3.1: Las leyes del movimiento planetario
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Objetivos de aprendizaje
Al final de la sección, podrás:
- Describir cómo Tycho Brahe y Johannes Kepler contribuyeron a nuestra comprensión de cómo los planetas se mueven alrededor del Sol
- Explicar las tres leyes del movimiento planetario de Kepler
Aproximadamente en el momento en que Galileo comenzaba sus experimentos con cuerpos caídos, los esfuerzos de otros dos científicos avanzaron dramáticamente nuestra comprensión de los movimientos de los planetas. Estos dos astrónomos fueron el observador Tycho Brahe y el matemático Johannes Kepler. Juntos, colocaron las especulaciones de Copérnico sobre una sólida base matemática y allanaron el camino para la obra de Isaac Newton en el próximo siglo.
Observatorio de Tycho Brahe
Tres años después de la publicación de De Revolutionibus de Copérnico, Tycho Brahe nació en una familia de nobleza danesa. Desarrolló un interés temprano por la astronomía y, de joven, realizó importantes observaciones astronómicas. Entre estos se encontraba un estudio cuidadoso de lo que ahora sabemos que era una estrella explosiva que se encendió a gran brillantez en el cielo nocturno. Su creciente reputación le valió el patrocinio del rey danés Federico II, y a la edad de 30 años, Brahe pudo establecer un fino observatorio astronómico en la isla de Hven en el Mar del Norte (Figura\(\PageIndex{1}\)). Brahe fue el último y más grande de los observadores pre-telescópicos en Europa.
En Hven, Brahe hizo un registro continuo de las posiciones del Sol, la Luna y los planetas durante casi 20 años. Sus extensas y precisas observaciones le permitieron señalar que las posiciones de los planetas variaban de las dadas en tablas publicadas, las cuales se basaban en la obra de Ptolomeo. Estos datos eran sumamente valiosos, pero Brahe no tenía la capacidad de analizarlos y desarrollar un mejor modelo que el que Ptolomeo había publicado. Se le inhibió aún más porque era un tipo extravagante y descascarado, y acumuló enemigos entre los funcionarios del gobierno. Cuando su patrón, Federico II, murió en 1597, Brahe perdió su base política y decidió abandonar Dinamarca. Se instaló en Praga, donde se convirtió en astrónomo de la corte del emperador Rudolfo de Bohemia. Ahí, en el año anterior a su muerte, Brahe encontró a un joven matemático muy capaz, Johannes Kepler, para ayudarle a analizar sus extensos datos planetarios.
Johannes Kepler
Johannes Kepler nació en una familia pobre en la provincia alemana de Württemberg y vivió gran parte de su vida en medio de la agitación de la Guerra de los Treinta Años (ver Figura\(\PageIndex{1}\)). Asistió a la universidad en Tubingen y estudió para una carrera teológica. Allí, aprendió los principios del sistema copernicano y se convirtió a la hipótesis heliocéntrica. Finalmente, Kepler fue a Praga para servir como asistente de Brahe, quien lo puso a trabajar tratando de encontrar una teoría satisfactoria del movimiento planetario, una que fuera compatible con la larga serie de observaciones realizadas en Hven. Brahe se mostró reacio a proporcionar a Kepler mucho material en cualquier momento por temor a que Kepler descubriera por sí mismo los secretos del movimiento universal, robando así a Brahe parte de la gloria. Sólo después de la muerte de Brahe en 1601 Kepler obtuvo la plena posesión de los invaluables registros. Su estudio ocupó la mayor parte del tiempo de Kepler durante más de 20 años.
A través de su análisis de los movimientos de los planetas, Kepler desarrolló una serie de principios, ahora conocidos como las tres leyes de Kepler, que describían el comportamiento de los planetas a partir de sus trayectorias a través del espacio. Las dos primeras leyes del movimiento planetario se publicaron en 1609 en La Nueva Astronomía. Su descubrimiento fue un paso profundo en el desarrollo de la ciencia moderna.
Las dos primeras leyes del movimiento planetario
El camino de un objeto a través del espacio se llama su órbita. Kepler inicialmente asumió que las órbitas de los planetas eran círculos, pero hacerlo no le permitió encontrar órbitas que fueran consistentes con las observaciones de Brahe. Trabajando con los datos de Marte, finalmente descubrió que la órbita de ese planeta tenía la forma de un círculo algo aplanado, o elipse. Junto al círculo, la elipse es el tipo de curva cerrada más simple, perteneciente a una familia de curvas conocidas como secciones cónicas (Figura\(\PageIndex{2}\)).
