10.7: Doble rendija
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Esto corresponde a retornar al interferómetro de YoUNG. Por sencillez, vamos a pensar que k está en el plano ξz por lo que ky=0ykx=ksinθ (quitamos una dimensión al problema). Trabajaremos en la aproximación de FRAUNHOFER.
ˆu(x′)∝∫t(ξ)u(ξ)e−ikf′x′ξdξ

la función transmitancia es t(ξ)=1 si ξ∈Σ∪Σ′ y cero en otro caso. En cuanto a la iluminación (segundo dato necesario para usar las fórmulas de FF ):
u(ξ)=u0eik⋅r=u0eikxξ=u0eiksinθξ
En realidad tenemos dos integrales
ˆu(x′)∝∫a2−a2eiksinθξe−ikf′x′ξdξ+∫d+a2d−a2eiksinθξe−ikf′x′ξdξ
se pueden reorganizar los términos para extraer conclusiones interesantes. Para que las dos lleven el mismo dominio de integración cambiamos la variable muda en la segunda integral, de modo que el cálculo de una se reduzca al de otra. En efecto, si ξ′=ξ+dy operamos
ˆu(x′)∝∫a2−a2eiksinθξe−ikx′f′ξdξ+ei(ksinθ−kx′f′)d∫a2−a2ei(ksinθ−kx′f′)ξdξ
(el factor delante de la segunda integral es debido al cambio de variable). Ahora, sacando factor común
ˆu(x′)∝(1−e−iφ)sinc(ϕ)

donde
φ=(kx′f′−ksinθ)dϕ=(kx′f′−ksinθ)a2
como en todos los problemas anteriores estamos interesados más bien en la distribución de intensidades
I(x′)∝|ˆu(x′)|2∝(1+cosφ)sinc2(ϕ)
- El primer paréntesis (lo llamamos factor Id porque sólo depende de la separación de las rendijas) se puede identificar como la interferencia de dos ondas con desfase φ (era de esperar).
Como se ve en la figura, los rayos que partiendo de la abertura convergen tras pasar por la lente, deben salir de la abertura paralelos entre sí. Hasta ahora el plano focal imagen lo hemos parametrizado mediante x′. Pero nos va a ser más cómodo hacerlo mediante el ángulo θ′, variable que determina el punto de la pantalla cuya intensidad queremos saber (o, dicho de otro modo, la dirección en la que observamos). Para una onda plana las equifases son planos que forman un ángulo θ con el plano de las aberturas. Siguiendo el razonamiento del FP, la diferencia de camino óptico es Δ1−Δ2. Con la trigonometría apropiada,
sinθ=Δ1dsinθ′=Δ2d

la diferencia de camino se convierte en diferencia de fase multiplicando por 2πλ :
φ=2πλ(Δ2−Δ1)=2πλd(sinθ′−sinθ)
el objeto de todos estos cálculos es identificar este φ con el que aparece en 1+cosφ, el factor de interferencia. Comparando las expresiones, concluimos que la igualdad entre ambos cálculos exigiría que sinθ′=x′f′, cosa que es falsa en general, ya que vemos en la figura que x′f′=tanθ′. Pero hay que recordar que el cálculo lo hemos hecho usando la aproximación de FF, que viene de la aproximación paraxial de FRESNEL. Es decir, que si los ángulos θ′ son pequeños coinciden el cálculo exacto y el aproximado
sinθ′≃tanθ′=x′f′
En lo que sigue utilizaremos φ en su expresión más exacta (sustituiremos x′f′ por sinθ′ ), para ampliar el dominio de validez de los cálculos.
2. El segundo factor es la difracción causada por una rendija. Lo llamaremos Ia, porque sólo depende del tamaño de la rendija.
Como vemos, el problema está diseccionado en un factor de interferencia Id y otro de difracción Ia. El aspecto de cada factor se muestra en la figura 10.21. Como la Id varía más deprisa que la Ia podemos considerar que lo que hace esta última es modular la Id, como se muestra en la figura 10.22. El término de difracción lo que hace es limitar el número de máximos de interferencia que podemos ver (prácticamente sólo podremos ver los que estén dentro de la campana central).

Mirando las integrales
ˆu(x′)∝∫a2−a2eiksinθξe−ikf′x′ξdξ+∫d+a2d−a2eiksinθξe−ikf′x′ξdξ
podemos identificar el primer término como ˆu1 y el segundo como ˆu2, los términos de difracción de cada una de las rendijas. Al considerar la intensidad vemos que aparece el fenómeno de difracción, puesto que una onda no difiere de la otra más que en la exponencial compleja e−iφ
ˆu2=e−iφˆu1
Es decir que se dan las condiciones de interferencia puesto que son ondas iguales salvo diferencia de fase.
Si ocultásemos una de las rendijas, se presentaría I1∝|ˆu1|2 o I2∝|ˆu2|2 (en función de cuál tapemos). Pero sabemos que
I2∝|ˆu2|2=|ˆu1|2
de donde
I1=I2=sinc2ϕ
Las distribuciones de intensidades debidas a las rendijas separadamente son iguales. Es decir, en FF, la figura de difracción de una rendija no depende de si está más arriba o más abajo en el el plano de las aberturas. Lo único que cambia es la fase que separa a las ondas. Mover la rendija no desplaza la figura de difracción. Ambas ondas comparten el factor de difracción. Se solapan sobre la pantalla, sólo distintas por la fase.
Al separar mucho las rendijas se acaba perdiendo la interferencia, ya que desaparece la condición necesaria de coherencia espacial entre las dos ondas. Obsérvese que no por utilizar incidencia normal se pierde la inteferencia, ya que el desfase entre las dos ondas tiene dos términos:

- lo que las ondas llevan de desfase al llegar al plano de las aberturas, que, como depende de sinθ, se hace cero cuando la incidencia es normal.
- lo que acumulan al llegar desde diferentes puntos del plano de las aberturas al plano de la imagen, que no depende de si la incidencia es normal o no.