2.8 Ceros de funciones racionales
- Última actualización
- 30 oct 2022
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Los ceros de una función son la colección dex valores donde la altura de la función es cero. ¿Cómo encuentras estos valores para una función racional y qué pasa si el cero resulta ser un agujero?
Encontrar ceros de funciones racionales
Los ceros también se conocen comox -intercepciones, soluciones o raíces de funciones. Son losx valores donde la altura de la función es cero. Para las funciones racionales, es necesario establecer el numerador de la función igual a cero y resolver losx valores posibles. Si se produce un agujero en elx valor, entonces no se considera un cero porque la función no está realmente definida en ese punto.
Tome la siguiente función racional:
f(x)=(x−1)(x+3)(x+3)x+3
Observe cómo uno de losx+3 factores parece cancelar e indicar una discontinuidad removible. A pesar de que hay dosx+3 factores, el único cero ocurre enx=1 y el agujero ocurre en (-3,0).
Mire el video a continuación y concéntrese en la parte de este video que discutex agujeros e intercepciones.
Ejemplos
Anteriormente, se le preguntó cómo encontrar los ceros de una función racional y qué sucede si el cero es un agujero. Para encontrar los ceros de una función racional, establezca el numerador igual a cero y resuelva para losx valores. Cuando un hoyo y un cero ocurren en el mismo punto, el hoyo gana y no hay cero en ese punto.
Cree una función con ceros enx=1,2,3 y agujeros enx=0,4.
Hay un número infinito de funciones posibles que se ajustan a esta descripción porque la función se puede multiplicar por cualquier constante. Una posible función podría ser:
f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)x(x−4)x(x−4)
Tenga en cuenta que 0 y 4 son agujeros porque cancelan.
Identificar los ceros, agujeros ey intercepciones de la siguiente función racional sin graficar.
f(x)=x(x−2)(x−1)(x+1)(x+1)(x+2)(x−1)(x+1)
Los agujeros ocurren enx=−1,1. Para obtener los puntos exactos, estos valores deben ser sustituidos en la función con los factores cancelados.
f(x)=x(x−2)(x+1)(x+2)f(−1)=0,f(1)=−6
Los agujeros son (-1,0);(1,6). Los ceros ocurren enx=0,2,−2. El cero que se supone que ocurre en ya sex=−1 ha demostrado que es un agujero en su lugar.
Identificar las intercepciones y, agujeros y ceros de la siguiente función racional.
f(x)=6x3−7x2−x+2x−1
Después de notar que se produce un posible agujero enx=1 y usando la división polinómica larga en el numerador, debe obtener:
f(x)=(6x2−x−2)⋅x−1x−1
Se produce un agujero en elx=1 que resulta ser el punto (1,3) porque6⋅12−1−2=3.
Lay -intercepción siempre ocurre dondex=0 que resulta ser el punto (0, -2) porquef(0)=−2
Para encontrar losx -intercepts es necesario factorial la parte restante de la función:
(2x+1)(3x−2)
Así los ceros(x -intercepciones) sonx=−12,23.
Identificar los ceros y agujeros de la siguiente función racional.
f(x)=2(x+1)(x+1)(x+1)2(x+1)
El agujero ocurre enx=−1 el que resulta ser un doble cero. El hoyo sigue ganando así que el punto (-1,0) es un hoyo. No hay ceros. La constante 2 delante del numerador y el denominador sirve para ilustrar el hecho de que los escalares constantes no impactan en losx valores ni de los ceros ni de los agujeros de una función.
Revisar
Identificar las intercepciones y agujeros de cada una de las siguientes funciones racionales.
1. f(x)=x3+x2−10x+8x−2
2. g(x)=6x3−17x2−5x+6x−3
3. h(x)=(x+2)(1−x)x−1
4. j(x)=(x−4)(x+2)(x+2)x+2
5. k(x)=x(x−3)(x−4)(x+4)(x+4)(x+2)(x−3)(x+4)
6. f(x)=x(x+1)(x+1)(x−1)(x−1)(x+1)
7. g(x)=x3−x2−x+1x2−1
8. h(x)=4−x2x−2
9. Cree una función con agujeros enx=3,5,9 y ceros enx=1,2.
10. Cree una función con agujeros enx=−1,4 y ceros enx=1.
11. Cree una función con agujeros enx=0,5 y ceros enx=2,3.
12. Cree una función con agujeros enx=−3,5 y ceros enx=4.
13. Cree una función con agujeros enx=−2,6 y ceros enx=0,3.
14. Cree una función con agujeros enx=1,5 y ceros enx=0,6.
15. Cree una función con agujeros enx=2,7 y ceros enx=3.
