3.7: El dipolo simple

Como se puede esperar del título de esta sección, esta será la sección más difícil y complicada de este capítulo hasta el momento. Nuestro objetivo será calcular el campo y el potencial que rodea a un simple dipolo.

Un dipolo simple es un sistema que consta de dos cargas,\(+Q \text{ and }−Q\), separadas por una distancia\(2L\). El momento dipolar de este sistema es justo\(p = 2QL\). Supondremos que el dipolo se encuentra a lo largo del eje x, con la carga negativa en\(x = −L\) y la carga positiva en\(x = +L\). Ver Figura\(III\) .5.

\(\text{FIGURE III.5}\)

Primero calculemos el campo eléctrico en un punto P a una distancia\(y\) a lo largo del\(y\) eje. Se acordará, creo, que se dirige hacia la izquierda y es igual a

\[E_1 \cos \theta +E_2 \cos \theta,\text{ where }E_1=E_2=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 (L^2+y^2 )}\text{ and } \cos \theta = \dfrac{L}{(L^2+y^2)^{1/2}}.\nonumber\]

Por lo tanto

\[E=\dfrac{2QL}{4\pi\epsilon_0(L^2+y^2)^{3/2}}=\dfrac{p}{4\pi\epsilon_0(L^2+y^2)^{3/2}}.\label{3.7.1}\]

Para grandes\(y\) esto se convierte en

\[\label{3.7.2}E=\dfrac{p}{4\pi\epsilon_0y^3}.\]

Es decir, el campo cae como el cubo de la distancia.

Para encontrar el campo en el\(x\) eje -eje, consulte la Figura\(III\) .6.

\(\text{FIGURE III.6}\)

Se acordará, creo, que el campo está dirigido hacia la derecha y es igual a

\[\label{3.7.3}E=E_1-E_2=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left (\dfrac{1}{(x-L)^2}-\dfrac{1}{(x+L)^2}\right ).\]

Esto se puede escribir\(\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0x^2} \left (\dfrac{1}{(1-L/x)^2}-\dfrac{1}{(1+L/x)^2}\right )\), y sobre la expansión de esto por el teorema binomial, descuidando términos de orden\((L / x)^2\) y menores, vemos que en grande x el campo es

\[\label{3.7.4}E=\dfrac{2p}{4\pi\epsilon_0x^3}.\]

Ahora para el campo en un punto P que no está ni en el eje (\(x\)-eje) ni en el ecuador (\(y\)-eje) del dipolo. Ver Figura\(III\) .7.

\(\text{FIGURE III.7}\)

Probablemente se acordará que no sería particularmente difícil anotar expresiones para las contribuciones al campo en P de cada una de las dos cargas en turno. Entonces comienza la parte difícil; las dos contribuciones al campo están en direcciones diferentes e incómodas, y sumarlas vectorialmente va a ser un poco de dolor de cabeza.

Es mucho más fácil calcular el potencial en P, ya que las dos contribuciones al potencial se pueden agregar como escalares. Entonces podemos encontrar los componentes x - e y del campo calculando\(∂V / ∂x\) y\(∂V/∂y\).

Así

\[V=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left ( \dfrac{1}{\{(x-L)^2+y^2\}^{1/2}}-\dfrac{1}{\{(x+L)^2+y^2\}^{1/2}}\right ) . \label{3.7.5}\]

Para empezar voy a investigar el potencial y el campo a gran distancia del dipolo —aunque volveré más tarde a las inmediaciones del mismo.

A grandes distancias de un pequeño dipolo (ver Figura\(III\) .8), podemos escribir,\(r^2=x^2+y^2\),

\(\text{FIGURE III.8}\)

y, con\(L^2 << r^ 2\), la expresión 3.7.5 para el potencial en P se convierte en

\[V=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left ( \dfrac{1}{(r^2-2Lx)^{1/2}}-\dfrac{1}{(r^2+2Lx)^{1/2}}\right )=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}\left ( (1-2Lx/r^2)^{-1/2}-(1+2Lx/r^2)^{-1/2}\right ).\nonumber\]

