3.1.2: Identidades de cocientes
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Tangente es igual a seno dividido por coseno.
Estás trabajando en clase de matemáticas un día cuando tu amigo se inclina y te pregunta qué tienes para el seno y el coseno de un ángulo particular.
“Tengo12 por el seno, y√32 por el coseno. ¿Por qué?” usted pregunta.
“Parece que se supone que debo calcular la función tangente para el mismo ángulo que acabas de hacer, pero no puedo recordar la relación para tangente. ¿Qué debo hacer?” dice.
¿Sabes cómo puedes ayudar a tu amigo a encontrar la respuesta, aunque tanto tú como él no recuerden la relación por tangente?
Identidades de cocientes
Las definiciones de las funciones trig nos llevaron a las identidades recíprocas, lo que se puede ver en el Concepto sobre ese tema. También nos llevan a otro conjunto de identidades, el cociente de identidades.
Considere primero las funciones seno, coseno y tangente. Para los ángulos de rotación (no necesariamente en el círculo unitario) estas funciones se definen de la siguiente manera:
sinθ=yrcosθ=xrtanθ=yx
Dadas estas definiciones, podemos demostrar quetanθ=sinθcosθ, siempre y cuandocosθ≠0:
sinθcosθ=yrxr=yr×rx=yx=tanθ.
Por lo tanto, la ecuacióntanθ=sinθcosθ es una identidad que podemos usar para encontrar el valor de la función tangente, dado el valor del seno y el coseno.
Echemos un vistazo a algunos problemas que involucran identidades de cocientes.
1. Encuentra el valor detanθ?
Sicosθ=513 ysinθ=1213, ¿cuál es el valor detanθ?
tanθ=125
tanθ=sinθcosθ=1213513=1213×135=125
2. Demostrar quecotθ=cosθsinθ
cosθsinθ=xryr=xr×ry=xy=cotθ
3. ¿Cuál es el valor decotθ?
Sicosθ=725 ysinθ=2425, ¿cuál es el valor decotθ?
cotθ=724
cotθ=cosθsinθ=7252425=725×2524=724
Anteriormente, te preguntaron si puedes ayudar a tu amigo a encontrar la respuesta.
Solución
Desde ahora sabes que:
tanθ=sinθcosθ
puedes usar este conocimiento para ayudar a tu amigo con los valores de seno y coseno que has medido por ti mismo antes:
tanθ=sinθcosθ=12√32=1√3
Sicosθ=17145 ysinθ=144145, ¿cuál es el valor detanθ?
Solución
tanθ=14417. Podemos ver esto a partir de la relación para la función tangente:
tanθ=sinθcosθ=14414517145=144145×14517=14417
Sisinθ=6365 ycosθ=1665, ¿cuál es el valor detanθ?
Solución
tanθ=6316. Podemos ver esto a partir de la relación para la función tangente:
tanθ=sinθcosθ=63651665=6365×6516=6316
Sitanθ=409 ycosθ=941, ¿cuál es el valor desinθ?
Solución
sinθ=4041. Podemos ver esto a partir de la relación para la función tangente:
tanθ=sinθcosθsinθ=(tanθ)(cosθ)sinθ=409×941sinθ=4041
Revisar
Rellena cada pieza en blanco con una función trigonométrica.
- tanθ=sinθ?
- cosθ=sinθ?
- cotθ=?sinθ
- cosθ=(cotθ)⋅(?)
- Sicosθ=513 ysinθ=113, ¿cuál es el valor detanθ?
- Sisinθ=35 ycosθ=45, ¿cuál es el valor detanθ?
- Sicosθ=725 ysinθ=2425, ¿cuál es el valor detanθ?
- Sisinθ=1237 ycosθ=3537, ¿cuál es el valor detanθ?
- Sicosθ=2029 ysinθ=2129, ¿cuál es el valor detanθ?
- Sisinθ=3989 ycosθ=8089, ¿cuál es el valor detanθ?
- Sicosθ=4873 ysinθ=5573, ¿cuál es el valor detanθ?
- Sisinθ=6597 ycosθ=7297, ¿cuál es el valor detanθ?
- Sicosθ=12 ycotθ=√33, ¿cuál es el valor desinθ?
- Sitanθ=0 ycosθ=−1, ¿cuál es el valor desinθ?
- Sicotθ=−1 ysinθ=−√22, ¿cuál es el valor decosθ?
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 1.23.
El vocabulario
Término | Definición |
---|---|
Identidad del cociente | La identidad del cociente es una identidad que relaciona la tangente de un ángulo con el seno del ángulo dividido por el coseno del ángulo. |
Recursos adicionales
Video: El recíproco, el cociente y las identidades pitagóreas