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1.3: Relaciones

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Las relaciones juegan un papel fundamental en la teoría de probabilidad, como en la mayoría de las otras áreas de las matemáticas.

Definiciones y Construcciones

Supongamos que$$S$$ y$$T$$ son conjuntos. Una relación de$$S$$ a$$T$$ es un subconjunto del conjunto de productos$$S \times T$$.

1. El dominio de$$R$$ es el conjunto de primeras coordenadas:$$\text{domain}(R) = \left\{x \in S: (x, y) \in R \text{ for some } y \in T\right\}$$.
2. El rango de$$R$$ es el conjunto de segundas coordenadas:$$\text{range}(R) = \left\{y \in T: (x, y) \in R \text{ for some } x \in S\right\}$$.

Una relación de un conjunto$$S$$ a sí mismo es una relación sobre$$S$$.

Como su nombre indica,$$T$$ se supone que una relación$$R$$ de$$S$$ hacia dentro define una relación entre los elementos de$$S$$ y los elementos de$$T$$, y así solemos utilizar la notación más sugerente$$x\,R\,y$$ cuando$$(x, y) \in R$$. Tenga en cuenta que el dominio de$$R$$ es las proyecciones de$$R$$ sobre$$S$$ y el rango de$$R$$ es la proyección de$$R$$ sobre$$T$$.

Ejemplos Básicos

Supongamos que$$S$$ es un conjunto y recordar que$$\mathscr{P}(S)$$ denota el conjunto de potencia de$$S$$, la colección de todos los subconjuntos de$$S$$. La relación$$\in$$ de membresía de$$S$$ a$$\mathscr{P}(S)$$ es quizás la relación más importante y básica en matemáticas. En efecto, para nosotros, es una relación primitiva (indefinida) —dada$$x$$ y$$A$$, suponemos que entendemos el significado de la afirmación$$x \in A$$.

Otra relación primitiva básica es la relación de igualdad$$=$$ sobre un conjunto dado de objetos$$S$$. Es decir, dados dos objetos$$x$$ y$$y$$, asumimos que entendemos el significado de la afirmación$$x = y$$.

Otras relaciones básicas que has visto son

1. La relación de subconjunto$$\subseteq$$ en$$\mathscr{P}(S)$$.
2. La relación de orden$$\le$$ sobre$$\R$$

Estos dos pertenecen a una clase especial de relaciones conocidas como órdenes parciales que estudiaremos en la siguiente sección. Tenga en cuenta que una función$$f$$ de$$S$$ hacia dentro$$T$$ es un tipo especial de relación. Para comparar los dos tipos de notación (relación y función), tenga en cuenta que eso$$x\,f\,y$$ significa que$$y = f(x)$$.

Construcciones

Dado que una relación es solo un conjunto de pares ordenados, las operaciones de conjunto se pueden usar para construir nuevas relaciones a partir de las existentes.

si$$Q$$ y$$R$$ son relaciones de$$S$$ a$$T$$, entonces también lo son$$Q \cup R$$,$$Q \cap R$$,$$Q \setminus R$$.

1. $$x(Q \cup R)y$$si y sólo si$$x\,Q\,y$$ o$$x\,R\,y$$.
2. $$x(Q \cap R)y$$si y sólo si$$x\,Q\,y$$ y$$x\,R\,y$$.
3. $$x(Q \setminus R)y$$si y sólo si$$x\,Q\,y$$ pero no$$x\,R\,y$$.
4. Si$$Q \subseteq R$$ entonces$$x\,Q\,y$$ implica$$x\,R\,y$$.

Si$$R$$ es una relación de$$S$$ a$$T$$ y$$Q \subseteq R$$, entonces$$Q$$ es una relación de$$S$$ a$$T$$.

La restricción de una relación define una nueva relación.

Si$$R$$ es una relación sobre$$S$$ y$$A \subseteq S$$ luego$$R_A = R \cap (A \times A)$$ es una relación sobre$$A$$, llamada la restricción de$$R$$ a$$A$$.

La inversa de una relación también define una nueva relación.

Si$$R$$ es una relación de$$S$$ a$$T$$, la inversa de$$R$$ es la relación de$$T$$ a$$S$$ definida por$y\,R^{-1}\,x \text{ if and only if } x\,R\,y$

Equivalentemente,$$R^{-1} = \{(y, x): (x, y) \in R\}$$. Tenga en cuenta que cualquier función$$f$$ desde$$S$$ dentro$$T$$ tiene una relación inversa, pero solo cuando el$$f$$ es uno a uno es la relación inversa también una función (la función inversa). La composición es otra forma natural de crear nuevas relaciones a partir de las ya existentes.

