3.4: Prueba de hipótesis para una proporción poblacional

Prueba de hipótesis para una proporción poblacional (p)

Frecuentemente, el parámetro que estamos probando es la proporción poblacional.

• Estamos estudiando la proporción de árboles con cavidades para hábitat de vida silvestre.
• Necesitamos saber si la proporción de personas que apoyan materiales de construcción ecológicos ha cambiado.
• ¿La proporción de lobos que murieron el año pasado en Yellowstone ha aumentado con respecto al año anterior?

Recordemos que la mejor estimación puntual de p, la proporción poblacional, viene dada por

\[\hat {p} = \dfrac {x}{n}\]

donde x es el número de individuos en la muestra con la característica estudiada y n es el tamaño de la muestra. La distribución muestral de p es aproximadamente normal con una media\(\mu_{\hat {p}} = p\) y una desviación estándar

\[\sigma_{\hat {p}} = \sqrt {\dfrac {p(1-p)}{n}}\]

cuando np (1 — p) ≥10. Podemos usar tanto el enfoque clásico como el enfoque del valor p para las pruebas.

Los pasos para una prueba de hipótesis son los mismos que cubrimos en la Sección 2.

• Indicar las hipótesis nulas y alternativas.
• Indicar el nivel de significancia y el valor crítico.
• Compute el estadístico de prueba.
• Exponer una conclusión.

El estadístico de prueba sigue la distribución normal estándar. Observe que el error estándar (el denominador) usa p en lugar de p, que se utilizó al construir un intervalo de confianza sobre la proporción poblacional. En una prueba de hipótesis, se asume que la hipótesis nula es verdadera, por lo que se utiliza la proporción conocida.

\[ z= \dfrac {\hat {p} - p} {\sqrt {\dfrac {p(1-p)}{n}}}\]

• El valor crítico proviene de la tabla normal estándar, al igual que en la Sección 2. Todavía usaremos los mismos tres pares de hipótesis nulas y alternativas que usamos en las secciones anteriores, pero el parámetro ahora es p en lugar de μ:

• Para una prueba bilateral, alfa se dividirá por 2 dando un valor crítico ± Zα/2.
• Para una prueba del lado izquierdo, alfa estará todo en la cola izquierda dando un valor crítico — Zα.
• Para una prueba del lado derecho, alfa estará todo en la cola derecha dando un valor crítico Zα.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

botánico ha producido una nueva variedad de planta híbrida de soja que es mejor capaz de soportar la sequía que otras variedades. El botánico sabe que la germinación de semillas para las plantas parentales es de 75%, pero no conoce la germinación de semillas para el nuevo híbrido. Prueba la afirmación de que es diferente a las plantas parentales. Para probar esta afirmación, se prueban 450 semillas de la planta híbrida y 321 han germinado. Utilizar un nivel de significancia del 5% para probar esta afirmación de que la tasa de germinación es diferente de 75%.

Solución

Paso 1) Indicar las hipótesis nulas y alternativas.

• Ho: p = 0.75
• H1: p ≠ 0.75

Paso 2) Indicar el nivel de significancia y el valor crítico.

Esta es una pregunta bilateral por lo que alfa se divide por 2.

• Alfa es 0.05 por lo que los valores críticos son ± Zα/2 = ± Z.025.
• Mirar en el lado negativo de la tabla normal estándar, en el cuerpo de valores para 0.025.
• Los valores críticos son ± 1.96.

Paso 3) Calcular el estadístico de prueba.

• El estadístico de prueba es el número de desviaciones estándar que la media muestra es de la media conocida. También es una puntuación Z, al igual que el valor crítico.

\[ z= \dfrac {\hat {p} - p} {\sqrt {\dfrac {p(1-p)}{n}}}\]

• Para este problema, el estadístico de prueba es

\[z=\dfrac {0.713-0.75}{\sqrt {\dfrac {0.75(1-0.75)}{450}}} = -1.81\]

Paso 4) Exponer una conclusión.

• Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico.

Figura 19. Valores críticos para una prueba bilateral cuando α = 0.05.

El estadístico de prueba no cae en la zona de rechazo. No podemos rechazar la hipótesis nula. No contamos con pruebas suficientes que respalden la afirmación de que la tasa de germinación de la planta híbrida es diferente a la de las plantas parentales.