Tal vez recuerdes de las clases de matemáticas que en un círculo, el centro es un punto especial. La distancia desde el centro a cualquier parte del círculo es exactamente la misma. En una elipse, la suma de la distancia desde dos puntos especiales dentro de la elipse hasta cualquier punto de la elipse es siempre la misma. Estos dos puntos dentro de la elipse se llaman sus focos (singular: foco), palabra inventada para ello por Kepler.
Esta propiedad sugiere una forma sencilla de dibujar una elipse (Figura\(\PageIndex{3}\)). Envolvemos los extremos de un lazo de cuerda alrededor de dos tachuelas empujadas a través de una hoja de papel en un tablero de dibujo, para que la cuerda quede floja. Si empujamos un lápiz contra la cuerda, haciendo que la cuerda se tensa, y luego deslizamos el lápiz contra la cuerda alrededor de las tachuelas, la curva que resulta es una elipse. En cualquier punto donde pueda estar el lápiz, la suma de las distancias entre el lápiz y las dos tachuelas es una longitud constante, la longitud de la cuerda. Las tachuelas están en los dos focos de la elipse.
El diámetro más ancho de la elipse se llama su eje mayor. La mitad de esta distancia, es decir, la distancia desde el centro de la elipse hasta un extremo, es el eje semimajor, que generalmente se usa para especificar el tamaño de la elipse. Por ejemplo, el eje semimajor de la órbita de Marte, que es también la distancia promedio del planeta con respecto al Sol, es de 228 millones de kilómetros.
La forma (redondez) de una elipse depende de lo cerca que estén los dos focos, en comparación con el eje mayor. La relación de la distancia entre los focos a la longitud del eje semimajor se llama la excentricidad de la elipse.
Si los focos (o tachuelas) se mueven a la misma ubicación, entonces la distancia entre los focos sería cero. Esto quiere decir que la excentricidad es cero y la elipse es solo un círculo; así, un círculo puede llamarse elipse de excentricidad cero. En un círculo, el eje semimajor sería el radio.
A continuación, podemos hacer elipses de varias elongaciones (o longitudes extendidas) variando el espaciado de las tachuelas (siempre y cuando no estén más separadas que la longitud de la cuerda). Cuanto mayor es la excentricidad, más alargada es la elipse, hasta una excentricidad máxima de 1.0, cuando la elipse se vuelve “plana”, el otro extremo de un círculo.
El tamaño y la forma de una elipse están completamente especificados por su eje semimajor y su excentricidad. Usando los datos de Brahe, Kepler descubrió que Marte tiene una órbita elíptica, con el Sol en un foco (el otro foco está vacío). La excentricidad de la órbita de Marte es sólo de aproximadamente 0.1; su órbita, dibujada a escala, sería prácticamente indistinguible de un círculo, pero la diferencia resultó ser crítica para entender los movimientos planetarios.
Kepler generalizó este resultado en su primera ley y dijo que las órbitas de todos los planetas son elipses. Aquí hubo un momento decisivo en la historia del pensamiento humano: no era necesario tener sólo círculos para tener un cosmos aceptable. El universo podría ser un poco más complejo de lo que los filósofos griegos habían querido que fuera.
La segunda ley de Kepler trata de la velocidad con la que cada planeta se mueve a lo largo de su elipse, también conocida como su velocidad orbital. Trabajando con las observaciones de Brahe sobre Marte, Kepler descubrió que el planeta acelera a medida que se acerca al Sol y se ralentiza a medida que se aleja del Sol. Expresó la forma precisa de esta relación imaginando que el Sol y Marte están conectados por una línea recta y elástica. Cuando Marte está más cerca del Sol (posiciones 1 y 2 en la Figura\(\PageIndex{4}\)), la línea elástica no se estira tanto, y el planeta se mueve rápidamente. Más lejos del Sol, como en las posiciones 3 y 4, la línea se estira mucho, y el planeta no se mueve tan rápido. A medida que Marte viaja en su órbita elíptica alrededor del Sol, la línea elástica barre áreas de la elipse a medida que se mueve (las regiones coloreadas en nuestra figura). Kepler encontró que en intervalos iguales de tiempo (t), las áreas barridas en el espacio por esta línea imaginaria son siempre iguales; es decir, el área de la región B de 1 a 2 es la misma que la de la región A de 3 a 4.
Si un planeta se mueve en órbita circular, la línea elástica siempre se estira la misma cantidad y el planeta se mueve a una velocidad constante alrededor de su órbita. Pero, como descubrió Kepler, en la mayoría de las órbitas esa velocidad de un planeta que orbita su estrella (o la luna orbitando su planeta) tiende a variar porque la órbita es elíptica.
