de Dos Tangentes establece que si se dibujan dos segmentos tangentes a un círculo desde un mismo punto externo, entonces son congruentes.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Principios de Líneas Tangentes - Básicos

Actividades: Preguntas de discusión sobre líneas tangentes

Ayudas de estudio: Propiedades de una guía de estudio circular

Práctica: Líneas tangentes

Mundo real: Swing Rides


This page titled 6.18: Líneas tangentes is shared under a CK-12 license and was authored, remixed, and/or curated by CK-12 Foundation via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.

CK-12 Foundation
LICENSED UNDER
CK-12 Foundation is licensed under CK-12 Curriculum Materials License

Support Center

How can we help?