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15.1: Introducción

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Uno de los grandes logros de Newton fue demostrar que todos los fenómenos de la mecánica clásica pueden deducirse como consecuencias de tres leyes fundamentales básicas, a saber, las leyes del movimiento de Newton. También fue uno de los grandes logros de Maxwell demostrar que todos los fenómenos de la electricidad clásica y el magnetismo —todos los fenómenos descubiertos por Oersted, Ampère, Henry, Faraday y otros cuyos nombres se conmemoran en varias unidades eléctricas— pueden deducirse como consecuencias de cuatro básicos, ecuaciones fundamentales. Describimos estas cuatro ecuaciones en este capítulo y, de paso, también mencionamos las ecuaciones de Poisson y Laplace. También mostramos cómo las ecuaciones de Maxwell predicen la existencia de ondas electromagnéticas que viajan a una velocidad de3×108ms1. Esta es la velocidad a la que se mide la luz para moverse, y una de las bases más importantes de nuestra creencia de que la luz es una onda electromagnética.

Antes de embarcarnos en esto, es posible que necesitemos un recordatorio de dos teoremas matemáticos, así como un recordatorio de la ecuación diferencial que describe el movimiento de las olas.

Los dos teoremas matemáticos que debemos recordarnos son:

  • La integral superficial de un campo vectorial sobre una superficie cerrada es igual a la integral de volumen de su divergencia.
  • La integral de línea de un campo vectorial alrededor de una curva plana cerrada es igual a la integral de la superficie de su rizo.

Una funciónf(xvt) representa una función que se mueve con velocidadv en lax dirección positiva, y una funcióng(xvt) representa una función que se mueve con velocidadv en lax dirección negativa. Es fácil verificar por sustitución quey=Af+Bg es una solución de la ecuación diferencial

d2ydt2=v2d2ydx2

De hecho, es la solución más general, sinc ef yg ar e funciones bastante generales, y la funcióny a lready contiene las dos únicas constantes de integración arbitrarias que se esperan de un segundo orden ecuación diferencial. La ecuación\ ref {15.1.1} es, entonces, la ecuación diferencial para una onda en una dimensión. Para una funciónΨ(x,y,z) in three dimensions, the corresponding wave equation is

¨Ψ=v22Ψ

Es fácil recordar qué lado de la equ aciónv2 se encuentra a partir de consideraciones dimensionales.

Un último pequeño punto antes de continuar — ¡puede que me esté quedando sin símbolos! Es posible que deba referirme a la densidad de carga superficial, una cantidad escalar para la cual el símbolo habitual iσ s. También necesitaré referirme al potencial de vector magnético, para el cual es el symbo l habitualA. A nd Voy a necesitar referirme a área, para la cual ya sea de los simboolsA oσ una re de uso común — o, si se va a enfatizar la naturaleza vectorial del área,A oσ. Lo que voy a tratar de hacer, entonces, para evitar esta dificultad, es usarA para potencial de vector magnético, yσ para área, y trataré de evitar usar densidad de carga superficial en cualquier ecuación. No obstante, se advierte al lector que esté atento y esté seguro de lo que significa cada símbolo en un contexto particular.


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