Cuando esto se expande por el teorema binomial encontramos, para ordenar L/r, que el potencial puede escribirse en cualquiera de las siguientes formas equivalentes:

\[\label{3.7.6}V=\dfrac{2QLx}{4\pi\epsilon_0 r^3}=\dfrac{px}{4\pi\epsilon_0 r^3}=\dfrac{p\cos \theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}=\dfrac{\textbf{p}\cdot \textbf{r}}{4\pi\epsilon_0 r^3}.\]

Así los equipotenciales son de la forma

\[\label{3.7.7}r^2=c\cos \theta ,\]

donde

\[\label{3.7.8}c=\dfrac{p}{4\pi\epsilon_0 V}.\]

Ahora, teniendo en cuenta eso\(r^2+x^2+y^2\), podemos diferenciar\(V=\dfrac{px}{4\pi\epsilon_0 r^3}\) con respecto\(y\) a\(x\) y encontrar los\(x\) - y\(y\) -componentes del campo. Así encontramos que

\[\label{3.7.9}E_x =\dfrac{p}{4\pi\epsilon_0}\left ( \dfrac{3x^2-r^2}{r^5}\right ) \text{ and }E_y=\dfrac{pxy}{4\pi\epsilon r^5}.\]

También podemos usar coordenadas polares para encontrar los componentes radiales y transversales\(E_r=-\dfrac{∂V}{∂r}\text{ and }E_\theta = -\dfrac{1}{r}\dfrac{∂V}{∂\theta}\text{ together with }V=\dfrac{p\cos \theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}\) para obtener

\[\label{3.7.10}E_r = \dfrac{2p\cos \theta}{4\pi\epsilon_0 r^3},\quad E_\theta = \dfrac{p\sin \theta }{4\pi\epsilon_0 r^3}\text{ and }E=\dfrac{p}{4\pi\epsilon_0 r^3}\sqrt{1+3 \cos^2 \theta}.\]

El ángulo que\(\textbf{E}\) hace con el eje del dipolo en el punto\((r, θ)\) es\(θ + \tan^{-1}\dfrac{1}{2}\tan \theta\).

Para quienes disfrutan del cálculo vectorial, también podemos decir\(\textbf{E}=-\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\nabla \left ( \dfrac{\textbf{p}\cdot \textbf{r}}{r^3}\right ) \), del cual, después de un poco de álgebra y bastante cálculo vectorial, encontramos

\[\label{3.7.11}\textbf{E}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\left ( \dfrac{3(\textbf{p}\cdot \textbf{r})\textbf{r}}{r^5}-\dfrac{\textbf{p}}{r^3}\right ).\]

Esta ecuación contiene toda la información que probablemente queramos, pero espero que la mayoría de los lectores preferirán las formas rectangulares y polares más explícitas de ecuaciones\ ref {3.7.9} y\ ref {3.7.10}.

La ecuación\ ref {3.7.7} da la ecuación a los equipotenciales. La ecuación a las líneas de fuerza se puede encontrar de la siguiente manera. Refiriéndonos a la Figura\(III\) .9, vemos que la ecuación diferencial a las líneas de fuerza es

\(\text{FIGURE III.9}\)

\[\label{3.7.12}r\dfrac{d\theta}{dr}=\dfrac{E_\theta}{E_r}=\dfrac{\sin \theta}{2\cos \theta}=\dfrac{1}{2}\tan \theta ,\]

que, al integrarse, se convierte en

\[\label{3.7.13}r=a\sin^2 \theta .\]

Obsérvese que las ecuaciones\(r^2= c\cos θ\) (para los equipotenciales) y\(r= a \sin^2 \theta\) (para las líneas de fuerza) son trayectorias ortogonales, y cualquiera puede derivarse de la otra. Así, dado que la ecuación diferencial a las líneas de fuerza es\(r\dfrac{d\theta}{dr}= \dfrac{1}{2}\tan \theta\) con solución\(r=a\sin^2 \theta\), la ecuación diferencial a las trayectorias ortogonales (es decir, los equipotenciales) es\(-\dfrac{1}{r}\dfrac{dr}{d\theta}=\dfrac{1}{2}\tan \theta\), con solución\(r^2=c\cos \theta\).