Tercera Ley de Kepler
Las dos primeras leyes del movimiento planetario de Kepler describen la forma de la órbita de un planeta y nos permiten calcular la velocidad de su movimiento en cualquier punto de la órbita. Kepler se sintió complacido de haber descubierto reglas tan fundamentales, pero no satisfizo su búsqueda por comprender completamente los movimientos planetarios. Quería saber por qué las órbitas de los planetas estaban espaciadas tal como son y encontrar un patrón matemático en sus movimientos, una “armonía de las esferas” como él la llamó. Durante muchos años trabajó para descubrir las relaciones matemáticas que rigen el espaciamiento planetario y el tiempo que cada planeta tardó en dar la vuelta al Sol.
En 1619, Kepler descubrió una relación básica para relacionar las órbitas de los planetas con sus distancias relativas del Sol. Definimos el período orbital de un planeta, (\(P\)), como el tiempo que tarda un planeta en viajar una vez alrededor del Sol. También, recordemos que el eje semimajor de un planeta, a, es igual a su distancia promedio del Sol. La relación, ahora conocida como la tercera ley de Kepler, dice que el período orbital de un planeta cuadrado es proporcional al eje semimajor de su órbita cúbica, o
\[P^2 \propto a^3 \nonumber\]
Cuando\(P\) (el periodo orbital) se mide en años, y a se expresa en una cantidad conocida como unidad astronómica (AU), los dos lados de la fórmula no solo son proporcionales sino iguales. Una UA es la distancia promedio entre la Tierra y el Sol y es aproximadamente igual a 1.5 × 108 kilómetros. En esas dependencias,
\[P^2=a^3 \nonumber\]
La tercera ley de Kepler se aplica a todos los objetos que orbitan el Sol, incluida la Tierra, y proporciona un medio para calcular sus distancias relativas desde el Sol desde el momento en que tardan en orbitar. Veamos un ejemplo específico para ilustrar lo útil que es la tercera ley de Kepler.
Por ejemplo, supongamos que el tiempo que tarda Marte en dar la vuelta al Sol (en años terrestres). La tercera ley de Kepler puede entonces ser utilizada para calcular la distancia promedio de Marte con respecto al Sol. El período orbital de Marte (1.88 años terrestres) al cuadrado, o\(P^2\), es 1.882 = 3.53, y según la ecuación para la tercera ley de Kepler, esto equivale al cubo de su eje semimajor, o\(a^3\). Entonces, ¿qué número debe ser en cubos para dar 3.53? La respuesta es 1.52 (ya que\(1.52 \times 1.52 \times 1.52 = 3.53\)). Así, el eje semimajor de Marte en unidades astronómicas debe ser de 1.52 UA. Es decir, para dar la vuelta al Sol en poco menos de dos años, Marte debe estar cerca del 50% (la mitad otra vez) tan lejos del Sol como de la Tierra.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Cálculo de Períodos
Imagina que un objeto está viajando alrededor del Sol. ¿Cuál sería el periodo orbital del objeto si su órbita tiene un semieje de 50 UA?
Solución
De la tercera ley de Kepler, sabemos que (cuando usamos unidades de años y AU)
\[P^2=a^3 \nonumber\]
Si la órbita del objeto tiene un eje semimajor de 4 AU (a = 50), podemos hacer un cubo 50 y luego tomar la raíz cuadrada del resultado para obtener P:
\[ \begin{array}{l} P = \sqrt{a^3} \\ P = \sqrt{50 \times 50 \times 50} = \sqrt{125,000} = 353.6 \text{ years} \end{array}\]
Por lo tanto, el periodo orbital del objeto es de unos 350 años. Esto colocaría nuestro hipotético objeto más allá de la órbita de Plutón.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
¿Cuál sería el periodo orbital de un asteroide (un trozo rocoso entre Marte y Júpiter) con un eje semimajor de 3 UA?
- Responder
-
\[P = \sqrt{3 \times 3 \times 3} = \sqrt{27} = 5.2 \text{ years}\]
Las tres leyes del movimiento planetario de Kepler se pueden resumir de la siguiente manera:
- La primera ley de Kepler: Cada planeta se mueve alrededor del Sol en una órbita que es una elipse, con el Sol en un foco de la elipse.
- La segunda ley de Kepler: La línea recta que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en el espacio en intervalos de tiempo iguales.
- Tercera ley de Kepler: El cuadrado del periodo orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo del eje semimajor de su órbita.
