3.1.1: Identidades trigonométricas fundamentales

Las ecuaciones de prueba son verdaderas usando identidades recíprocas, tangentes y otras.

Identidades trigonométricas básicas

Las identidades trigonométricas básicas son aquellas que pueden deducirse lógicamente de las definiciones y gráficas de las seis funciones trigonométricas. Anteriormente, algunas de estas identidades se han utilizado de manera casual, pero ahora se formalizarán y se sumarán a la caja de herramientas de identidades trigonométricas.

¿Cómo se pueden utilizar las identidades trigonométricas para simplificar la siguiente expresión?

\(\left[\dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{2}−\theta ) }{\sin(−\theta )}\right]^{−1}\)

Identidades trigonométricas

Una identidad es una oración matemática que involucra el símbolo “=” que siempre es verdadera para las variables dentro de los dominios de las expresiones de ambos lados.

Identidades recíprocas

Las identidades recíprocas se refieren a las conexiones entre las funciones trigonométricas como seno y cosecante. El seno es opuesto sobre hipotenusa y cosecante es hipotenusa sobre opuesto. Esta lógica produce las siguientes seis identidades.

• \(\sin\theta =\dfrac{1}{\csc\theta}\)
• \(\cos\theta =\dfrac{1}{\sec\theta}\)
• \(\tan\theta =\dfrac{1}{\cot\theta}\)
• \(\cot\theta =\dfrac{1}{\tan\theta}\)
• \(\sec\theta =\dfrac{1}{\cos\theta}\)
• \(\csc\theta =\dfrac{1}{\sin\theta}\)

Identidades de cocientes

Las identidades del cociente se derivan de la definición de seno, coseno y tangente.

• \(\tan\theta =\sin\theta \cos\theta\)
• \(\cot\theta =\cos\theta \sin\theta\)

Identidades impares/impares

Las identidades impares se derivan del hecho de que solo el coseno y su secante recíproco son pares y el resto de las funciones trigonométricas son impares.

• \(\sin(−\theta )=−\sin\theta\)
• \(\cos(−\theta )=\cos\theta\)
• \(\tan(−\theta )=−\tan\theta\)
• \(\cot(−\theta )=−\cot\theta\)
• \(\sec(−\theta )=\sec\theta\)
• \(\csc(−\theta )=−\csc\theta\)

Identidades de cofunción

Las identidades de cofunción hacen la conexión entre funciones trigonométricas y sus contrapartes “co” como seno y coseno. Gráficamente, todas las cofunciones son reflexiones y desplazamientos horizontales entre sí.

• \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\sin\theta\)
• \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\cos\theta\)
• \(\tan\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\cot\theta\)
• \(\cot\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\tan\theta\)
• \(\sec\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\csc\theta\)
• \(\csc\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\sec\theta\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Anteriormente, se le preguntó cómo podría simplificar la expresión trigonométrica:

\(\left[ \dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)}{\sin(−\theta )}\right]^{−1}\)

Solución

Se puede simplificar para que sea equivalente a tangente negativa como se muestra a continuación:

\(\begin{aligned} \left[ \dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{2}−\theta )}{\sin(−\theta )} \right]^{−1}&=\dfrac{\sin(−\theta )}{\sin(\dfrac{\pi}{2}−\theta )} \\&=−\sin\theta \cos\theta \\ &=−\tan\theta\end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Si\(\sin\theta =0.87\), encuentra\(\cos \left(\theta −\dfrac{\pi}{2}\right)\).

Solución

Si bien es posible usar una calculadora para encontrar\ theta, usar identidades también funciona muy bien.

Primero debes factorizar lo negativo del argumento. A continuación debes señalar que el coseno es par y aplicar la identidad impar par para descartar lo negativo en el argumento. Por último, reconocer la identidad de la cofunción.

\(\cos\left(\theta −\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(−\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\sin\theta =0.87\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Si\(\cos \left(\theta −\dfrac{\pi}{2}\right)=0.68\) entonces determinar\(\csc(−\theta )\).

Solución

Es necesario que lo demuestres\(\cos \left(\theta −\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)\).

