3.2: Unión, intersección y complemento

Comúnmente conjuntos interactúan. Por ejemplo, tú y un nuevo compañero de cuarto deciden tener una fiesta en casa, y ambos invitan a tu círculo de amigos. En esta fiesta se están combinando dos sets, aunque podría resultar que hay algunos amigos que estaban en ambos sets.

Definición: Unión, intersección y complemento

La unión de dos conjuntos contiene todos los elementos contenidos en cualquiera de los conjuntos (o ambos conjuntos). El sindicato está anotado\(A ⋃ B\). De manera más formal,\(x ∊ A ⋃ B\;\) si\(\;x ∊ A\) o\(x ∊ B\) (o ambos).

La intersección de dos conjuntos contiene sólo los elementos que están en ambos conjuntos. La intersección está anotada\(A ⋂ B\). De manera más formal,\(x ∊ A ⋂ B\;\) si\(\;x ∊ A\) y\(x ∊ B\).

El complemento de un conjunto\(A\) contiene todo lo que no está en el set\(A\). El complemento está anotado\(A’\), o\(A^c\), o a veces ∼\(A\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considera los conjuntos:\(A\) = {rojo, verde, azul}\(B\) = {rojo, amarillo, naranja}\(C\) = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, morado}

Solución

1. Find\(A ⋃ B\) La unión contiene todos los elementos en cualquiera de los conjuntos:\(A ⋃ B\) = {rojo, verde, azul, amarillo, naranja} Observe que solo enumeramos rojo una vez.
2. Buscar\(A ⋂ B\) La intersección contiene todos los elementos en ambos conjuntos:\(A ⋂ B\) = {rojo}
3. Encuentra\(A^c ⋂ C\) Aquí estamos buscando todos los elementos que no están en set\(A\) y también están en\(C\). \(A^c ⋂ C\)= {naranja, amarillo, morado}

Pruébalo ahora 2

Usando los conjuntos del ejemplo anterior, find\(A ⋃ C\) y\(B^c ⋂ A\).

Observe que en el ejemplo anterior, sería difícil simplemente pedir\(A^c\), ya que todo, desde el color fucsia hasta cachorros y mantequilla de maní están incluidos en el complemento del conjunto. Por esta razón, los complementos suelen usarse solo con intersecciones, o cuando tenemos un conjunto universal en su lugar.

Definición: Universal Set

Un conjunto universal es un conjunto que contiene todos los elementos que nos interesan. Esto tendría que ser definido por el contexto.

Un complemento es relativo al conjunto universal, por lo que\(A^c\) contiene todos los elementos del conjunto universal que no están en\(A\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

1. Si estuviéramos discutiendo la búsqueda de libros, el conjunto universal podría ser todos los libros de la biblioteca.
2. Si estuviéramos agrupando a tus amigos de Facebook, el conjunto universal serían todos tus amigos de Facebook.
3. Si estuvieras trabajando con conjuntos de números, el conjunto universal podría ser todos los números enteros, todos los números enteros o todos los números reales

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Supongamos que el conjunto universal es\(U\) = todos los números enteros del 1 al 9. Si\(A\) = {1, 2, 4}, entonces\(A^c\) = {3, 5, 6, 7, 8, 9}.

Como vimos anteriormente con la expresión\(A^c ⋂ C\), las operaciones set se pueden agrupar juntas. Los símbolos de agrupación se pueden usar como son con la aritmética, para forzar un orden de operaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Supongamos H = {gato, perro, conejo, ratón}, F = {perro, vaca, pato, cerdo, conejo} W = {pato, conejo, venado, rana, ratón}

1. Encuentra\((H ⋂ F) ⋃ W\)
2. Encuentra\(H ⋂ (F ⋃ W)\)
3. Encuentra\((H ⋂ F)^c ⋂ W\)

Solución

a) Comenzamos con la intersección:\(H ⋂ F\) = {perro, conejo}

Ahora unimos ese resultado con\(W\):\((H ⋂ F) ⋃ W\) = {perro, pato, conejo, venado, rana, ratón}

b) Comenzamos con la unión:\(F ⋃ W\) = {perro, vaca, conejo, pato, cerdo, venado, rana, ratón}

Ahora cruzamos ese resultado con\(H\):\(H ⋂ (F ⋃ W)\) = {perro, conejo, ratón}

c) Comenzamos con la intersección:\(H ⋂ F\) = {perro, conejo}

Ahora queremos encontrar los elementos de\(W\) que no están en\(H ⋂ F\).

\((H ⋂ F) c ⋂ W\)= {pato, venado, rana, ratón}