En la Figura\(III\) .10, se supone que hay un dipolo minúsculo situado en el origen. La unidad de longitud es\(L\), la mitad de la longitud del dipolo. He dibujado ocho líneas de campo eléctrico (continuas), correspondientes a a = 25, 50, 100, 200, 400, 800, 1600, 3200. Si r se expresa en unidades de\(L\), y si\(V\) se expresa en unidades de\(\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 L}\), se pueden escribir las ecuaciones\ ref {3.7.7} y\ ref {3.7.8} para los equipotenciales,\(r=\sqrt{\dfrac{2\cos \theta}{V}}\), y he dibujado siete equipotenciales (discontinuas) para\(V\) = 0.0001, 0.0002, 0.0004, 0.0008, 0.0016, 0.0032, 0.0064. Se notará a partir de la Ecuación\ ref {3.7.9a}, y también es evidente a partir de la Figura\(III\) .10, que\(E_x\) es cero para\(\theta = 54^\circ \, 44'\).

\(\text{FIGURE III.10}\)

Al final de este capítulo agrego un ejercicio (geofísico) en la geometría del campo a gran distancia de un pequeño dipolo.

Equipotenciales cerca del dipolo

Estas, entonces, son las líneas de campo y los equipotenciales a gran distancia del dipolo. Llegamos a estas ecuaciones y gráficas expandiendo la Ecuación\ ref {3.7.5} binomialmente, y descuidando términos de orden superior que\(L/r\). Ahora miramos cerca del dipolo, donde no podemos hacer tal aproximación. Consulte la Figura\(III\) .7.

Podemos escribir la ecuación\ ref {3.7.5} como

\[\label{3.7.14}V(x,y)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left ( \dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right ),\]

donde\(r_1^2=(x-L)^2+y^2 \text{ and }r_2^2=(x+L)^2+y^2\). Si, como antes, expresamos distancias en términos de\(L\) y\(V\) en unidades de\(\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 L}\), la expresión del potencial se convierte en

\[\label{3.7.15}V(x,y)\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2},\]

donde\(r_1^2=(x+1)^2+y^2 \text{ and }r_2^2=(x-1)^2+y^2\).

Una forma de trazar los equipotenciales sería calcular\(L\) para una cuadrícula completa de\((x , y)\) valores y luego usar una rutina de trazado de contornos para dibujar los equipotenciales. Mis habilidades informáticas no están a la altura de esto, así que voy a ver si podemos encontrar alguna manera de trazar los equipotenciales directamente.

Presento dos métodos. En el primer método utilizo la Ecuación\ ref {3.7.15} y me esfuerzo por manipularla para que pueda calcular\(y\) en función de\(x\) y\(L\). El segundo método me lo mostró J. Visvanathan de Chennai, India. Haremos ambas cosas, y luego las compararemos.

Primer Método.

Para anticiparnos, vamos a necesitar lo siguiente:

\[\begin{align} &r_1^2r_2^2=(x^2+y^2+1)^2-4x^2=B^2-A,\label{3.7.16} \\ &r_1^2+r_2^2 = 2(x^2+y^2+1)=2B,\label{3.7.17}\\ \text{and} \quad &r_1^4+r_2^4=2[(x^2+y^2+1)^2+4x^2]=2(B^2+A),\label{3.7.18} \\ \text{where}\quad \,&A=4x^2 \label{3.7.19} \\ \text{and}\quad &B=x^2+y^2+1 \label{3.7.20} \\ \end{align}\]

Ahora la Ecuación\ ref {3.7.15} es\(r_1r_2 V=r_2-r_1\). Para poder extraer es\(y\) necesario cuadrar esto dos veces, para que\(r_1 \text{ and }r_2\) aparezcan sólo como\(r_1^2 \text{ and }r_2^2\). Después de un poco de álgebra, obtenemos

\[\label{3.7.21}r_1^2r_2^2 [2-V^4r_1^2r_2^2+2V^2(r_1^2 +r_2^2)]=r_1^4+r_2^4.\]

