6.18: Líneas tangentes
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Teoremas de Línea Tangente
Hay dos teoremas importantes sobre las líneas tangentes.
1. Tangente a un teorema de círculo: Una línea es tangente a un círculo si y solo si la línea es perpendicular al radio dibujado al punto de tangencia.

\overleftrightarrow{BC}es tangente en el puntoB si y solo si\overleftrightarrow{BC}\perp \overline{AB}.
Este teorema utiliza las palabras “si y solo si”, convirtiéndolo en una declaración bicondicional, lo que significa que lo contrario de este teorema también es cierto.
2. Teorema de dos tangentes: Si se dibujan dos segmentos tangentes a un círculo desde el mismo punto externo, entonces son congruentes.

\overline{BC}y\overline{DC} tienenC como punto final y son tangentes;\overline{BC}\cong \overline{DC}.
¿Y si se dibujara una línea fuera de un círculo que pareciera tocar el círculo en un solo punto? ¿Cómo podrías determinar si esa línea era en realidad una tangente?
Ejemplo\PageIndex{1}
Determina si el triángulo de abajo es un triángulo rectángulo.

Solución
Usa el Teorema de Pitágoras. 4\sqrt{10}es el lado más largo, así serác.
Hace
\begin{aligned} 8^2+10^2&= (4\sqrt{10})^2? \\ 64+100&\neq 160\end{aligned}
\Delta ABCno es un triángulo rectángulo. A partir de esto, también encontramos que no\overline{CB} es tangente a\bigodot A.
Ejemplo\PageIndex{2}
SiD yC son los centros yAE es tangente a ambos círculos, encuentraDC.

Solución
\overline{AE}\perp \overline{DE}\overline{AE}\perp \overline{AC}y\Delta ABC \sim \Delta DBE por AA Similaridad.
Para encontrarDB, usa el Teorema de Pitágoras.
\begin{aligned} 10^2+24^2&=DB^2 \\ 100+576&=676 \\ DB&=\sqrt{676}=26 \end{aligned}
Para encontrarBC, usa triángulos similares.
\dfrac{5}{10}=\dfrac{BC}{26}\rightarrow BC=13. \: DC=DB+BC=26+13=39
Ejemplo\PageIndex{3}
\overline{CB}es tangente a\bigodot A en el puntoB. EncuentraAC. Reducir cualquier tipo de radicales.

Solución
\overline{CB}es tangente, así\overline{AB}\perp \overline{CB} y\Delta ABC un triángulo rectángulo. Usa el Teorema de Pitágoras para encontrarAC.
\begin{aligned} 5^2+8^2&=AC^2 \\ 25+64&=AC^2 \\ 89&=AC^2 \\ AC&=\sqrt{89}\end{aligned}
Ejemplo\PageIndex{4}
Usando la respuesta del Ejemplo A anterior, encuentreDC en\bigodot A. Redondee su respuesta a la centésima más cercana.

Solución
\begin{aligned} DC&=AC−AD \\ DC&=\sqrt{89}−5 \approx 4.43 \end{aligned}
Ejemplo\PageIndex{5}
Encuentra el perímetro de\Delta ABC.

Solución
AE=AD,EB=BF, yCF=CD. Por lo tanto, el perímetro de
\Delta ABC=6+6+4+4+7+7=34.
\bigodot Gestá inscrito en\Delta ABC. Un círculo se inscribe en un polígono si cada lado del polígono es tangente al círculo.
Revisar
Determinar si el segmento dado es tangente a\bigodot K.
-
Figura\PageIndex{8} -
Figura\PageIndex{9} -
Figura\PageIndex{10}
Encuentra el valor de la (s) longitud (s) indicada (s) en\bigodot C. AyB son puntos de tangencia. Simplifica todos los radicales.
-
Figura\PageIndex{11} -
Figura\PageIndex{12} -
Figura\PageIndex{13} -
Figura\PageIndex{14} -
Figura\PageIndex{15} -
Figura\PageIndex{16}
AyB son puntos de tangencia para\bigodot C y\bigodot D.

- ¿Es\Delta AEC \sim \Delta BED? ¿Por qué?
- EncuentraCE.
- EncuentraBE.
- EncuentraED.
- EncontrarBC yAD.
\bigodot Aestá inscrito enBDFH.

- Encuentra el perímetro deBDFH.
- ¿Qué tipo de cuadrilátero esBDFH? ¿Cómo lo sabes?
- Dibuja un círculo inscrito en un cuadrado. Si el radio del círculo es 5, ¿cuál es el perímetro de la plaza?
- ¿Se puede inscribir un círculo en un rectángulo? Si es así, dibuja. Si no, explique.
- Dibuja un triángulo con dos lados tangentes a un círculo, pero el tercer lado no lo es.
- ¿Se puede inscribir un círculo en un triángulo obtuso? Si es así, dibuja. Si no, explique.
- Rellene los espacios en blanco en la prueba del Teorema de las Dos Tangentes.
Dado:\overline{AB} y\overline{CB} con puntos de tangencia enA yC. \overline{AD}y\overline{DC} son radios.
Demostrar:\overline{AB}\cong \overline{CB}
Declaración | Razón |
---|---|
1. | 1. |
2. \overline{AD}\cong \overline{DC} | 2. |
3. \overline{DA}\perp \overline{AB}y\overline{DC}\perp \overline{CB} | 3. |
4. | 4. Definición de líneas perpendiculares |
5. | 5. Conexión de dos puntos existentes |
6. \Delta ADBy\Delta DCB son triángulos rectos | 6. |
7. \overline{DB}\cong\overline{DB} | 7. |
8. \Delta ABD\cong \Delta CBD | 8. |
9. \overline{AB}\cong \overline{CB} | 9. |
- Rellene los espacios en blanco, utilizando la prueba de #21.
- ABCDes un _____________ (tipo de cuadrilátero).
- La línea que conecta el ___________ y el punto externoB __________\angle ABC.
- PuntosA,B, yC son puntos de tangencia para los tres círculos tangentes. Explique por qué\overline{AT}\cong \overline{BT}\cong \overline{CT}.
Figura\PageIndex{19}
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 9.2.
Recursos
vocabulario
Término | Definición |
---|---|
círculo | El conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto específico, llamado el centro. |
diámetro | Un acorde que pasa por el centro del círculo. La longitud de un diámetro es dos veces la longitud de un radio. |
punto de tangencia | El punto donde la línea tangente toca el círculo. |
radio | La distancia desde el centro hasta el borde exterior de un círculo. |
Tangente | La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es un valor que se encuentra dividiendo la longitud del lado opuesto al ángulo dado por la longitud del lado adyacente al ángulo dado. |
Teorema de la tangente a un círculo | Una línea es tangente a un círculo si y sólo si la línea es perpendicular al radio dibujado al punto de tangencia. |
Teorema de dos tangentes | El Teorema de Dos Tangentes establece que si se dibujan dos segmentos tangentes a un círculo desde un mismo punto externo, entonces son congruentes. |
Recursos adicionales
Elemento Interactivo
Video: Principios de Líneas Tangentes - Básicos
Actividades: Preguntas de discusión sobre líneas tangentes
Ayudas de estudio: Propiedades de una guía de estudio circular
Práctica: Líneas tangentes
Mundo real: Swing Rides