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10.5 Aplicaciones de Ecuaciones Paramétricas

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    Una función regular tiene la capacidad de graficar la altura de un objeto a lo largo del tiempo. Las ecuaciones paramétricas le permiten graficar realmente la posición completa de un objeto a lo largo del tiempo. Por ejemplo, las ecuaciones paramétricas permiten hacer una gráfica que represente la posición de un punto en una noria. Todos los detalles como la altura del suelo, la dirección y la velocidad de giro se pueden modelar usando las ecuaciones paramétricas.

    ¿Cuál es la ecuación de posición y el gráfico de un punto en una noria que comienza en un punto bajo de 6 pies del suelo, gira en sentido antihorario a una altura de 46 pies del suelo, luego vuelve a bajar a 6 pies en 60 segundos?

    Aplicación de ecuaciones paramétricas

    Existen dos tipos de ecuaciones paramétricas que son típicas en situaciones de la vida real. El primero es

    movimiento circular como se describió en el problema del concepto. El segundo es el movimiento del proyectil.

    Movimiento Circular

    Las ecuaciones paramétricas que describen el movimiento circular tendrán\(x\) y\(y\) como funciones periódicas de seno y coseno. O bien\(x\) será una función sinusoidal y\(y\) será una función coseno o al revés. La mejor manera de idear ecuaciones paramétricas es primero dibujar una imagen del círculo que estás tratando de representar.

    A continuación, es importante señalar el punto de partida, el punto central y la dirección. Ya deberías

    tener las gráficas de seno y coseno memorizadas para que cuando veas un patrón en palabras o como gráfica, puedas identificar lo que ves como\(+\sin ,-\sin ,+\cos ,-\cos\).

    Tomemos el ejemplo dado anteriormente con la Noria que inicia en un punto bajo de 6 pies del suelo, gira en sentido antihorario a una altura de 46 pies del suelo, luego vuelve a bajar a 6 pies en 60 segundos. El componente vertical comienza en un punto bajo de 6, viaja a un punto medio de 26 y luego a una altura de 46 y vuelve a bajar. Este es un patrón - cos. La amplitud del\(-\cos\) es 20 y el desplazamiento vertical es 26. Por último, el periodo es de 60. Puedes usar el periodo para ayudarte a encontrar\(b\).

    \(\begin{aligned} 60 &=\frac{2 \pi}{b} \\ b &=\frac{\pi}{30} \end{aligned}\)

    Así, la parametrización vertical es:

    \(y=-20 \cos \left(\frac{\pi}{30} t\right)+26\)

    La parametrización horizontal se encuentra al notar que los\(x\) valores comienzan en\(0,\) subir para\(20,\) volver a 0, luego bajar a -20, y finalmente volver a 0. Este es un\(+\sin\) patrón con amplitud 20. El periodo es el mismo que con el componente vertical.

    Así, las ecuaciones paramétricas para el punto en la rueda son:

    \(x=20 \sin \left(\frac{\pi}{30} t\right)\)

    \(y=-20 \cos \left(\frac{\pi}{30} t\right)+26\)

    Tenga en cuenta que los componentes horizontales y verticales de las ecuaciones paramétricas son\(x=\) los

    \(y=\)funciones respectivamente o la parametrización horizontal y vertical.

    Movimiento de proyectiles

    El movimiento del proyectil tiene una componente vertical que es cuadrática y una componente horizontal que es lineal. Esto se debe a que hay 3 parámetros que influyen en la posición de un objeto en vuelo: la altura inicial, la velocidad inicial y la fuerza de gravedad. El componente horizontal es independiente del componente vertical. Esto significa que la velocidad horizontal inicial seguirá siendo la velocidad horizontal durante todo el vuelo del objeto.

    Tenga en cuenta que la gravedad,\(g,\) tiene una fuerza de aproximadamente\(-32 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}\) o\(-9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\). Los ejemplos y preguntas de práctica en este concepto usarán pies.

    Si un objeto es lanzado desde el origen a una velocidad de\(v\) entonces tiene componentes horizontales y verticales que se pueden encontrar usando trigonometría básica.

    \(\sin \theta=\frac{v_{V}}{v} \rightarrow v \cdot \sin \theta=v_{V}\)

    \(\cos \theta=\frac{v_{H}}{v} \rightarrow v \cdot \cos \theta=v_{H}\)

    El componente horizontal está básicamente terminado. Los únicos ajustes que se tendrían que hacer son si la ubicación inicial no está en el origen, se agrega viento o si el proyectil viaja hacia la izquierda en lugar de hacia la derecha. Ver Ejemplo A.

    \(x=t \cdot v \cdot \cos \theta\)

    El componente vertical también necesita incluir la gravedad y la altura inicial. El general

    para el componente vertical es:

    \(y=\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}+t \cdot v \cdot \sin \theta+k\)

    La constante\(g\) representa la gravedad,\(t\) representa el tiempo,\(v\) representa la velocidad inicial y\(k\) representa la altura inicial. Explorarás esta ecuación más a fondo en cálculo y física. Tenga en cuenta que en este concepto, la mayoría de las respuestas se encontrarán y confirmarán utilizando tecnología como su calculadora gráfica.

