3.3: Prueba de hipótesis sobre la media poblacional cuando se desconoce la desviación estándar de la población

Prueba de hipótesis sobre la media poblacional (μ) cuando la desviación estándar de la población (σ) es desconocida

Frecuentemente, se desconoce la desviación estándar poblacional (σ). Podemos estimar la desviación estándar poblacional (σ) con la desviación estándar de la muestra. Sin embargo, el estadístico de prueba ya no seguirá la distribución normal estándar. Debemos confiar en la distribución t del estudiante con n-1 grados de libertad. Debido a que usamos la desviación estándar de la muestra, el estadístico de prueba cambiará de una puntuación Z a una puntuación t.

$$z=\ frac {\ bar {x} -\ mu} {\ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}}}\ largoderrow t =\ frac {\ bar {x} -\ mu} {\ frac {s} {\ sqrt {n}}}\]

Los pasos para una prueba de hipótesis son los mismos que cubrimos en la Sección 2.

• Exponer las hipótesis nulas y alternativas.
• Anotar el nivel de significancia y el valor crítico.
• Calcular el estadístico de prueba.
• Exponer una conclusión.

Al igual que con la prueba de hipótesis de la sección anterior, los datos para esta prueba deben ser de una muestra aleatoria y requiere o bien que la población de la que se extrajo la muestra sea normal o que el tamaño de la muestra sea suficientemente grande (n≥30). Una prueba t es robusta, por lo que pequeñas desviaciones de la normalidad no afectarán adversamente los resultados de la prueba. Dicho esto, si el tamaño de la muestra es menor a 30, siempre es bueno verificar el supuesto de normalidad a través de una gráfica de probabilidad normal.

Todavía tendremos los mismos tres pares de hipótesis nulas y alternativas y todavía podemos usar el enfoque clásico o el enfoque del valor p.

Seleccionar el valor crítico correcto de la tabla de distribución t del estudiante depende de tres factores: el tipo de prueba (hipótesis alternativa unilateral o bilateral), el tamaño de la muestra y el nivel de significancia.

Para una prueba bilateral (hipótesis alternativa “no igual”), el valor crítico (tα/2), se determina por alfa (α), el nivel de significancia, dividido por dos, para tratar la posibilidad de que el resultado pueda ser menor que OR mayor que el valor conocido.

• Si tu nivel de significancia fuera 0.05, usarías la columna 0.025 para encontrar el valor crítico correcto (0.05/2 = 0.025).
• Si tu nivel de significancia fuera 0.01, usarías la columna 0.005 para encontrar el valor crítico correcto (0.01/2 = 0.005).

Para una prueba unilateral (hipótesis alternativa “menor que” o “mayor que”), el valor crítico (tα), está determinado por alfa (α), el nivel de significancia, siendo todo en un lado.

• Si tu nivel de significancia era 0.05, usarías la columna 0.05 para encontrar el valor crítico correcto para una pregunta del lado izquierdo o derecho. Si estás haciendo una pregunta “menos que” (del lado izquierdo, tu valor crítico será negativo. Si estás haciendo una pregunta “mayor que” (pregunta del lado derecho), tu valor crítico será positivo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentre el valor crítico que usaría para probar la afirmación de que μ ≠ 112 con un tamaño de muestra de 18 y un nivel de significancia del 5%.

Solución

En este caso, el valor crítico (\(t_{α/2}\)) sería 2.110. Esta es una pregunta bilateral (≠) así que dividirías alfa por 2 (0.05/2 = 0.025) y bajarías por la columna 0.025 a 17 grados de libertad.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

¿Cuál sería el valor crítico si quisieras probar ese μ < 112 para los mismos datos?

Solución

En este caso, el valor crítico sería 1.740. Esta es una pregunta unilateral (<) por lo que alfa se dividiría por 1 (0.05/1 = 0.05). Bajarías por la columna 0.05 con 17 grados de libertad para obtener el valor crítico correcto.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):A Two-sided Test

En 2005, el nivel medio de pH de la lluvia en un condado del norte de Nueva York fue de 5.41. Un biólogo cree que la acidez de la lluvia ha cambiado. Toma una muestra aleatoria de 11 fechas de lluvia en 2010 y obtiene los siguientes datos. Utilizar un nivel de significancia del 1% para poner a prueba su afirmación.

4.70, 5.63, 5.02, 5.78, 4.99, 5.91, 5.76, 5.54, 5.25, 5.18, 5.01

El tamaño muestral es pequeño y no sabemos nada sobre la distribución de la población, por lo que examinamos una parcela de probabilidad normal. La distribución se ve normal por lo que continuaremos con nuestra prueba.

Figura 14. Una gráfica de probabilidad normal para el Ejemplo 9.

La media muestral es de 5.343 con una desviación estándar muestral de 0.397.

Solución

Paso 1) Exponer las hipótesis nulas y alternativas.

• Ho: μ = 5.41
• H1: μ ≠ 5.41

Paso 2) Exponer el nivel de significancia y el valor crítico.

• Esta es una pregunta de dos caras por lo que alfa se divide por dos.

Figura 15. Las zonas de rechazo para una prueba bilateral.

• t α/2 se encuentra bajando la columna 0.005 con 14 grados de libertad.
• t α/2 = ±3.169.

Paso 3) Calcular el estadístico de prueba.