Al sustituir las ecuaciones\ ref {3.7.16} ,17,18, para las cuales estamos bien preparados, encontramos para la ecuación a los equipotenciales una ecuación que, después de algún álgebra, puede escribirse como una ecuación cuártica en B:

\[\begin{align}&a_0+a_1B+a_2B^2+a_3B^3+a_4B^4=0 \label{3.7.22} \\ \text{where}\quad &a_0=A(4+V^4A), \label{3.7.23} \\ &a_1=4V^2A, \label{3.7.24} \\ &a_2 = -2V^2A,\label{3.7.25} \\ &a_3=-4V^2,\label{3.7.26} \\ \text{and} \quad &a_4 = V^4 .\label{3.7.27} \\ \end{align}\]

El algoritmo será el siguiente: Para un dado\(V\) y\(x\), calcular los coeficientes cuárticos a partir de ecuaciones\ ref {3.7.23} -\ ref {3.7.27}. Resuelve la Ecuación cuártica\ ref {3.7.22} para B. Calcular y a partir de la Ecuación\ ref {3.7.20}. Mi intento de hacer esto se muestra en la Figura\(III\) .11. Se supone que el dipolo tiene una carga negativa en (−1, 0) y una carga positiva en (+1, 0). Los equipotenciales se dibujan para\(V\) = 0.05, 0.10, 0.20, 0.40, 0.80.

\(\text{FIGURE III.11}\)

Segundo método (J. Visvanathan).

En este método, trabajamos en coordenadas polares, pero en lugar de usar las coordenadas\((r,θ)\), en las que el origen, o polo, del sistema de coordenadas polares está en el centro del dipolo (ver Figura\(III\) .7), utilizamos las coordenadas\((r_1, \phi)\) con origen en la carga positiva.

Desde el triángulo, vemos que

\[r_2^2=r_1^2+4L^2 +4Lr_1\cos \phi .\label{3.7.28}\]

Para futuras referencias observamos que

\[\dfrac{∂r_2}{∂r_1}=\dfrac{r_1 +2L\cos \phi }{r_2}.\label{3.7.29}\]

Siempre que las distancias se expresen en unidades de\(L\), estas ecuaciones se convierten en

\[\label{3.7.30}r_2^2=r_1^2 + 4r_1 \cos \phi + 4,\]

\[\dfrac{∂r_2}{∂r_1}=\dfrac{r_1+2\cos \phi}{r_2}.\label{3.7.31}\]

Si, además, el potencial eléctrico se expresa en unidades de\(\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 L}\), se da el potencial a P, como antes (Ecuación\ ref {3.7.15}), por

\[\label{3.7.32}V(r_1,\phi )=\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}.\]

teniendo en cuenta que\(r_2\) viene dada por la Ecuación\ ref {3.7.31}.

Por diferenciación con respecto a\(r_1\), tenemos

\[\label{3.7.34}f'(r_1)=-\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}\dfrac{∂r_2}{∂r_1}=-\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{r_1+2\cos \phi}{r_2^3},\]

y todos estamos listos para comenzar una iteración de Newton-Raphson:\(r_1=r_1-f/f'\). Habiendo obtenido\(r_1\), entonces podemos obtener las\((x,\, y)\) coordenadas de\(x = 1 + r_1 \cos φ \text{ and }y = r_1 \sin φ\).

Probé este método y obtuve exactamente el mismo resultado que por el primer método y como se muestra en la Figura\(III\) .11.

Entonces, ¿qué método preferimos? Bueno, cualquiera que haya trabajado en detalle las derivaciones de ecuaciones\ ref {3.7.16} -\ ref {3.7.27}, y luego haya intentado programarlas para una computadora, estará de acuerdo en que el primer método es muy laborioso y engorroso. En comparación, el método de Visvanathan es mucho más fácil tanto de derivar como de programar. Por otro lado, un pequeño punto a favor del primer método es que no implica funciones trigonométricas, por lo que el cálculo numérico es potencialmente más rápido que el segundo método en el que se calcula una función trigonométrica en cada iteración del proceso de Newton-Raphson. En verdad, sin embargo, una computadora moderna realizará el cálculo por cualquiera de los dos métodos aparentemente instantáneamente, por lo que esa pequeña ventaja apenas es relevante.

