3.1.6: Identidades de cofunción

Una identidad de cofunción es una relación entre una función trig de un ángulo y otra función trig del complemento de ese ángulo.

Identidades de cofunción y reflexión

Mientras jugas con una pieza triangular del rompecabezas, comienzas a practicar tus habilidades matemáticas para ver qué puedes averiguar al respecto. Te das cuenta de que uno de los ángulos interiores de la pieza del rompecabezas es$30^{\circ}$, y decides calcular las funciones trig asociadas a este ángulo. Inmediatamente quieres calcular el coseno del ángulo, pero solo puedes recordar los valores de tus funciones sinusoidales.

¿Hay alguna manera de utilizar este conocimiento de las funciones sinusoidales para ayudarte en tu cómputo de la función coseno para$30^{\circ}$?

En un triángulo rectángulo, puedes aplicar lo que se llama “identidades de cofunción”. Estas se llaman identidades de cofunción porque las funciones tienen valores comunes. Estas identidades se resumen a continuación.

\ (\ begin {array} {rr}
\ sin\ theta=\ cos\ izquierda (90^ {\ circ} -\ theta\ derecha) &\ cos\ theta=\ sin\ izquierda (90^ {\ circ} -\ theta\ derecha)\\
\ tan\ theta=\ cot\ izquierda (90^ {\ circ} -\ theta\ derecha) &\ cuna\ theta=\ tan\ izquierda (90^ {\ circ} -\ theta\ derecha)
\ end {array}\)

Echemos un vistazo a algunos problemas que involucran identidades de cofunción y reflexión.

1. Encuentra el valor de$\cos 120^{\circ}$.

Debido a que este ángulo tiene un ángulo de referencia de$60^{\circ}$, la respuesta es$\cos 120^{\circ} =−12$.

2. Encuentra el valor de$\ cos(−120^{\circ} )$.

Debido a que este ángulo tiene un ángulo de referencia de$60^{\circ}$, la respuesta es$\cos(−120^{\circ} )= \cos 240^{\circ} =−\dfrac{1}{2}$.

3. Encuentra el valor de$\sin 135^{\circ}$.

Debido a que este ángulo tiene un ángulo de referencia de$45^{\circ}$, la respuesta es$\sin 135^{\circ} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Anteriormente, te preguntaron si hay alguna manera de usar tu conocimiento de las funciones sinusoidales para ayudarte en tu cómputo de la función coseno.

Solución

Como ahora conoces las relaciones de cofunción, puedes usar tu conocimiento de las funciones sinusoidales para ayudarte con el cómputo coseno:

$\cos 30^{\circ} =\sin\left(90^{\circ} −30^{\circ}\right)=\sin(60^{\circ} )=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Encuentra el valor de$\sin 45^{\circ}$ usar una identidad de cofunción.

Solución

El seno de$45^{\circ}$ es igual a$\cos\left(90^{\circ} −45^{\circ} \right)=\cos 45^{\circ} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Encuentra el valor de$\cos 45^{\circ}$ usar una identidad de cofunción.

Solución

El coseno de$45^{\circ}$ es igual a$\sin\left(90^{\circ} −45^{\circ} \right)=\sin 45^{\circ} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Encuentra el valor de$\cos 60^{\circ}$ usar una identidad de cofunción.

Solución

El coseno de$60^{\circ}$ es igual a$\sin\left(90^{\circ} −60^{\circ} \right)=\sin 30^{\circ} =.5$.

Revisar

1. Encontrar un valor$\theta$ para el cual$\sin\theta =\cos15^{\circ}$ es cierto.
2. Encontrar un valor$\theta$ para el cual$\cos\theta =\sin55^{\circ}$ es cierto.
3. Encontrar un valor$\theta$ para el cual$\tan\theta =\cot80^{\circ}$ es cierto.
4. Encontrar un valor$\theta$ para el cual$\cot\theta =\tan30^{\circ}$ es cierto.
5. Usa identidades de cofunción para ayudarte a escribir la expresión$\tan 255^{\circ}$ como función de un ángulo agudo de medida menor que$45^{\circ}$.
6. Usa identidades de cofunción para ayudarte a escribir la expresión$\sin 120^{\circ}$ como función de un ángulo agudo de medida menor que$45^{\circ}$.
7. Usa identidades de cofunción para ayudarte a escribir la expresión$\cos 310^{\circ}$ como función de un ángulo agudo de medida menor que$45^{\circ}$.
8. Usa identidades de cofunción para ayudarte a escribir la expresión$\cot 260^{\circ}$ como función de un ángulo agudo de medida menor que$45^{\circ}$.
9. Usa identidades de cofunción para ayudarte a escribir la expresión$\cos 280^{\circ}$ como función de un ángulo agudo de medida menor que$45^{\circ}$.
10. Usa identidades de cofunción para ayudarte a escribir la expresión$\tan 60^{\circ}$ como función de un ángulo agudo de medida menor que$45^{\circ}$.
11. Usa identidades de cofunción para ayudarte a escribir la expresión$\sin 100^{\circ}$ como función de un ángulo agudo de medida menor que$45^{\circ}$.
12. Usa identidades de cofunción para ayudarte a escribir la expresión$\cos 70^{\circ}$ como función de un ángulo agudo de medida menor que$45^{\circ}$.
13. Usa identidades de cofunción para ayudarte a escribir la expresión$\cot 240^{\circ}$ como función de un ángulo agudo de medida menor que$45^{\circ}$.
14. Usa un triángulo rectángulo para demostrarlo$\sin \theta =\cos(90^{\circ} −\theta )$.
15. Usa las identidades de cofunción seno y coseno para probarlo$\tan(90^{\circ} −\theta )=\cot\theta$.

Reseña (Respuestas)

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El vocabulario

Término	Definición
Identidad de Cofunción	Una identidad de cofunción es una relación entre una función trig de un ángulo y otra función trig del complemento de ese ángulo.

Recursos adicionales

Video: Cofunciones