4.1: Preludio a Variables Aleatorias Discretas

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Objetivos del Capítulo

Al final de este capítulo, el alumno deberá ser capaz de:

Reconocer y comprender las funciones discretas de distribución de probabilidad, en general.
Calcular e interpretar los valores esperados.
Reconocer la distribución binomial de probabilidad y aplicarla adecuadamente.
Reconocer la distribución de probabilidad de Poisson y aplicarla adecuadamente.
Reconocer la distribución geométrica de probabilidad y aplicarla adecuadamente.
Reconocer la distribución de probabilidad hipergeométrica y aplicarla adecuadamente.
Clasificar los problemas de palabras discretas por sus distribuciones.

Un estudiante toma un cuestionario de diez preguntas, verdadero-falso. Debido a que el alumno tenía una agenda tan ocupada, no podía estudiar y adivina al azar en cada respuesta. ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno supere la prueba con al menos un 70%?
Las pequeñas empresas podrían estar interesadas en la cantidad de llamadas telefónicas de larga distancia que hacen sus empleados durante la hora pico del día. Supongamos que el promedio es de 20 llamadas. ¿Cuál es la probabilidad de que los empleados realicen más de 20 llamadas telefónicas de larga distancia durante la hora pico?

Estos dos ejemplos ilustran dos tipos diferentes de problemas de probabilidad que involucran variables aleatorias discretas. Recordemos que los datos discretos son datos que puedes contar. Una variable aleatoria describe los resultados de un experimento estadístico en palabras. Los valores de una variable aleatoria pueden variar con cada repetición de un experimento.

Figura Se pueden\(\PageIndex{1}\) utilizar variables aleatorias de probabilidad y discretas para calcular la probabilidad de que un rayo golpee el suelo cinco veces durante una tormenta eléctrica de media hora. (Crédito: Leszek Leszczynski)

Notación de variables aleatorias

Letras mayúsculas como\(X\) o\(Y\) denotan una variable aleatoria. Letras minúsculas como\(x\) o\(y\) denotan el valor de una variable aleatoria. Si\(X\) es una variable aleatoria, entonces\(X\) se escribe en palabras, y x se da como un número.

Por ejemplo, deja que\(X =\) el número de cabezas que obtienes cuando lanzas tres monedas justas. El espacio muestral para el tirado de tres monedas justas es TTT; THH; HTH; HHT; HTT; THT; THT; TTH; HHH. Entonces,\(x =\) 0, 1, 2, 3. \(X\)está en palabras y x es un número. Observe que para este ejemplo, los\(x\) valores son resultados contables. Porque se pueden contar los posibles valores que\(X\) pueden tomar y los resultados son aleatorios (los valores x 0, 1, 2, 3),\(X\) es una variable aleatoria discreta.

Ejercicio Colaborativo

Lanza una moneda diez veces y registra el número de cabezas. Después de que todos los miembros de la clase hayan completado el experimento (arrojaron una moneda diez veces y contaron el número de cabezas), rellene la Tabla. Dejar\(X =\) el número de cabezas en diez tiradas de la moneda.

\(x\)	Frecuencia de\(x\)	Frecuencia relativa de\(x\)
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¿Cuál (s) valor (es) de\(x\) ocurrió con mayor frecuencia?
Si tiraste la moneda mil veces, ¿qué valores podrían\(x\) asumir? ¿Cuál (es) valor (es) de\(x\) crees que ocurriría con más frecuencia?
¿A qué suma la columna de frecuencia relativa?

Glosario

Variable aleatoria (RV)

una característica de interés en una población en estudio; la notación común para las variables son letras latinas mayúsculas\(X, Y, Z\),...; notación común para un valor específico del dominio (conjunto de todos los valores posibles de una variable) son letras latinas minúsculas\(x\),\(y\), y\(z\). Por ejemplo, si\(X\) es el número de hijos en una familia, entonces\(x\) representa un entero específico 0, 1, 2, 3,... Las variables en estadística difieren de las variables en álgebra intermedia en las dos formas siguientes.

El dominio de la variable aleatoria (RV) no es necesariamente un conjunto numérico; el dominio puede expresarse en palabras; por ejemplo, si el color\(X =\) del cabello entonces el dominio es {negro, rubio, gris, verde, naranja}.
Podemos decir qué valor específico\(X\) toma\(x\) la variable aleatoria solo después de realizar el experimento.