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2.10 Asíntotas Horizontales

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Las asíntotas verticales describen el comportamiento de una función como los valores dex aproximación a un número específico. Las asíntotas horizontales describen el comportamiento de una función como los valores dex volverse infinitamente grandes e infinitamente pequeños. ya que las funciones no pueden tocar asíntotas verticales, ¿tampoco se les permite tocar asíntotas horizontales?

Búsqueda de asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales son un medio para describir el comportamiento final de una función. El comportamiento final esencialmente es una descripción de lo que sucede a cada lado de la gráfica a medida que la función continúa infinitamente hacia la derecha y hacia la izquierda. Al determinar las asíntotas horizontales, es importante considerar tanto el lado derecho como el izquierdo, ya que las asíntotas horizontales no necesariamente serán las mismas en ambos lugares. Considera la función recíproca y observa cómo comox va a la derecha y a la izquierda se aplana a la líneay=0.

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A veces las funciones se aplanan y otras veces las funciones aumentan o disminuyen sin límite. Básicamente hay tres casos.

Caso 1: El grado de numerador es menor que el grado de denominador

El primer caso es que la función se aplana a 0 ya quex se vuelve infinitamente grande o infinitamente pequeña. Esto sucede cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador. El grado está determinado por el mayor exponente dex.

f(x)=2x8+3x2+100x912

Una forma de razonar por qué esto tiene sentido es porque cuandox es un número ridículamente grande entonces la mayoría de las partes de la función apenas tienen ningún impacto. El 100 por ejemplo no es nada en comparación y tampoco lo es el3x2. Los dos términos importantes a comparar sonx8 yx9. El 2 ni siquiera es importante ahora porque six es solo un millón que elx9 será un millón de veces más grande que elx8 y el 2 apenas importa de nuevo. Esencialmente, cuandox se hace lo suficientemente grande, esta función actúa como1x que tiene una asíntota horizontal de0.

Caso 2: El grado de numerador es igual al grado de denominador

Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la asíntota horizontal es igual a la relación de los coeficientes iniciales.

f(x)=6x43x3+12x293x4+144x0.001

Observe como el grado tanto del numerador como del denominador es 4. Esto quiere decir que la asíntota horizontal esy=63=2. Una forma de razonar por qué esto tiene sentido es porque cuandox llega a ser un número muy grande todas las potencias más pequeñas realmente no tendrán mucho impacto. Los mayores contribuyentes son sólo los mayores poderes. Entonces el valor del numerador será aproximadamente el doble que el del denominador. A medida quex se hace aún más grande, entonces la función se acercará aún más a 2.

Caso 3: El grado de numerador es mayor que el grado de denominador

Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, no existe una asíntota horizontal. Debes determinar si la función aumenta o disminuye sin límite tanto en la dirección izquierda como en la derecha.

Vea el siguiente video, enfocándose en las partes sobre asíntotas horizontales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó si a las funciones se les permite tocar sus asíntotas horizontales. Las funciones pueden tocar y pasar por asíntotas horizontales sin límite. Esta es una diferencia entre asíntotas verticales y horizontales. En el cálculo, existen pruebas rigurosas para demostrar que funciones como la del Ejemplo C se acercan arbitrariamente a la asíntota.

Ejemplo 2

Identificar las asíntotas verticales y horizontales de la siguiente función racional.

f(x)=(x2)(4x+3)(x4)(x1)(4x+3)(x6)

Hay factor que cancela que no es ni una asíntota horizontal ni vertical. Las asíntotas verticales ocurren enx=1 yx=6. Para obtener la asíntota horizontal se podría multiplicar metódicamente cada binomio, sin embargo como la mayoría de esos términos no importan, es más eficiente determinar primero las potencias relativas del numerador y el denominador. En este caso ambos resultan ser 3. A continuación determinar el coeficiente de los términos cúbicos solamente. El numerador tendrá4x3 y el denominador tendrá4x3 y así la asíntota horizontal ocurrirá eny=44=1

Ejemplo 3

Describir el comportamiento del extremo derecho de la siguiente función.

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Observe la rapidez con la que se establece esta función de onda de amortiguación. Parece que hay un eje horizontal obvio a la derecha eny=1

Ejemplo 4

Identificar las asíntotas horizontales de la siguiente función.

f(x)=(x3)(x+2)|(x5)|(x1)

Primero note el valor absoluto que rodea uno de los términos en el denominador. Los grados tanto del numerador como del denominador serán 2 lo que significa que la asíntota horizontal ocurrirá en un número. A medida quex se vuelve infinitamente grande, la función es aproximadamente:

f(x)=x2x2

Entonces la asíntota horizontal esy=1 comox se vuelve infinitamente grande.

Por otro lado, a medida quex se vuelve infinitamente pequeña la función es aproximadamente:

f(x)=x2x2

Entonces la asíntota horizontal esy=1 comox se vuelve infinitamente pequeña.

En este caso, no se puede utilizar ciegamente la regla del coeficiente principal porque el valor absoluto cambia el signo.

Ejemplo 5

Identificar las asíntotas horizontales si existen para las siguientes 3 funciones.

1. f(x)=3x672xx6+999

Los grados del numerador y del denominatro son iguales por lo que es la asíntota horizontaly=3.

2. h(x)=ax4+bx3+cx2+dx+efx4+gx3+hx2

Los grados del numerador y el denominador son iguales de nuevo por lo que la asíntota horizontal esy=af

3. g(x)=f(x)h(x)

Comox se pone infinitamente grande,

g(x)=f(x)h(x)=3x672xx6+999ax4+bx3+cx2+dx+efx4+gx3+hx23af=3fa

Cuando estudies el cálculo, aprenderás las técnicas rigurosas que te permiten sentirte más seguro sobre resultados como este.

Revisar

Identificar las asíntotas horizontales, si existen, para las siguientes funciones.

1. f(x)=5x42xx4+32

2. g(x)=3x42x6x4+2

3. h(x)=3x45x8x3+3x4

4. j(x)=2x315xx4+3

5. k(x)=2x53x5x2+3x4+2x7x5

6. f(x)=ax14+bx23+cx12+dx+efx24+gx23+hx21

7. g(x)=(x1)(x+4)|(x2)|(x1)

8. Escribe una función que se ajuste a los siguientes criterios:

  • Asíntotas verticales enx=1 yx=4
  • Ceros a 3 y 5
  • Agujero cuandox=6
  • Aíntota horizontal eny=23

9. Escribe una función que se ajuste a los siguientes criterios:

  • Asíntotas verticales enx=2 yx=2
  • Ceros en 1 y 5
  • Agujero cuandox=3
  • Asintota horizontal eny=1

10. Escribe una función que se ajuste a los siguientes criterios:

  • Asíntotas verticales enx=0 yx=3
  • Ceros en 1 y 2
  • Agujero cuandox=8
  • Asintota horizontal eny=2

11. Escribe una función que se ajuste a los siguientes criterios:

  • Aíntotas verticales a las 2 y 6
  • Cero a 5
  • Agujero cuandox=4
  • Asintota horizontal eny=0

12. Escribe una función que se ajuste a los siguientes criterios:

  • Aíntota vertical a las 4
  • Ceros a 0 y 3
  • Agujero en cuandox=5
  • Sin asíntotas horizontales

Identificar las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones racionales.

13. f(x)=(x5)(2x+1)(x3)(x3)(4x+5)(x6)

14. g(x)=x(x1)(x+3)(x5)3x(x1)(4x+3)

15. h(x)=(x2)(x+3)(x6)(x4)(x+3)2(x+2)


2.10 Asíntotas Horizontales is shared under a CC BY-NC license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.

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