2.5: Secciones Cónicas
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\(\text{FIGURE II.36}\)
Una prueba sencilla y notable se puede dar en el clásico euclidiano “Dado. Requerido. Construcción. Comprobante. Estilo Q.E.D.”.
Prueba
Dado: Un cono y un plano tal que el ángulo que hace el plano con la base del cono es menor que el ángulo que hace el generador del cono con su base, y el plano corta el cono en una curva cerrada\(\text{K}\). Figura\(\text{II.36}\).
Requerido: Para probar que\(\text{K}\) es una elipse.
Construcción: Construir una esfera por encima del plano, que toque el cono internamente en el círculo\(\text{C}_1\) y el plano en el punto\(\text{F}_1\). Construye también una esfera debajo del plano, que toque el cono internamente en el círculo\(\text{C}_2\) y el plano en el punto\(\text{F}_2\).
Unir un punto\(\text{P}\) en la curva\(\text{K}\) hacia\(\text{F}_1\) y hacia\(\text{F}_2\).
Dibuja el generador que pasa por el punto\(\text{P}\) y que se cruza\(\text{C}_1\) en\(\text{Q}_1\) y\(\text{C}_2\) en\(\text{Q}_2\).
Prueba:\(\text{PF}_1 = \text{PQ}_1\) (Tangentes a una esfera desde un punto externo.)
\(\text{PF}_2 = \text{PQ}_2\)(Tangentes a una esfera desde un punto externo.)
\(\therefore \text{PF}_1 + \text{PF}_2 = \text{PQ}_1 + \text{PQ}_2 = \text{Q}_1 \text{Q}_2\)
y\(\text{Q}_1\text{Q}_2\) es independiente de la posición de\(\text{P}\), ya que es la distancia entre los círculos\(\text{C}_1\) y\(\text{C}_2\) medida a lo largo de un generador.
\[\therefore \ \text{K is an ellipse and } \text{F}_1 \text{ and } \text{F}_2 \text{ are its foci}. \tag{Q.E.D.}\]
Un argumento similar mostrará que una sección plana de un cilindro también es una elipse.
El lector también puede idear dibujos que mostrarán que una sección plana de un cono paralelo a un generador es una parábola, y que un plano más empinado que un generador corta el cono en una hipérbola. Los dibujos son más fáciles de hacer con papel, lápiz, brújula y regla, y requerirán algo de ingenio. Si bien he visto la prueba anterior para una elipse en varios libros, no he visto las pruebas correspondientes para una parábola y una hipérbola, pero sí se pueden hacer, y el lector debería encontrarle un reto interesante. Si el lector puede usar una computadora para hacer los dibujos y puede hacerlo mejor que mi pobre esfuerzo con la figura\(\text{II.36}\), es bastante bueno con una computadora, lo cual es una señal de una juventud mal gastada.