Las tres leyes de Kepler proporcionan una descripción geométrica precisa del movimiento planetario dentro del marco del sistema copernicano. Con estas herramientas, fue posible calcular las posiciones planetarias con una precisión muy mejorada. Aún así, las leyes de Kepler son puramente descriptivas: no nos ayudan a entender qué fuerzas de la naturaleza limitan a los planetas a seguir este conjunto particular de reglas. Ese paso le quedó a Isaac Newton.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Aplicación de la Tercera Ley de Kepler
Utilizando los periodos orbitales y los ejes semimajores para Venus y la Tierra que aquí se proporcionan, calcular\(P^2\) y\(a^3\) verificar que obedecen a la tercera ley de Kepler. El periodo orbital de Venus es de 0.62 años y su eje semimajuor es 0.72 UA. El período orbital de la Tierra es de 1.00 años, y su eje semimajuor es 1.00 UA.
Solución
Podemos usar la ecuación para la tercera ley de Kepler,\(P^2 \propto a^3\). Para Venus,\(P^2 = 0.62 \times 0.62 = 0.38 \text{ years}\) y\(a^3 = 0.72 \times 0.72 \times 0.72 = 0.37 \text{ AU}\) (redondear números a veces causa discrepancias menores como esta). El periodo orbital (0.38 años) se aproxima al eje semimajor (0.37 AU).
Por lo tanto, Venus obedece la tercera ley de Kepler. Para la Tierra,\(P^2 = 1.00 \times 1.00 = 1.00 \text{ year}\) y\(a^3 = 1.00 \times 1.00 \times 1.00 = 1.00 \text{ AU}\). El periodo orbital (1.00 año) se aproxima (en este caso, es igual) al eje semimajor (1.00 AU). Por lo tanto, la Tierra obedece a la tercera ley de Kepler.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Utilizando los periodos orbitales y los ejes semimajores para Saturno y Júpiter que aquí se proporcionan, calcular\(P^2\) y\(a^3\) verificar que obedecen a la tercera ley de Kepler. El período orbital de Saturno es de 29.46 años y su eje semimajuor es 9.54 AU. El periodo orbital de Júpiter es de 11.86 años y su eje semimajor es 5.20 UA.
- Responder
-
Para Saturno,\(P^2 = 29.46 \times 29.46 = 867.9 \text{ years}\) y\(a^3 = 9.54 \times 9.54 \times 9.54 = 868.3 \text{ AU}\). El periodo orbital (867.9 años) se aproxima al eje semimajuor (868.3 AU). Por lo tanto, Saturno obedece la tercera ley de Kepler.
En honor al científico que primero ideó las leyes que rigen los movimientos de los planetas, el equipo que construyó la primera nave espacial para buscar planetas orbitando otras estrellas decidió nombrar a la sonda “Kepler”. Para conocer más sobre la vida de Johannes Kepler y sus leyes del movimiento planetario, así como mucha información sobre la Misión Kepler, visite el sitio web Kepler de la NASA y siga los enlaces que le interesen.
Conceptos clave y resumen
Las observaciones precisas de Tycho Brahe sobre las posiciones planetarias proporcionaron los datos utilizados por Johannes Kepler para derivar sus tres leyes fundamentales del movimiento planetario. Las leyes de Kepler describen el comportamiento de los planetas en sus órbitas de la siguiente manera: (1) las órbitas planetarias son elipses con el Sol en un foco; (2) en intervalos iguales, la órbita de un planeta barre áreas iguales; y (3) la relación entre el período orbital (\(P\)) y el eje semimajor (\(a\)) de un órbita viene dada por\(P^2 = a^3\) (cuando\(a\) está en unidades de AU y\(P\) está en unidades de años terrestres).
Glosario
- unidad astronómica (AU)
- la unidad de longitud definida como la distancia promedio entre la Tierra y el Sol; esta distancia es de aproximadamente 1.5 × 108 kilómetros
- excentricidad
- en una elipse, la relación de la distancia entre los focos y el eje mayor
- elipse
- una curva cerrada para la cual la suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a dos puntos dentro (llamados focos) es siempre la misma
- enfoque
- (plural: focos) uno de los dos puntos fijos dentro de una elipse desde donde la suma de las distancias a cualquier punto de la elipse es constante
- Primera ley de Kepler
- cada planeta se mueve alrededor del Sol en una órbita que es una elipse, con el Sol en un foco de la elipse
- Segunda ley de Kepler
- la línea recta que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en el espacio en intervalos iguales de tiempo
- Tercera ley de Kepler
- el cuadrado del período orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo del semieje de su órbita
- eje mayor
- el diámetro máximo de una elipse
- órbita
- el camino de un objeto que está en revolución alrededor de otro objeto o punto
- período orbital (P)
- el tiempo que tarda un objeto en viajar una vez alrededor del Sol
- velocidad orbital
- la velocidad a la que un objeto (generalmente un planeta) orbita alrededor de la masa de otro objeto; en el caso de un planeta, la velocidad a la que cada planeta se mueve a lo largo de su elipse
- eje semimajor
- la mitad del eje mayor de una sección cónica, como una elipse