8.8 Regla de Cramer

Ejemplo 1

Anteriormente, le preguntaron sobre soluciones eficientes. Has visto que usar la reducción tradicional de filas para resolver un sistema de ecuaciones puede llevar un tiempo y agotar mucho papel. Eficiencia significa, en parte, requerir menos tiempo y espacio. Si esto fuera todo lo que significaba la eficiencia entonces no tendría sentido resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas usando matrices porque la solución podría encontrarse más rápidamente usando la sustitución. Sin embargo, la otra parte de la eficiencia es minimizar el número de decisiones que se tienen que tomar. Una computadora es muy buena para sumar, restar y multiplicar números, pero no muy buena para decidir si eliminar\(x\) o eliminar\(y\) sería mejor. Es por ello que un algoritmo definido usando matrices y Regla de Cramer es más eficiente.

Ejemplo 2

Representar el siguiente sistema de ecuaciones como una ecuación matricial y resolver usando la Regla de Cramer.

\(\begin{aligned} y-13 &=-3 x \\ x &=19-4 y \end{aligned}\)

Primero escribe cada ecuación en forma estándar.

\(3 x+y=13\)

\(x+4 y=19\)

Después escribe como una matriz de coeficientes multiplicada por una matriz variable igual a una matriz de solución.

\(\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}13 \\ 19\end{array}\right]\)

\(x=\frac{\left|\begin{array}{ll}e & b \\ f & d\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|}=\frac{\left|\begin{array}{ll}13 & 1 \\ 19 & 4\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\right|}=\frac{13 \cdot 4-19 \cdot 1}{3 \cdot 4-1 \cdot 1}=\frac{33}{11}=3\)

\(y=\frac{\left|\begin{array}{ll}3 & 13 \\ 1 & 19\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\right|}=\frac{3 \cdot 19-13}{11}=\frac{44}{11}=4\)

Ejemplo 3

¿Qué es\(y\) igual en el siguiente sistema?

\(x+2 y-z=0\)

\(7 x-0 y+z=14\)

\(0 x+y+z=10\)

Si intentaste resolver esto usando la eliminación, tomaría una página de escritura y reescritura para resolver. La regla de Cramer acelera el proceso de resolución.

\(\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 7 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0 \\ 14 \\ 10\end{array}\right]\)

\(y=\frac{\left|\begin{array}{lll}a & j & c \\ d & k & f \\ g & l & i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right|}=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 7 & 14 & 1 \\ 0 & 10 & 1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 7 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right|}=\frac{14+0+(-70)-0-10-0}{0+0+(-7)-0-1-14}=\frac{-66}{-22}=3\)

Ejemplo 4

Resuelve el siguiente sistema usando la Regla de Cramer.

\(\begin{aligned} 5 x+12 y &=72 \\ 18 x-12 y &=108 \end{aligned}\)

\(x=\frac{\left|\begin{array}{cc}72 & 12 \\ 108 & -12\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}5 & 12 \\ 18 & -12\end{array}\right|}=\frac{72 \cdot(-12)-12 \cdot 108}{5 \cdot(-12)-12 \cdot 18}=\frac{-2160}{-276}=\frac{180}{23}\)

\(y=\frac{\left|\begin{array}{cc}5 & 72 \\ 18 & 108\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}5 & 12 \\ 18 & -12\end{array}\right|}=\frac{5 \cdot 108-72 \cdot 18}{-276}=\frac{-756}{-276}=\frac{63}{23}\)

Ejemplo 5

¿Cuál es el valor de\(z\) en el siguiente sistema?

\(3 x+2 y+z=7\)

\(4 x+0 y+z=6\)

\(6 x-y+0 z=5\)

\(z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}3 & 2 & 7 \\ 4 & 0 & 6 \\ 6 & -1 & 5\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}3 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \\ 6 & -1 & 0\end{array}\right|}=\frac{0+2 \cdot 6 \cdot 6+7 \cdot 4 \cdot(-1)-0-(-1) \cdot 6 \cdot 3-5 \cdot 4 \cdot 2}{0+2 \cdot 1 \cdot 6+1 \cdot 4 \cdot(-1)-0-(-1) \cdot 1 \cdot 3-0}\)

\(=\frac{22}{11}\)

\(=2\)