6.3: Suma y Diferencia de Identidades
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Con tu conocimiento de ángulos especiales como el seno y el coseno de30∘ y45∘, puedes encontrar el seno y el coseno de15∘, la diferencia de45∘ y30∘, y75∘, la suma de45∘ y30∘. Usando lo
que sabes sobre el círculo unitario y las identidades de suma y diferencia, ¿cómo determinassin15∘ ysin75∘?
Identidades de suma y diferencia
Primer vistazo a la derivación de la identidad de diferencia de coseno:
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
Comience dibujando dos ángulos arbitrariosα yβ. En la imagen de arribaα está el ángulo en rojo yβ es el ángulo en azul. La diferenciaα−β se anota en negro comoθ. La razón por la que hay dos imágenes es porque la imagen de la derecha tiene el mismo ánguloθ en una posición girada. Esto será útil para trabajar porque la longitud de¯AB será la misma que la longitud de¯CD.
¯AB=¯CD√(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2=√(cosθ−1)2+(sinθ−0)2(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2=(cosθ−1)2+(sinθ−0)2
(cosα)2−2cosαcosβ+(cosβ)2+(sinα)2−2sinαsinβ+(sinβ)2=(cosθ−1)2+(sinθ)2
2−2cosαcosβ−2sinαsinβ=(cosθ)2−2cosθ+1+(sinθ)22−2cosαcosβ−2sinαsinβ=1−2cosθ+1−2cosαcosβ−2sinαsinβ=−2cosθcosαcosβ+sinαsinβ=cosθ=cos(α−β)
Se puede utilizar esta identidad para acreditar el coseno de una identidad suma. Primero, comenzar con el coseno de una diferencia y hacer una sustitución. Entonces usa la identidad par/impares.
cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α−β)
Letγ=−β
cosαcos(−γ)+sinαsin(−γ)=cos(α+γ)
cosαcosγ−sinαsinγ=cos(α+γ)
Las pruebas para seno y tangente se dejan a los videos y ejemplos. Se enumeran aquí para su referencia. Se excluyen cotangente, secante y cosecante porque puedes usar identidades recíprocas para obtenerlas una vez que tienes seno, coseno y tangente.
Resumen
- cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
- sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
- tan(α±β)=sin(α±β)cos(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ
El orden de los signos más o menos es importante porque para el coseno de una suma, el signo negativo se usa en el otro lado de la identidad. Esto es lo opuesto al seno de una suma, donde se usa un signo positivo al otro lado de la identidad.
Ejemplos
Anteriormente, se le pidió que evaluarasin15∘ ysin75∘ exactamente sin calculadora. Para ello es necesario utilizar el seno de una diferencia y el seno de una suma.
\ (
\ begin {array} {l}
\ sin\ left (45^ {\ circ} -30^ {\ circ}\ derecha) =\ sin 45^ {\ circ}\ cos 30^ {\ circ} -\ cos 45^ {\ circ}\ sin 30^ {\ circ} =\ frac {\ sqrt {2}} {2}\ cdot\ frac {\ sqrt {2}} {2}\ cdot\ frac {\ sqrt {2}} {3}} {2} -\ frac {\ sqrt {2}} {2}\ cdot\ frac {1} {2} =\ frac {\ sqrt {6} -\ sqrt {2}} {4}\
\\ sin\ izquierda (45^ {\ circ} +30^ {\ circ}\ derecha) =\ sin 45^ {\ circ}\ cos 30^ {\ circ} +\ cos 45^ {\ circ}\ sin 30^ {\ circ} =\ frac {\ sqrt {2}} {2}\ cdot\ frac {\ sqrt {3}} {2} +\ frac {\ sqrt {2}}} {2}\ cdot\ frac {1} {2} =\ frac {\ sqrt {6} +\ sqrt {2}} {4}
\ end {array}
\)
Encuentra el valor exacto detan15∘ sin usar una calculadora.
tan15∘=tan(45∘−30∘)=tan45∘−tan30∘1+tan45∘tan30∘=1−√331+1⋅√33=3−√33+√3
Una solución final no tendrá un radical en el denominador. En este caso multiplicar por el conjugado del denominador eliminará al radical.
=(3−√3)⋅(3−√3)(3+√3)⋅(3−√3)
=(3−√3)29−3
=(3−√3)26
Evalúe la expresión exactamente sin usar una calculadora.
cos50∘cos5∘+sin50∘sin5∘
Una vez que conozcas la forma general de las identidades de suma y diferencia, entonces reconocerás esto como coseno de una diferencia.
cos50∘cos5∘+sin50∘sin5∘=cos(50∘−5∘)=cos45∘=√22
Utilice una identidad de suma o diferencia para encontrar un valor exacto decot(5π12).
Comienza con la definición de cotangente como la inversa de tangente.
cot(5π12)=1tan(5π12)=1tan(9π12−4π12)=1tan(135∘−60∘)=1+tan135∘tan60∘tan135∘−tan60∘=1+(−1)⋅√3(−1)−√3=(1−√3)(−1−√3)=(1−√3)2(−1+√3)⋅(1−√3)=(1−√3)2−(1−3)=(1−√3)22
Demostrar la siguiente identidad:
sin(x−y)sin(x+y)=tanx−tanytanx+tany
Estos son los pasos:
sin(x−y)sin(x+y)=tanx−tanytanx+tanysinxcosy−cosxsinysinxcosy+cosxsiny=sinxcosy−cosxsinysinxcosy+cosxsiny⋅(1cosx⋅cosy)(1cosx⋅cosy)=(sinxcosx⋅cosy)−(cosxsinycosx⋅cosy)(sinxcosxcosx⋅cosy)+(cosxcosx⋅cosy)=tanx−tanytanx+tany=
Revisar
Encuentra el valor exacto para cada expresión usando una identidad de suma o diferencia.
1. cos75∘
2. cos105∘
3. cos165∘
4. sin105∘
5. sec105∘
6. tan75∘
7. Demostrar el seno de una identidad suma.
8. Demostrar la tangente de una identidad de suma.
9. Demostrar la tangente de una identidad de diferencia.
10. Evaluar sin calculadora:cos50∘cos10∘−sin50∘sin10∘.
11. Evaluar sin calculadora:sin35∘cos5∘−cos35∘sin5∘.
12. Evaluar sin calculadora:sin55∘cos5∘+cos55∘sin5∘.
13. Sicosαcosβ=sinαsinβ, entonces, ¿qué es lo quecos(α+β) equivale?
14. Demostrar quetan(x+π4)=1+tanx1−tanx
15. sin(x+π)=−sinxDemuéstralo.