10.4 Inversos Paramétricos

Has aprendido que una gráfica y su inversa son reflejos unos de otros a través de la línea$y=x$. También has aprendido que para encontrar una inversa algebraicamente, puedes cambiar las$y$ variables$x$ y y resolver para$y$. Las ecuaciones paramétricas en realidad facilitan la búsqueda de inversos porque tanto$x$ las$y$ variables como se basan en una tercera variable$t$. Todo lo que necesitas hacer para encontrar la inversa de un conjunto de ecuaciones paramétricas y cambiar las funciones para$x$ y$y$.

¿La inversa de una función es siempre una función?

Inversaciones de Ecuaciones Paramétricas

Para encontrar la inversa de una ecuación paramétrica se debe cambiar la función de$x$ con la función de$y$. Esto cambiará todos los puntos de$(x, y)$ a$(y, x)$ y también tiene el efecto de reflejar visualmente la gráfica sobre la línea$y=x$.

Similar a las funciones regulares inversas, las inversas de las ecuaciones paramétricas suelen estar restringidas para que también sean funciones. Tome las siguientes ecuaciones paramétricas:

$x=2 t$

$y=t^{2}-4$

Para encontrar y graficar la inversa de la función paramétrica en el dominio$-2<t<2,$ primero cambia las$y$ funciones$x$ y y grafica.

$x=t^{2}-4$

$y=2 t$

La función original se muestra en azul y la inversa se muestra en rojo.

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó si la inversa de una función siempre es una función. La inversa de una función no siempre es una función. Para ver si la inversa de una función será una función, debe realizar la prueba de línea horizontal en la función original. Si la función pasa la prueba de línea horizontal entonces la inversa será una función. Si la función no pasa la prueba de línea horizontal entonces la inversa produce una relación en lugar de una función.

Ejemplo 2

¿Es el punto (4,8) en la siguiente función o su inversa?

$x=2 t^{2}-2$

$y=t^{2}-1$

Trate de resolver para una coincidencia$t$ en la función original.

El punto no satisface la función original. Verifica para ver si satisface la inversa.

El punto satisface la inversa de la función.

Ejemplo 3

Parametrizar la siguiente función y luego graficar la función y su inversa.

$f(x)=x^{2}+x-4$

Para la función original, la parametrización es:

$x=t$

$y=t^{2}+t-4$

La inversa es:

$x=t^{2}+t-4$

$y=t$

Ejemplo 4

Una intersección para dos conjuntos de ecuaciones paramétricas ocurre cuando los puntos existen al mismo$x, y$ y$t$. Encuentra los puntos de intersección de la función y su inverso del Ejemplo 2.

La función parametrizada es:

$x_{1}=t$

$y_{1}=t^{2}+t-4$

La inversa es:

$x_{2}=t^{2}+t-4$

$y_{2}=t$

Para encontrar dónde se cruzan, establecen$x_{1}=x_{2}$$y_{1}=y_{2}$ y resuelven.

$\begin{aligned} t &=t^{2}+t-4 \\ t^{2} &=4 \\ t &=\pm 2 \end{aligned}$

Aún necesitas calcular realmente los puntos de intersección en la gráfica. Se puede decir por la gráfica en Ejemplo$\mathrm{C}$ que parece haber cuatro puntos de intersección. Dado que$t$ puede significar el tiempo, la cuestión de la intersección es más complicada que simplemente superponerse. Significa que los puntos están a la vez$x$ y$y$ coordinan al mismo tiempo. Observe cómo se ven las gráficas cuando$-1.8<t<1.8$

Observe cómo se ven las gráficas$t>2.2$ o$t<-2.2$

Observe cómo cuando se examinan estas gráficas parciales no hay intersección en nada además$t=\pm 2$ y los puntos (2,2) y (-2, -2) Si bien los caminos de las gráficas se cruzan en cuatro lugares, se cruzan al mismo tiempo sólo dos veces.

Ejemplo 5

Identificar dónde se cruza la siguiente función paramétrica con su inversa.

$x=4 t$

$y=t^{2}-16$

$x_{1}=4 t ; y_{1}=t^{2}-16$La inversa es:

$x_{2}=t^{2}-16$

$y_{2}=4 t$

Resuelve para$t$ cuando$x_{1}=x_{2}$ y$y_{1}=y_{2}$.

$\begin{aligned} 4 t &=t^{2}-16 \\ 0 &=t^{2}-4 t-16 \\ t &=\frac{4 \pm \sqrt{16-4 \cdot 1 \cdot(-16)}}{2}=\frac{4 \pm 4 \sqrt{5}}{2}=2 \pm 2 \sqrt{5} \end{aligned}$

Los puntos que corresponden a estos dos tiempos son:

$x=4(2+2 \sqrt{5}), y=(2+2 \sqrt{5})^{2}-16$

$x=4(2-2 \sqrt{5}), y=(2-2 \sqrt{5})^{2}-16$

Revisar

Utilice la función$x=t-4 ; y=t^{2}+2$ para #1 - #3.

1. Encuentra la inversa de la función.

2. ¿El punto (-2,6) vive en la función o su inversa?

3. ¿El punto (0,1) vive en la función o en su inversa?

Utilice la relación$x=t^{2} ; y=4-t$ para$\# 4-\# 6$.

4. Encuentra la inversa de la relación.

5. ¿El punto (4,0) vive de la relación o de su inversa?

6. ¿El punto (0,4) vive de la relación o de su inversa?

Utilice la función$x=2 t+1 ; y=t^{2}-3$ para$\# 7-\# 9$.

7. Encuentra la inversa de la función.

8. ¿El punto (1,5) vive de la función o de su inversa?

9. ¿El punto (9,13) vive en la función o en su inversa?

Utilice la función$x=3 t+14 ; y=t^{2}-2 t$ para$\# 10-\# 11$

10. Encuentra la inversa de la función.

11. Identificar dónde se cruza la función paramétrica con su inversa.

Utilice la relación$x=t^{2} ; y=4 t-4$ para$\# 12-\# 13 .$

12. Encuentra la inversa de la relación.

13. Identificar dónde se cruza la relación con su inversa.

14. Parametrizar$f(x)=x^{2}+x-6$ y luego graficar la función y su inversa.

15. Parametrizar$f(x)=x^{2}+3 x+2$ y luego graficar la función y su inversa.