Supongamos que$$Q$$ es una relación de$$S$$ a$$T$$ y que$$R$$ es una relación de$$T$$ a$$U$$. La composición$$Q \circ R$$ es la relación de$$S$$ a$$U$$ definida de la siguiente manera: para$$x \in S$$ y$$z \in U$$,$$x(Q \circ R)z$$ si y sólo si existe$$y \in T$$ tal que$$x\,Q\,y$$ y$$y\,R\,z$$.

Tenga en cuenta que la notación es inconsistente con la notación utilizada para la composición de funciones, esencialmente porque las relaciones se leen de izquierda a derecha, mientras que las funciones se leen de derecha a izquierda. Ojalá que la inconsistencia no cause confusión, ya que siempre usaremos notación de funciones para las funciones.

Las clases importantes de relaciones que estudiaremos en el próximo par de secciones se caracterizan por ciertas propiedades básicas. Aquí están las definiciones:

Supongamos que$$R$$ es una relación sobre$$S$$.

1. $$R$$es reflexivo si es$$x\,R\,x$$ por todos$$x \in S$$.
2. $$R$$es irreflexivo si no$$x \in S$$ satisface$$x\,R\,x$$.
3. $$R$$es simétrico si$$x\,R\,y$$ implica$$y\,R\,x$$ para todos$$x, \, y \in S$$.
4. $$R$$es antisimétrico si$$x\,R\,y$$ e$$y\,R\,x$$ implica$$x = y$$ para todos$$x, \, y \in S$$.
5. $$R$$es transitivo si$$x\,R\,y$$ e$$y\,R\,z$$ implica$$x\,R\,z$$ para todos$$x, \, y, \, z \in S$$.

Las pruebas de los siguientes resultados son sencillas, así que asegúrate de probarlas tú mismo antes de leer las que aparecen en el texto.

Una relación$$R$$ sobre$$S$$ es reflexiva si y solo si la relación de igualdad$$=$$ on$$S$$ es un subconjunto de$$R$$.

Prueba

Esto se desprende de las definiciones. $$R$$es reflexivo si y sólo si es$$(x, x) \in R$$ por todos$$x \in S$$.

Una relación$$R$$ on$$S$$ es simétrica si y solo si$$R^{-1} = R$$.

Prueba

Supongamos que$$R$$ es simétrico. Si$$(x, y) \in R$$ entonces$$(y, x) \in R$$ y por lo tanto$$(x, y) \in R^{-1}$$. Si$$(x, y) \in R^{-1}$$ entonces$$(y, x) \in R$$ y por lo tanto$$(x, y) \in R$$. Así$$R = R^{-1}$$. Por el contrario, supongamos$$R = R^{-1}$$. Si$$(x, y) \in R$$ entonces$$(x, y) \in R^{-1}$$ y por lo tanto$$(y, x) \in R$$.

Una relación$$R$$ on$$S$$ es transitiva si y solo si$$R \circ R \subseteq R$$.

Prueba

Supongamos que$$R$$ es transitivo. Si$$(x, z) \in R \circ R$$ entonces existe$$y \in S$$ tal que$$(x, y) \in R$$ y$$(y, z) \in R$$. Pero luego$$(x, z) \in R$$ por la transitividad. De ahí$$R \circ R \subseteq R$$. Por el contrario, supongamos que$$R \circ R \subseteq R$$. Si$$(x, y) \in R$$ y$$(y, z) \in R$$ entonces$$(x, z) \in R \circ R$$ y por lo tanto$$(x, z) \in R$$. De ahí$$R$$ que sea transitivo.

Una relación$$R$$ on$$S$$ es antisimétrica si y solo si$$R \cap R^{-1}$$ es un subconjunto de la relación de igualdad$$=$$ on$$S$$.

