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10.3: Dos medias poblacionales con desviaciones estándar conocidas

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    153302
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    A pesar de que esta situación no es probable (conocer las desviaciones estándar de la población no es probable), el siguiente ejemplo ilustra pruebas de hipótesis para medias independientes, desviaciones estándar poblacionales conocidas. La distribución muestral para la diferencia entre las medias es normal y ambas poblaciones deben ser normales. La variable aleatoria es\(\bar{X}_{1} - \bar{X}_{2}\). La distribución normal tiene el siguiente formato:

    La distribución normal es:

    \[\bar{X}_{1} - \bar{X}_{2} \sim{N}\left[\mu_{1} - \mu_{2}, \sqrt{\dfrac{(\sigma_{1})^{2}}{n_{1}} + \dfrac{(\sigma_{2})^{2}}{n_{2}}}\right] \label{eq1}\]

    La desviación estándar es:

    \[\sqrt{\dfrac{(\sigma_{1})^{2}}{n_{1}} + \dfrac{(\sigma_{2})^{2}}{n_{2}}}\label{eq2}\]

    El estadístico de prueba (z -score) es:

    \[z = \dfrac{(\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2}) - (\mu_{1} - \mu_{2})}{\sqrt{\dfrac{(\sigma_{1})^{2}}{n_{1}} + \dfrac{(\sigma_{2})^{2}}{n_{2}}}} \label{eq3}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Grupos independientes, desviaciones estándar poblacionales conocidas: Se debe comparar el tiempo medio de duración de dos ceras de piso competidoras. Veinte pisos se asignan aleatoriamente para probar cada cera. Ambas poblaciones tienen una distribución normal. Los datos se registran en la Tabla.

    Cera Muestra Promedio Número de Meses de Duración de Cera para Pisos Desviación estándar poblacional
    1 3 0.33
    2 2.9 0.36

    ¿Los datos indican que la cera 1 es más efectiva que la cera 2? Prueba a un nivel de significancia del 5%.

    Responder

    Se trata de una prueba de dos grupos independientes, dos medias poblacionales, desviaciones estándar poblacionales conocidas.

    Variable aleatoria:\(\bar{X}_{1} - \bar{X}_{2} =\) diferencia en el número medio de meses que duran las ceras de piso competidoras.

    • \(H_{0}: \mu_{1} \leq \mu_{2}\)
    • \(H_{a}: \mu_{1} > \mu_{2}\)

    Las palabras “es más eficaz” dice que la cera 1 dura más que la cera 2, en promedio. “Más largo” es un símbolo “>” y entra en\(H_{a}\). Por lo tanto, se trata de una prueba de cola derecha.

    Distribución para la prueba: Se conocen las desviaciones estándar de la población por lo que la distribución es normal. Usando la ecuación\ ref {eq1}, la distribución es:

    \[\bar{X}_{1} - \bar{X}_{2} \sim{N} \left(0, \sqrt{\dfrac{0.33^{2}}{20} + \dfrac{0.36^{2}}{20}}\right)\]

    Desde\(\mu_{1} \leq \mu_{2}\) entonces\(\mu_{1} - \mu_{2} \leq 0\) y la media para la distribución normal es cero.

    Calcular el\(p\text{-value}\) usando la distribución normal:\(p\text{-value} = 0.1799\)

    Gráfica:

    Esta es una curva de distribución normal con media igual a cero. Los valores 0 y 0.1 están etiquetados en el eje horizontal. Una línea vertical se extiende desde 0.1 hasta la curva. La región bajo la curva a la derecha de la línea está sombreada para representar el valor p = 0.1799.
    Figura 10.3.1.

    \(\bar{X}_{1} - \bar{X}_{2} = 3 – 2.9 = 0.1\)

    Comparar\(\alpha\) y el\(p\text{-value}\):\(\alpha = 0.05\) y\(p\text{-value} = 0.1799\). Por lo tanto,\(\alpha < p\text{-value}\).

    Tomar una decisión: Ya que\(\alpha < p\text{-value}\), no rechace\(H_{0}\).

    Conclusión: Al nivel de significancia del 5%, a partir de los datos de la muestra, no hay evidencia suficiente para concluir que el tiempo promedio de duración de la cera 1 es más largo (la cera 1 es más efectiva) que el tiempo medio de duración de la cera 2.

    Presione STAT. Flecha sobre PRUEBAS y presiona 3:2 -SampzTest. Flecha la flecha hacia Stats y presiona ENTRAR. Flecha hacia abajo e ingresa .33 para sigma1, .36 para sigma2, 3 para la primera media de la muestra, 20 para n1, 2.9 para la segunda media muestral y 20 para n2. Flecha hacia abajo a\(\mu1\): y flecha para\(> \mu_{2}\). Presione ENTER. Flecha hacia abajo para Calcular y presiona ENTRAR. El\(p\text{-value}\) es\(p = 0.1799\) y el estadístico de prueba es 0.9157. Vuelva a hacer el procedimiento, pero en vez de Calcular haga la Dra.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Se deben comparar las medias del número de revoluciones por minuto de dos motores competidores. Treinta motores son asignados aleatoriamente para ser probados. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. En la tabla se muestra el resultado. ¿Los datos indican que el Motor 2 tiene RPM mayores que el Motor 1? Prueba a un nivel de significancia del 5%.