• El estadístico de prueba es un puntaje t.

$$t=\ frac {\ bar {x} -\ mu} {\ frac {s} {sqrt {n}}}\]

• Para este problema, el estadístico de prueba es

\[t=\frac {5.343-5.41}{\frac {0.397}{\sqrt {11}}} = -0.560\]

Paso 4) Exponer una conclusión.

• Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico.

Figura 16. Los valores críticos para una prueba bilateral cuando α = 0.01.

• El estadístico de prueba no cae en la zona de rechazo.

No lograremos rechazar la hipótesis nula. No tenemos pruebas suficientes que respalden la afirmación de que el pH medio de la lluvia ha cambiado.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\):A One-sided Test

El cadmio, un metal pesado, es tóxico para los animales. Los hongos, sin embargo, son capaces de absorber y acumular cadmio a altas concentraciones. El gobierno ha establecido límites de seguridad para el cadmio en vegetales secos en 0.5 ppm. Los biólogos creen que el nivel medio de cadmio en hongos que crecen cerca de minas de franjas es mayor que el límite recomendado de 0.5 ppm, impactando negativamente a los animales que viven en este ecosistema. Una muestra aleatoria de 51 hongos dio una media muestral de 0.59 ppm con una desviación estándar de la muestra de 0.29 ppm. Utilizar un nivel de significancia del 5% para probar la afirmación de que el nivel medio de cadmio es mayor que el límite aceptable de 0.5 ppm.

El tamaño de la muestra es mayor a 30 por lo que se asegura una distribución normal de las medias.

Solución

Paso 1) Exponer las hipótesis nulas y alternativas.

• Ho: μ = 0.5 ppm
• H1: μ > 0.5 ppm

Paso 2) Exponer el nivel de significancia y el valor crítico.

• Esta es una pregunta del lado derecho así que alfa está todo en la cola derecha.

Figura 17. Zona de rechazo para una prueba del lado derecho.

• t α se encuentra bajando la columna 0.05 con 50 grados de libertad.
• t α = 1.676

Paso 3) Calcular el estadístico de prueba.

• El estadístico de prueba es un puntaje t.

\[t=\frac {\bar {x}-\mu}{\frac {s}{\sqrt {n}}}\]

• Para este problema, el estadístico de prueba es

\[t=\frac {0.59-0.50}{\frac {0.29}{\sqrt {51}}}=2.216\]

Paso 4) Exponer una Conclusión.

• Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico.

Figura 18. Valor crítico para una prueba del lado derecho cuando α = 0.05.

El estadístico de prueba cae en la zona de rechazo. Rechazaremos la hipótesis nula. Tenemos pruebas suficientes para apoyar la afirmación de que el nivel medio de cadmio es mayor que el límite de seguridad aceptable.

PERO, ¿qué pasa si el nivel de significancia cambia a 1%?

El valor crítico se encuentra ahora bajando la columna 0.01 con 50 grados de libertad. El valor crítico es 2.403. El estadístico de prueba es ahora MENOS QUE el valor crítico. El estadístico de prueba no cae en la zona de rechazo. La conclusión va a cambiar. NO contamos con pruebas suficientes que respalden la afirmación de que el nivel medio de cadmio es mayor que el límite de seguridad aceptable de 0.5 ppm.

Nota

El nivel de significancia es la probabilidad que usted, como investigador, establece para decidir si hay suficiente evidencia estadística para sustentar la afirmación alternativa. Se debe establecer antes de que comience el experimento.

Enfoque de valor P

También podemos usar el enfoque del valor p para una prueba de hipótesis sobre la media cuando se desconoce la desviación estándar de la población (σ). Sin embargo, al usar la tabla t de un estudiante, solo podemos estimar el rango del valor p, no un valor específico como cuando se usa la tabla normal estándar. La tabla t del estudiante tiene área (probabilidad) a través de la fila superior de la tabla, con puntajes t en el cuerpo de la tabla.

• Para encontrar el valor p (el área asociada al estadístico de prueba), se iría a la fila con el número de grados de libertad.
• Cruza esa fila hasta encontrar los dos valores entre los que se encuentra tu estadística de prueba, luego sube esas columnas para encontrar el rango estimado para el valor p.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Estimación del valor P a partir de una tabla T de Student

Cuadro 3. Porción de la mesa t del alumno.

Solución

Si tu estadística de prueba es 3.789 con 3 grados de libertad, pasarías por la fila de 3 df. El valor 3.789 cae entre los valores 3.482 y 4.541 en esa fila. Por lo tanto, el valor p está entre 0.02 y 0.01. El valor p será mayor que 0.01 pero menor que 0.02 (0.01<p<0.02).

Conclusión

Si tu nivel de significancia es 5%, rechazarías la hipótesis nula ya que el valor p (0.01-0.02) es menor que alfa (α) de 0.05.

Si tu nivel de significancia es 1%, no lograrías rechazar la hipótesis nula ya que el valor p (0.01-0.02) es mayor que alfa (α) de 0.01.

Los paquetes de software suelen generar valores p. Es fácil usar la Regla de Decisión para responder a tu pregunta de investigación por el método p-value.

Soluciones de Software

Minitab

(refiriéndose al Ex. 12)

T de una muestra

Prueba de mu = 0.5 vs. > 0.5

95% Inferior
N	Media	StDev	SE Media	encuadernado	T	P
51	0.5900	0.2900	0.0406	0.5219	2.22	0.016

Ejemplo adicional: www.youtube.com/ watch? v=WWDSJO4VUSG.

Excel

Excel no ofrece pruebas de hipótesis de 1 muestra.