Hasta el momento, hemos logrado acercar los equipotenciales al dipolo. Las líneas de fuerza son ortogonales a los equipotenciales. Después de que probé varios métodos con solo éxito parcial, agradezco al Dr. Visvanathan quien me señaló lo que debería haber sido el método “obvio”, es decir, usar la Ecuación\ ref {3.7.12}, que, en nuestro sistema de\((r_1,\phi)\) coordenadas basado en la carga positiva, es\(r_1\dfrac{d\phi}{dr_1}=\dfrac{E_\phi}{E_{r_1}}\), tal como lo hicimos para los grandes distancia, dipolo pequeño, aproximación. En este caso, el potencial viene dado por las ecuaciones\ ref {3.7.30} y\ ref {3.7.32}. (Recordemos que en estas ecuaciones, las distancias se expresan en unidades de L y el potencial en unidades de\(\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 L}\).) Los componentes radiales y transversales del campo están dados por\(E_{r_1}=-\dfrac{∂V}{∂{r_1}}\text{ and } E_\phi=-\dfrac{1}{r_1}\dfrac{∂V}{∂\phi}\), lo que resulta en

\[E_{r_1}=\dfrac{1}{r_1^2}-\dfrac{r_1+2\cos \phi }{r_2^3}\label{3.7.35}\]

y

\[E_\phi = \dfrac{2\sin \phi}{r_2^3}.\label{3.7.36}\]

Aquí, el campo se expresa en unidades de\(\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0L^2}\), aunque eso apenas importa, ya que sólo nos interesa la proporción. Al aplicar\(r_1\dfrac{d\phi}{dr}=\dfrac{E_\phi}{E_{r_1}}\) a estos componentes de campo obtenemos la siguiente ecuación diferencial a las líneas de fuerza:

\[d\phi = \dfrac{2r_1\sin \phi}{(r_1^2+4+4r_1\cos \phi)^{3/2}-r_1^2(r_1+2\cos \phi)}dr_1.\label{3.7.37}\]

Así se puede comenzar con algunos iniciales\(φ_0\) y pequeños\(r_2\) y aumentar\(r_1\) sucesivamente en pequeños incrementos, calculando un nuevo φ cada vez. Los resultados se muestran en la Figura\(III\) .12, en la que se dibujan los equipotenciales para los mismos valores que en la Figura\(III\) .11, y los ángulos iniciales para las líneas de fuerza son 30º, 60º, 90º, 120º, 150º.

\(\text{FIGURE III.12}\)

Antes de salir de esta sección, aquí hay otro método más para calcular el potencial cercano a un dipolo, para aquellos que están familiarizados con los polinomios de Legendre.

El potencial en P viene dado por

\[\nonumber \begin{align}4\pi\epsilon_0V&=Q \left [ \dfrac{1}{(a^2+r^2-2ar\cos \theta )^{1/2}}-\dfrac{1}{(a^2+r^2+2ar\cos \theta )^{1/2}}\right ] \\ \nonumber &=\dfrac{Q}{a} \left [ \dfrac{1}{(1-2\rho \cos \theta + \rho^2)^{1/2}}-\dfrac{1}{1+2\rho \cos \theta + \rho^2)^{1/2}}\right ] \\ \end{align}\]

donde\(\rho = r/a\).

Es bien conocido (¡para quienes están familiarizados con los polinomios de Legendre!) que

\[\nonumber (1-2\rho\cos \theta +\rho^2)^{-1/2}=P_0(\cos \theta)+P_1(\cos \theta)\rho +P_2(\cos \theta )\rho^2+P_3(x)\rho^3+...\]

donde\(P_n\) están los polinomios de Legendre. Así, el potencial puede calcularse como una expansión en serie. Aquellos que no están familiarizados con los polinomios de Legendre pueden encontrar algo sobre ellos en mis notas sobre mecánica celeste www.astro.uvic.ca/~tatum/celmechs/celm1.pdf