Respondamos a esta pregunta usando el enfoque del valor p. Recuerde, para una hipótesis alternativa bilateral (“no igual”), el valor p es dos veces el área del estadístico de prueba. El estadístico de prueba es -1.81 y queremos encontrar el área a la izquierda de -1.81 de la tabla normal estándar.

• En la página negativa, encuentra el puntaje Z -1.81. Encuentra el área asociada a esta puntuación Z.
• El área = 0.0351.
• Esta es una prueba bilateral así que multiplica el área por 2 para obtener el valor p = 0.0351 x 2 = 0.0702.

Ahora compara el valor p con alfa. La Regla de Decisión establece que si el valor p es menor que alfa, rechace el H0. En este caso, el valor p (0.0702) es mayor que alfa (0.05) por lo que no lograremos rechazar H0. No contamos con pruebas suficientes que respalden la afirmación de que la tasa de germinación de la planta híbrida es diferente a la de las plantas parentales.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

Eres biólogo que estudia el hábitat de vida silvestre en el Bosque Nacional Monongahela. Las cavidades en árboles más viejos proporcionan un excelente hábitat para una variedad de aves y pequeños mamíferos. Un estudio hace cinco años afirmó que 32% de los árboles de este bosque tenían cavidades adecuadas para este tipo de vida silvestre. Usted cree que la proporción de árboles de cavidad ha aumentado. Muestrea 196 árboles y encuentras que 79 árboles tienen cavidades. ¿Esta evidencia respalda su afirmación de que ha habido un incremento en la proporción de árboles de cavidad?

Utilizar un nivel de significancia del 10% para probar esta afirmación.

Solución

Paso 1) Indicar las hipótesis nulas y alternativas.

• Ho: p = 0.32
• H1: p > 0.32

Paso 2) Indicar el nivel de significancia y el valor crítico.

Esta es una pregunta unilateral por lo que alfa se divide por 1.

• Alfa es 0.10 por lo que el valor crítico es Zα = Z .10
• Mirar en el lado positivo de la tabla normal estándar, en el cuerpo de valores para 0.90.
• El valor crítico es 1.28.

Figura 20. Valor crítico para una prueba del lado derecho donde α = 0.10.

Paso 3) Calcular el estadístico de prueba.

• El estadístico de prueba es el número de desviaciones estándar la proporción muestral es de la proporción conocida. También es una puntuación Z, al igual que el valor crítico.

\[ z= \dfrac {\hat {p} - p} {\sqrt {\dfrac {p(1-p)}{n}}}\]

• Para este problema, el estadístico de prueba es:

\[z= \frac {0.403-0.32}{\sqrt {\frac {0.32(1-0.32)}{196}}}=2.49\]

Paso 4) Exponer una conclusión.

• Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico.

Figura 21. Comparación del estadístico de prueba y el valor crítico.

El estadístico de prueba es mayor que el valor crítico (cae en la zona de rechazo). Rechazaremos la hipótesis nula. Tenemos pruebas suficientes para apoyar la afirmación de que ha habido un incremento en la proporción de árboles de cavidad.

Ahora usa el enfoque del valor p para responder a la pregunta. Esta es una pregunta del lado derecho (“mayor que”), por lo que el valor p es igual al área a la derecha del estadístico de prueba. Ir al lado positivo de la tabla normal estándar y encontrar el área asociada a la puntuación Z de 2.49. El área es de 0.9936. Recuerda que esta tabla es acumulativa desde la izquierda. Para encontrar el área a la derecha de 2.49, restamos de uno.

valor p = (1 — 0.9936) = 0.0064

El valor p es menor que el nivel de significancia (0.10), por lo que rechazamos la hipótesis nula. Tenemos pruebas suficientes para apoyar la afirmación de que la proporción de árboles de cavidad ha aumentado.

Soluciones de Software

Minitab

(refiriéndose al Ej. 15)

Prueba e IC para una proporción

Prueba de p = 0.32 vs p > 0.32

90% Inferior
Muestra	X	N	Muestra p	Enatado	Valor Z	Valor P
1	79	196	0.403061	0.358160	2.49	0.006
Usando la aproximación normal.

Excel

Excel no ofrece pruebas de hipótesis de 1 muestra.