La unión e intersección de dos conjuntos

Última actualización

31 oct 2022
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- El complemento de un conjunto
- Notación de conjunto

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Resultados de aprendizaje

Encuentra la unión de dos conjuntos.
Encuentra la intersección de dos conjuntos.
Combina uniones intersecciones y complementos.

Todas las clases de estadística incluyen preguntas sobre probabilidades que involucran la unión e intersecciones de conjuntos. En inglés, usamos las palabras “O”, y “Y” para describir estos conceptos. Por ejemplo, “Encuentra la probabilidad de que un estudiante esté tomando una clase de matemáticas o una clase de ciencias”. Eso es expresar la unión de los dos conjuntos en palabras. “Cuál es la probabilidad de que una enfermera tenga una licenciatura y más de cinco años de experiencia laborando en un hospital”. Eso es expresar la intersección de dos conjuntos. En esta sección aprenderemos a descifrar este tipo de oraciones y aprenderemos sobre el significado de uniones e intersecciones.

Sindicatos

Un elemento está en la unión de dos conjuntos si está en el primer conjunto, el segundo conjunto, o ambos. El símbolo que utilizamos para la unión es $\cup$ . La palabra que a menudo verás que indica un sindicato es “o”.

Ejemplo $\PageIndex{1}$ : Union of Two sets

Dejar:

$A=\left\{2,5,7,8\right\} \nonumber$

$B=\lbrace1,4,5,7,9\rbrace \nonumber$

Encuentra $A\cup B$

Solución

Incluimos en la unión cada número que está en A o está en B:

$A\cup B=\left\{1,2,4,5,7,8,9\right\} \nonumber$

Ejemplo $\PageIndex{2}$ : Union of Two sets

Considera la siguiente frase, “Encuentra la probabilidad de que un hogar tenga menos de 6 ventanas o tenga una docena de ventanas”. Escribe esto en notación de conjuntos como la unión de dos conjuntos y luego escribe esta unión.

Solución

Primero, que A sea el conjunto del número de ventanas que representa “menos de 6 ventanas”. Este conjunto incluye todos los números del 0 al 5:

$A=\left\{0,1,2,3,4,5\right\} \nonumber$

A continuación, que B sea el conjunto del número de ventanas que representa “tiene una docena de ventanas”. Este es solo el conjunto que contiene el único número 12:

$B=\left\{12\right\} \nonumber$

Ya podemos encontrar la unión de estos dos conjuntos:

$A\cup B=\left\{0,1,2,3,4,5,12\right\} \nonumber$

Intersecciones

Un elemento está en la intersección de dos conjuntos si está en el primer conjunto y está en el segundo conjunto. El símbolo que usamos para la intersección es $\cap$ . La palabra que a menudo verás que indica una intersección es “y”.

Ejemplo $\PageIndex{3}$ : Intersection of Two sets

Dejar:

$A=\left\{3,4,5,8,9,10,11,12\right\} \nonumber$

$B=\lbrace5,6,7,8,9\rbrace \nonumber$

Encuentra $A\cap B$ .

Solución

Solo incluimos en la intersección que los números que están tanto en A como en B:

$A\cap B=\left\{5,8,9\right\} \nonumber$

Ejemplo $\PageIndex{4}$ : Intersection of Two sets

Considera la siguiente frase, “Encuentra la probabilidad de que el número de unidades que un estudiante está tomando sea más de 12 unidades y menos de 18 unidades”. Suponiendo que los estudiantes sólo toman un número entero de unidades, escribir esto en notación de conjunto como la intersección de dos conjuntos y luego escribir esta intersección.

Solución

Primero, que A sea el conjunto de números de unidades que representa “más de 12 unidades”. Este conjunto incluye todos los números a partir de 13 y continuando para siempre:

$A=\left\{13,\:14,\:15,\:...\right\} \nonumber$

A continuación, que B sea el conjunto del número de unidades que representa “menos de 18 unidades”. Este es el conjunto que contiene los números del 1 al 17:

$B=\left\{1,\:2,\:3,\:...,\:17\right\} \nonumber$

Ahora podemos encontrar la intersección de estos dos conjuntos:

$A\cap B=\left\{13,\:14,\:15,\:16,\:17\right\} \nonumber$

Combinando Uniones, Intersecciones y Complementos

Uno de los mayores retos en la estadística es descifrar una frase y convertirla en símbolos. Esto puede ser particularmente difícil cuando hay una oración que no tiene las palabras “unión”, “intersección”, o “complemento”, pero sí se refiere implícitamente a estas palabras. La mejor manera de dominar esta habilidad es practicar, practicar y practicar más.

Ejemplo $\PageIndex{5}$

Considera la siguiente frase: “Si rotas un dado de seis lados, encuentra la probabilidad de que no sea parejo y no sea un 3”. Escribe esto en notación de conjunto.

Solución

Primero, que A sea el conjunto de números pares y B sea el conjunto que contenga solo 3. Podemos escribir:

$A=\left\{2,4,6\right\},\:\:\:B\:=\:\left\{3\right\} \nonumber$

A continuación, como queremos “ni siquiera” necesitamos considerar el complemento de A:

$A^c=\left\{1,3,5\right\} \nonumber$

De igual manera ya que queremos “no un 3", necesitamos considerar el complemento de B:

$B^c=\left\{1,2,4,5,6\right\} \nonumber$

Por último, notamos la palabra clave “y”. Así, se nos pide que encontremos:

$A^c\cap B^c=\:\left\{1,3,5\right\}\cap\left\{1,2,4,5,6\right\}=\left\{1,5\right\} \nonumber$

Ejemplo $\PageIndex{6}$

Considera la siguiente frase: “Si seleccionas aleatoriamente a una persona, encuentra la probabilidad de que la persona sea mayor de 8 años o sea menor de 6 y no menor de 3 años”. Escribe esto en notación de conjunto.

Solución

Primero, que A sea el conjunto de personas mayores de 8 años, B sea el conjunto de personas menores de 6 y C sea el conjunto de personas menores de 3 años. Podemos escribir:

$A=\left\{x\mid x>8\right\},\:\:\:B\:=\:\left\{x\mid x<6\right\},\:C=\left\{x\mid x<3\right\} \nonumber$

Se nos pide encontrar

$A\cup\left(B\cap C^c\right) \nonumber$

Obsérvese que el complemento de $<$ "" es " $\ge$ ”. Así:

$C^c=\left\{x\mid x\ge3\right\} \nonumber$

A continuación encontramos:

$B\cap C^c=\left\{x\mid x<6\right\}\cap\left\{x\mid x\ge3\right\}=\left\{x\mid3\le x<6\right\} \nonumber$

Finalmente, encontramos:

$A\cup\left(B\cap C^c\right)=\:\left\{x\mid x>8\right\}\cup\left\{x\mid3\le x<6\right\} \nonumber$

La forma más clara de mostrar esta unión es en una línea numérica. La línea numéricasiguiente muestra la respuesta:

línea numérica 3 a 6 incluyendo 3 no 6 y también 8 y más sin incluir 8

Ejercicio

Supongamos que elegimos a una persona al azar y estamos interesados en encontrar la probabilidad de que el mes de nacimiento de la persona venga después de julio y no venga después de septiembre. Escribe este evento usando notación de conjunto.

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