    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Se lanza una pelota desde el punto (30,5) en un ángulo de\(\frac{4 \pi}{9}\) a la izquierda a una velocidad inicial de\(68 \mathrm{ft} / \mathrm{s}\). Modele la posición de la pelota a lo largo del tiempo usando ecuaciones paramétricas. Usa tu calculadora gráfica para graficar tus ecuaciones durante los primeros cuatro segundos mientras la pelota está en el aire.

    El componente horizontal es\(x=-t \cdot 68 \cdot \cos \left(\frac{4 \pi}{9}\right)+30\). Anote el signo negativo porque el objeto está viajando hacia la izquierda y el +30 porque el objeto comienza en (30,5).

    El componente vertical es\(y=\frac{1}{2} \cdot(-32) \cdot t^{2}+t \cdot 68 \cdot \sin \left(\frac{4 \pi}{9}\right)+5\). Tenga en cuenta que\(g=-32\) debido a que la gravedad tiene una fuerza de\(-32 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}\) y el +5 porque el objeto comienza en (30,5).

    Ejemplo 2

    ¿Cuándo alcanza su máximo la pelota del Ejemplo 1 y cuándo la pelota golpea el suelo? ¿Hasta dónde tiró la pelota la persona? T

    o encontrar cuando la función alcanza su máximo, se puede encontrar el vértice de la parábola. Analíticamente esto es desordenado debido a los coeficientes decimales en la cuadrática. Usa tu calculadora para aproximar el máximo después de haberlo graficado. Dependiendo de lo pequeño que hagas tu\(T_{\text {step }}\) debes encontrar que la altura máxima sea de unos 75 pies.

    Para saber cuándo la pelota golpea el suelo, puedes establecer el componente vertical igual a cero y resolver la ecuación cuadrática. También puede usar la función de tabla en su calculadora para determinar cuándo la gráfica pasa de tener un valor vertical positivo a un valor vertical negativo. El beneficio de usar la tabla es que simultáneamente te dice el\(x\) valor del cero.

    Después de aproximadamente 4.2588 segundos la pelota golpea el suelo en (-20.29, 0). Esto significa que la persona lanzó la pelota de (30, 5) a (-20.29, 0), una distancia horizontal de poco más de 50 pies.

    Ejemplo 3

    Kieran está en una noria y su posición está modelada por las ecuaciones paramétricas:

    \(x_{K}=10 \cdot \cos \left(\frac{\pi}{5} t\right)\)

    \(y_{K}=10 \cdot \sin \left(\frac{\pi}{5} t\right)+65\)

    Jason lanza la pelota modelada por la ecuación del Ejemplo 1 hacia Kieran que puede atrapar la pelota si se mete dentro de tres pies. ¿Kieran atrapa el balón?

    Esta pregunta está diseñada para demostrar el poder de su calculadora. Si simplemente modelas las dos ecuaciones simultáneamente e ignoras el tiempo verás varios puntos de intersección. Esta gráfica se muestra a continuación a la izquierda. Estos puntos de intersección no son interesantes porque representan dónde están Kieran y el balón en el mismo lugar pero en diferentes momentos en el tiempo.

    Cuando el\(T_{m a x}\) se ajusta a 2.3 para que cada gráfica represente el tiempo de 0 a 2.3, se obtiene una mejor sensación de que a aproximadamente 2.3 segundos los dos puntos están cerca. Esta gráfica se muestra arriba a la derecha.

    Ahora puedes usar tu calculadora para ayudarte a determinar si la distancia entre Kieran y la pelota realmente va por debajo de los 3 pies. Comienza trazando la posición de la pelota en tu calculadora como

    \(x_{1}\)y\(y_{1}\) y la posición de Kieran como\(x_{2}\) y\(y_{2}\). Luego, traza una nueva ecuación paramétrica que compare la distancia entre estos dos puntos a lo largo del tiempo. Puedes poner esto debajo\(x_{3}\) y\(y_{3}\). Una calculadora puede hacer referencia a variables internas como las\(x_{1}, y_{1}\) que ya se han establecido en la memoria de la calculadora para formar nuevas variables como\(x_{3}, y_{3}\). Tenga en cuenta que puede encontrar las\(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}\) entradas en el menú vars y paramétrico.

    \(x_{3}=t\)

    \(y_{3}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)

    Ahora cuando graficas, deberías cambiar la configuración de tu ventana y dejar\(t\) variar entre 0 y\(4,\) la\(x\) ventana mostrar entre 0 y 4 y la\(y\) ventana mostrar entre 0 y De\(5 .\) esta manera debería quedar claro si la distancia realmente llega por debajo de 3 pies.

    Dependiendo de lo preciso que\(T_{\text {step }}\) sea tu, deberías encontrar que la distancia es inferior a 3 pies. Kieran sí atrapa el balón.

    Ejemplo 4

    ¿A qué velocidad hay que lanzar un balón de fútbol en\(45^{\circ}\) ángulo para poder atravesar un campo de fútbol?