Prueba

Reexpresado, este resultado es que$$R$$ es antisimétrico si y sólo si$$(x, y) \in R \cap R^{-1}$$ implica$$x = y$$. Así supongamos que$$R$$ es antisimétrico. Si$$(x, y) \in R \cap R^{-1}$$ entonces$$(x, y) \in R$$ y$$(x, y) \in R^{-1}$$. Pero entonces$$(y, x) \in R$$ así por antisimetría,$$x = y$$. Por el contrario supongamos que eso$$(x, y) \in R \cap R^{-1}$$ implica$$x = y$$. Si$$(x, y) \in R$$ y$$(y, x) \in R$$ entonces$$(x, y) \in R^{-1}$$ y por lo tanto$$(x, y) \in R \cap R^{-1}$$. $$x = y$$Así$$R$$ es como es antisimétrico.

Supongamos que$$Q$$ y$$R$$ son relaciones encendidas$$S$$. Para cada propiedad a continuación, si ambos$$Q$$ y$$R$$ tienen la propiedad, entonces también lo hace$$Q \cap R$$.

1. reflexivo
2. simétrico
3. transitivo
Prueba
1. Supongamos que$$Q$$ y$$R$$ sean reflexivos. Entonces$$(x, x) \in Q$$ y$$(x, x) \in R$$ para cada uno$$x \in S$$ y por lo tanto$$(x, x) \in Q \cap R$$ para cada uno$$x \in S$$. Así$$Q \cap R$$ es reflexivo.
2. Supongamos que$$Q$$ y$$R$$ son simétricos. Si$$(x, y) \in Q \cap R$$ entonces$$(x, y) \in Q$$ y$$(x, y) \in R$$. De ahí$$(y, x) \in Q$$ y$$(y, x) \in R$$ así$$(y, x) \in Q \cap R$$. De ahí$$Q \cap R$$ que sea simétrico.
3. Supongamos que$$Q$$ y$$R$$ son transitivos. Si$$(x, y) \in Q \cap R$$ y$$(y, z) \in Q \cap R$$ entonces$$(x, y) \in Q$$,$$(x, y) \in R$$,$$(y, z) \in Q$$, y$$(y, z) \in R$$. De ahí$$(x, z) \in Q$$ y$$(x, z) \in R$$ así$$(x, z) \in Q \cap R$$. De ahí$$Q \cap R$$ que sea transitivo.

Supongamos que$$R$$ es una relación en un conjunto$$S$$.

1. Dar una definición explícita para la propiedad no$$R$$ es reflexiva.
2. Dar una definición explícita para la propiedad no$$R$$ es irreflexiva.
3. ¿Alguna de las propiedades $$R$$es reflexiva, no$$R$$ es reflexiva, $$R$$es irreflexiva, no$$R$$ es equivalente irreflexiva?
Contestar
1. $$R$$no es reflexivo si y sólo si existe$$x \in S$$ tal que$$(x, x) \notin R$$.
2. $$R$$no es irreflexivo si y sólo si existe$$x \in S$$ tal que$$(x, x) \in R$$.
3. No.

Supongamos que$$R$$ es una relación en un conjunto$$S$$.

1. Dar una definición explícita para la propiedad no$$R$$ es simétrica.
2. Dar una definición explícita para la propiedad no$$R$$ es antisimétrica.
3. ¿Alguna de las propiedades $$R$$es simétrica, no$$R$$ es simétrica, $$R$$es antisimétrica, no$$R$$ es equivalente antisimétrica?
Contestar
1. $$R$$no es simétrico si y sólo si existen$$x, \, y \in S$$ tales que$$(x, y) \in R$$ y$$(y, x) \notin R$$.
2. $$R$$no es antisimétrico si y sólo si existen distintos$$x, \, y \in S$$ tales que$$(x, y) \in R$$ y$$(y, x) \in R$$.
3. No.

Ejercicios Computacionales

Dejar$$R$$ ser la relación definida$$\R$$ por$$x\,R\,y$$ si y solo si$$\sin(x) = \sin(y)$$. Determine si$$R$$ tiene cada una de las siguientes propiedades:

1. reflexivo
2. simétrico
3. transitivo
4. irreflexivo
5. antisimétrico
Contestar
1. si
2. si
3. si
4. no
5. no

La relación$$R$$ en el ejercicio anterior es miembro de una importante clase de relaciones de equivalencia.

Dejar$$R$$ ser la relación definida$$\R$$ por$$x\,R\,y$$ si y solo si$$x^2 + y^2 \le 1$$. Determine si$$R$$ tiene cada una de las siguientes propiedades:

1. reflexivo
2. simétrico
3. transitivo
4. irreflexivo
5. antisimétrico
Contestar
1. no
2. si
3. no
4. no
5. no

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