    Motor Promedio del número de RPM de la muestra Desviación estándar poblacional
    1 1,500 50
    2 1,600 60

    Responder

    El\(p\text{-value}\) es casi 0, por lo que rechazamos la hipótesis nula. Hay evidencia suficiente para concluir que el Motor 2 funciona a una RPM más alta que el Motor 1.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Age of Senators

    Un ciudadano interesado quería saber si los senadores demócratas estadounidenses son mayores que los senadores republicanos estadounidenses, en promedio. El 26 de mayo de 2013, la edad media de 30 senadores republicanos seleccionados al azar fue de 61 años 247 días (61.675 años) con una desviación estándar de 10.17 años. La edad media de 30 senadores demócratas seleccionados al azar fue de 61 años 257 días (61.704 años) con una desviación estándar de 9.55 años.

    ¿Los datos indican que los senadores demócratas son mayores que los republicanos, en promedio? Prueba a un nivel de significancia del 5%.

    Responder

    Esta es una prueba de dos grupos independientes, dos medias poblacionales. Se desconocen las desviaciones estándar de la población, pero la suma de los tamaños de muestra es 30 + 30 = 60, que es mayor a 30, por lo que podemos utilizar la aproximación normal a la distribución T de Student. Subíndices: 1: Senadores demócratas 2: Senadores republicanos

    Variable aleatoria:\(\bar{X}_{1} - \bar{X}_{2} =\) diferencia en la edad media de los senadores demócratas y republicanos de Estados Unidos.

    • \(H_{0}: \mu_{1} \leq \mu_{2} H_{0}: \mu_{1} - \mu_{2} \leq 0\)
    • \(H_{a}: \mu_{1} > \mu_{2} H_{a}: \mu_{1} - \mu_{2} > 0\)

    Las palabras “mayor que” se traduce como un símbolo “>” y entra en\(H_{a}\). Por lo tanto, se trata de una prueba de cola derecha.

    Distribución para la prueba: La distribución es la aproximación normal a la t de Student para medias, grupos independientes. Usando la fórmula, la distribución es:\[\bar{X}_{1} - \bar{X}_{2} \sim N\left[0, \sqrt{\dfrac{(9.55)^{2}}{30} + \dfrac{(10.17)^{2}}{30}}\right]\]

    Desde\(\mu_{1} \leq \mu_{2}, \mu_{1} - \mu_{2} \leq 0\) y la media para la distribución normal es cero.

    (Calcular el valor p usando la distribución normal da\(p\text{-value} = 0.4040\))

    Gráfica:

    Esta es una curva de distribución normal con media igual a cero. Una línea vertical a la derecha de cero se extiende desde el eje hasta la curva. La región bajo la curva a la derecha de la línea está sombreada representando el valor p = 0.4955.
    Figura 10.3.2.

    Comparar\(\alpha\) y el\(p\text{-value}\):\(\alpha = 0.05\) y\(p\text{-value} = 0.4040\). Por lo tanto,\(\alpha < p\text{-value}\).

    Tomar una decisión: Ya que\(\alpha < p\text{-value}\), no rechace\(H_{0}\).

    Conclusión: Al nivel de significancia del 5%, a partir de los datos de la muestra, no hay evidencia suficiente para concluir que la edad media de los senadores demócratas es mayor que la edad media de los senadores republicanos.

    Referencias

    1. Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en www.census.gov/prod/cen2010/b... c2010br-02.pdf
    2. Hinduja, Sameer. “Sexting Investigación y Diferencias de Género”. Centro de Investigación Ciberbulling, 2013. Disponible en línea en cyberbullying.us/blog/sexting... r-diferencias/ (consultado el 17 de junio de 2013).
    3. “Usuarios de Teléfonos Inteligentes, Por los Números”. Visualmente, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 17 de junio de 2013).
    4. Smith, Aaron. “El 35% de los adultos estadounidenses poseen un Smartphone”. Pew Internet, 2013. Disponible en línea en www.Pewinternet.org/~/media/f... martphones.pdf (consultado el 17 de junio de 2013).
    5. “Prevalencia de Obesidad Específica por Estado entre Adultos—Estados Unidos, 2007”. MMWR, CDC. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/mmwr/preview/mmwrhtml/mm5728a1.htm (consultado el 17 de junio de 2013).
    6. “Tasas de Crimen en Texas 1960-102". FBI, Informes Uniformes de Delitos, 2013. Disponible en línea en: http://www.disastercenter.com/crime/txcrime.htm (consultado el 17 de junio de 2013).

    Revisar

    Una prueba de hipótesis de dos medias poblacionales a partir de muestras independientes donde se conocen las desviaciones estándar poblacionales tendrá estas características:

    • Variable aleatoria:\(\overline{X}_1−\overline{X}_2 =\) la diferencia de las medias
    • Distribución: distribución normal

    Revisión de Fórmula

    Distribución Normal:

    \[\bar{X}_{1} - \bar{X}_{2} = \sim N\left[\mu_{1} - \mu_{2}, \sqrt{\dfrac{(\sigma_{1})^{2}}{n_{1}} + \dfrac{(\sigma_{2})^{2}}{n_{2}}}\right]\]

    Generalmente\(\mu_{1} - \mu_{2} = 0\).

    Estadística de prueba (z -score):

    \[z = \dfrac{(\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2}) - (\mu_{1} - \mu_{2})}{\sqrt{\dfrac{(\sigma_{1})^{2}}{n_{1}} + \dfrac{(\sigma_{2})^{2}}{n_{2}}}}\]

    Generalmente\(\mu_{1} - \mu_{2} = 0\).

    donde:

    \(\sigma_{1}\)y\(\sigma_{2}\) son las desviaciones estándar poblacionales conocidas. \(n_{1}\)y\(n_{1}\) son los tamaños de muestra. \(\bar{x}_{1}\)y\(\bar{x}_{2}\) son las medias de la muestra. \(\mu_{1}\)y\(\mu_{2}\) son los medios poblacionales


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