\(\begin{aligned} 0.68&=\cos \left(\theta −\dfrac{\pi}{2}\right)\\&=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right) \\&=\sin(\theta ) \end{aligned}\)

Entonces,\(\csc(−\theta )=−\csc \theta\)

\(\begin{aligned} &=−\dfrac{1}{\sin\theta} \\ &=−(0.68)^{−1} \approx −1.47\end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Utilizar identidades para probar lo siguiente:\(\cot(−\beta ) \cot \left(\dfrac{\pi}{2}−\beta \right) \sin(−\beta )= \cos \left(\beta −\dfrac{\pi}{2}\right)\).

Solución

Al hacer pruebas trigonométricas, es vital que comiences por un lado y solo trabajes con ese lado hasta derivar lo que está del otro lado. A veces puede ser útil trabajar desde ambos lados y encontrar dónde se encuentran las dos partes, pero esta obra no se considera una prueba. Tendrás que reescribir tus pasos para que sigan de un solo lado. En este caso, trabaja con el lado izquierdo y sigue reescribiéndolo hasta que tengas\(\cos \left(\beta −\dfrac{\pi}{2}\right)\).

\(\begin{aligned} \cot(−\beta ) \cot\left(\dfrac{\pi}{2}−\beta \right) \sin(−\beta ) \\ &=−\cot \beta \tan\beta \cdot −\sin\beta \\&=−1\cdot −sin\beta \\&=sin\beta \\&=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−\beta \right) \\&=\cos\left(−\left(\beta −\dfrac{\pi}{2}\right)\right) \\&=\cos\left(\beta −\dfrac{\pi}{2}\right) \end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Demostrar la siguiente identidad trigonométrica trabajando con un solo lado.

\(\cos x\sin x\tan x\cot x\sec x\csc x=1\)

Solución

\(\begin{aligned} \cos x\sin x\tan x\cot x\sec x\csc x &=\cos x\sin x\tan x\cdot \dfrac{1}{\tan x} \cdot \dfrac{1}{\cos x}\cdot \dfrac{1}{\sin x} &=1\end{aligned}\)

Revisar

1. Demostrar la identidad del cociente para cotangente usando seno y coseno.
2. Explicar por qué\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\sin\theta\) usando gráficas y transformaciones.
3. Explique por qué\(\sec \theta =\dfrac{1}{\cos\theta}\).
4. Demostrar eso\(\tan\theta \cdot cot\theta =1\).
5. Demostrar eso\(\sin\theta \cdot \csc\theta =1\).
6. Demostrar eso\(\sin\theta \cdot sec\theta =\tan\theta \).
7. Demostrar eso\(\cos\theta \cdot \csc\theta =\cot\theta \).
8. Si\(\sin\theta =0.81\), ¿qué es\(\sin(−\theta )\)?
9. Si\(\cos\theta =0.5\), ¿qué es\(\cos(−\theta )\)?
10. Si\(\cos\theta =0.25\), ¿qué es\(\sec(−\theta )\)?
11. Si\(\csc\theta =0.7\), ¿qué es\(\sin(−\theta )\)?
12. ¿Cómo se puede saber a partir de una gráfica si una función es par o impar?
13. Demostrar\(\tan x\cdot \sec x\csc x\cdot \cot x=\tan x\).
14. Demostrar\(\sin 2x\cdot \sec x\tan x\cdot \csc x=1\).
15. Demostrar\(\cos x\cdot \tan x=\sin x\).

Reseña (Respuestas)

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El vocabulario

Término	Definición
cofunción	Las cofunciones son funciones que son idénticas a excepción de una reflexión y un desplazamiento horizontal. Los ejemplos incluyen: seno y coseno, tangente y cotangente, secante y cosecante.
incluso	Una función par es una función con una gráfica que es simétrica con respecto al eje y y tiene la propiedad que\(f(−x)=f(x)\).
identidad	Una identidad es una oración matemática que involucra el símbolo “=” que siempre es verdadera para las variables dentro de los dominios de las expresiones de ambos lados.
Función impar	Una función impar es una función con la propiedad que\(f(−x)=−f(x)\). Las funciones impares tienen simetría rotacional sobre el origen.
prueba	Una prueba es una serie de afirmaciones verdaderas que conducen a la aceptación de la verdad de una afirmación más compleja.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Identidades trigonométricas - Descripción general

Práctica: Identidades trigonométricas fundamentales