3.5: Prueba de Hipótesis sobre una Varianza

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Prueba de hipótesis sobre una varianza

Cuando las personas piensan en la inferencia estadística, suelen pensar en inferencias que involucran medias o proporciones poblacionales. Sin embargo, el parámetro poblacional particular necesario para responder a las preguntas prácticas de un experimentador varía de una situación a otra, y a veces la variabilidad de una población es más importante que su media. Por lo tanto, la calidad del producto a menudo se define en términos de baja variabilidad.

La varianza muestral se $s^2$puede utilizar para inferencias relativas a una varianza poblacional $\sigma^2$. Para una muestra aleatoria de n mediciones extraídas de una población normal con media μ y varianza $\sigma^2$, el valor $s^2$proporciona una estimación puntual para $\sigma^2$. Además, la cantidad$\frac {(n-1)s^2}{\sigma^2}$ sigue una distribución de Chi-cuadrado ($\chi^{2}$), con$df = n – 1$.

Las propiedades de la distribución Chi-cuadrado ($\chi^{2}$) son:

A diferencia de las distribuciones Z y t, los valores en una distribución chi-cuadrada son todos positivos.
La distribución chi-cuadrada es asimétrica, a diferencia de las distribuciones Z y t.
Hay muchas distribuciones de chi-cuadrado. Obtenemos uno particular especificando los grados de libertad$(df = n – 1)$ asociados a las varianzas de la muestra $s^2$.

Figura 22. La distribución chi-cuadrada.

Prueba de una muestra ($\chi^{2}$) para probar las hipótesis:

Hipótesis nula:$H_0: \sigma^{2} = \sigma^{2}_{0}$ (constante)

Hipótesis alternativa:

$H_a: σ^2 > \sigma_{0}^{2}$(de una cola), rechazar$H_0$ si se observa$\chi^2 > \chi_{U}^{2}$ (valor de cola superior en α).
$H_a: σ^2 <\sigma_{0}^{2}$(de una cola), rechazar$H_0$ si se observa$\chi^2 < \chi_{L}^{2}$ (valor de cola inferior en α).
$H_a: σ^2 ≠ \sigma_{0}^{2}$(de dos colas), rechazar$H_0$ si se observa$\chi^2 > \chi_{U}^{2}$ o$\chi^{2} < \chi_{L}^{2}$ en α/2.

donde el valor $\chi^2$crítico en la región de rechazo se basa en grados de libertad$df = n – 1$ y un nivel de significancia especificado de α.

Estadística de prueba: $$\ chi^2 =\ frac {(n-1) S^2} {\ sigma _ {0} ^ {2}}\]

Al igual que en las secciones anteriores, si el estadístico de prueba cae en la zona de rechazo establecida por el valor crítico, rechazarás la hipótesis nula.

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

Un silvicultor quiere controlar un sotobosque denso de arce rayado que está interfiriendo con la regeneración deseable de la madera dura usando un soplador de niebla para aplicar un tratamiento herbicida. Ella quiere asegurarse de que el tratamiento tenga una tasa de aplicación consistente, es decir, baja variabilidad no superior a 0.25 gal. /acre (0.06 gal.2). Recolecta datos de muestra (n = 11) sobre este tipo de soplador de niebla y obtiene una varianza de muestra de 0.064 gal.2 Usando un nivel de significancia del 5%, prueba la afirmación de que la varianza es significativamente mayor a 0.06 gal.2

$H_0: \sigma^{2} = 0.06$

$H_1: \sigma^{2} >0.06$

El valor crítico es 18.307. Cualquier estadística de prueba mayor que este valor provocará que rechaces la hipótesis nula.

El estadístico de prueba es

$$\ chi^2 =\ frac {(n-1) S^2} {\ sigma_ {0} ^ {2}} =\ frac {(11-1) 0.064} {0.06} =10.667\]

No podemos rechazar la hipótesis nula. El silvicultor NO cuenta con evidencia suficiente para sustentar la afirmación de que la varianza es mayor a 0.06 gal.2 También se puede estimar el valor p utilizando el mismo método que para la tabla t de estudiante. Cruza la fila para obtener grados de libertad hasta encontrar los dos valores entre los que se encuentra tu estadística de prueba. En este caso pasando por la fila 10, los dos valores de tabla son 4.865 y 15.987. Ahora sube esas dos columnas a la fila superior para estimar el valor p (0.1-0.9). El valor p es mayor que 0.1 y menor que 0.9. Ambos son mayores que el nivel de significancia (0.05) haciendo que no rechacemos la hipótesis nula.

Soluciones de Software

Minitab

(refiriéndose al Ex. 16)

067_1.tif

067_2.tif

Prueba e IC para una varianza

Método
Hipótesis nula	Sigma-cuadrado	= 0.06
Hipótesis alternativa	Sigma-cuadrado	> 0.06

El método chi-cuadrado es sólo para la distribución normal.

Pruebas

Test
Método	Estadística	DF	Valor P
Chi-Cuadrado	10.67	10	0.384

Excel

Excel no ofrece $\chi^2$pruebas de 1 muestra.

Prueba de hipótesis sobre una varianza

Prueba de una muestra (\(\chi^{2}\)) para probar las hipótesis:

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