    Un campo de fútbol es de 100 yardas o 300 pies. Las ecuaciones paramétricas para un balón de fútbol lanzado desde (300,0) de regreso al origen a velocidad\(v\) son:

    \(x=-t \cdot v \cdot \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+300\)

    \(y=\frac{1}{2} \cdot(-32) \cdot t^{2}+t \cdot v \cdot \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\)

    Sustituir el punto (0,0) por\((x, y)\) produce un sistema de dos ecuaciones con dos variables\(v, t\)

    \(0=-t \cdot v \cdot \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+300\)

    \(0=\frac{1}{2} \cdot(-32) \cdot t^{2}+t \cdot v \cdot \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\)

    Se puede resolver este sistema de muchas maneras diferentes.

    \(t=\frac{5 \sqrt{3}}{2} \approx 4.3\)segundos,\(v=40 \sqrt{6} \approx 97.98 \mathrm{ft} / \mathrm{s}\)

    Para que alguien pueda lanzar un balón de fútbol en\(45^{\circ}\) ángulo todo el camino a través de un campo de fútbol, tendría que lanzar sobre\(98 \mathrm{ft} / \mathrm{s}\) lo que se trata\(66.8 \mathrm{mph}\).

    \(\frac{98 \text { feet }}{1 \text { sec }} \cdot \frac{3600 \text { sec }}{1 \text { hour }} \cdot \frac{1 \text { mile }}{5280 \text { feet }} \approx \frac{66.8 \text { miles }}{1 \text { hour }}\)

    Ejemplo 5

    Nikki se subió a una noria hace diez segundos. Ella comenzó a 2 pies del suelo en el punto más bajo de la rueda y hará un ciclo completo en cuatro minutos. El recorrido alcanza una altura máxima de 98 pies y gira en sentido horario. Escribir ecuaciones paramétricas que modele la posición de Nikki a lo largo del tiempo. ¿Dónde estará Nikki dentro de tres minutos?

    No dejes que la diferencia de 10 segundos te confunda. Para hacer frente a la diferencia de tiempo, use en\(\left(t+\frac{1}{6}\right)\) lugar de\(t\) en cada ecuación. Cuando ya\()\) hayan transcurrido\(t=0,\) diez segundos\(\left(\frac{1}{6}\right.\) de minuto.

    \(x=-48 \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}\left(t+\frac{1}{6}\right)\right)\)

    \(y=-48 \cdot \cos \left(\frac{\pi}{2}\left(t+\frac{1}{6}\right)\right)+50\)

    En\(t=3, x \approx 46.36\) y\(y \approx 37.58\)

    Revisar

    Candice se sube a una noria en su punto más bajo, a 3 pies del suelo. La noria gira

    en el sentido de las agujas del reloj hasta una altura máxima de 103 pies, haciendo un ciclo completo en 5 minutos.

    1. Escribe un conjunto de ecuaciones paramétricas para modelar la posición de Candice.

    2. ¿Dónde estará Candice en dos minutos?

    3. ¿Dónde estará Candice en cuatro minutos?

    Hace un minuto Guillermo se subió a una noria en su punto más bajo, a 3 pies del suelo. El

    La noria gira en el sentido de las agujas del reloj hasta una altura máxima de 83 pies, haciendo un ciclo completo en 6

    minutos.

    4. Escribe un conjunto de ecuaciones paramétricas para modelar la posición de Guillermo.

    5. ¿Dónde estará Guillermo en dos minutos?

    6. ¿Dónde estará Guillermo en cuatro minutos?

    Kim lanza una pelota de (0,5) a la derecha a 50 mph en\(45^{\circ}\) ángulo.

    7. Escribe un conjunto de ecuaciones paramétricas para modelar la posición de la pelota.

    8. ¿Dónde estará la pelota en 2 segundos?

    9. ¿A qué distancia llega la pelota antes de que aterrice?

    David lanza una pelota de (0,7) a la derecha a 70 mph en\(60^{\circ}\) ángulo. Hay un viento de 6 mph

    El favor de David.

    10. Escribe un conjunto de ecuaciones paramétricas para modelar la posición de la pelota.

    11. ¿Dónde estará la pelota en 2 segundos?

    12. ¿A qué distancia llega la pelota antes de que aterrice?

    Supongamos que Riley se para en el punto (250,0) y lanza una pelota de fútbol a 72 mph en un ángulo de\(60^{\circ}\)

    hacia Kristy que está en el origen. Supongamos que Kristy también lanza un balón de futbol hacia Riley a los 65

    mph en un ángulo de\(45^{\circ}\) en el mismo momento exacto. Hay una brisa de 6 mph a favor de Kristy.

    13. Escribe un conjunto de ecuaciones paramétricas para modelar la posición de la pelota de Riley.

    14. Escribe un conjunto de ecuaciones paramétricas para modelar la posición del balón de Kristy.

    15. Grafica ambas funciones y explica cómo sabes que los balones de fútbol no chocan aunque los dos gráficos se crucen.


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