15.1: Introducción

Uno de los grandes logros de Newton fue demostrar que todos los fenómenos de la mecánica clásica pueden deducirse como consecuencias de tres leyes fundamentales básicas, a saber, las leyes del movimiento de Newton. También fue uno de los grandes logros de Maxwell demostrar que todos los fenómenos de la electricidad clásica y el magnetismo —todos los fenómenos descubiertos por Oersted, Ampère, Henry, Faraday y otros cuyos nombres se conmemoran en varias unidades eléctricas— pueden deducirse como consecuencias de cuatro básicos, ecuaciones fundamentales. Describimos estas cuatro ecuaciones en este capítulo y, de paso, también mencionamos las ecuaciones de Poisson y Laplace. También mostramos cómo las ecuaciones de Maxwell predicen la existencia de ondas electromagnéticas que viajan a una velocidad de\(3 \times 10^8\, \text{m} \,\text{s}^{-1}\). Esta es la velocidad a la que se mide la luz para moverse, y una de las bases más importantes de nuestra creencia de que la luz es una onda electromagnética.

Antes de embarcarnos en esto, es posible que necesitemos un recordatorio de dos teoremas matemáticos, así como un recordatorio de la ecuación diferencial que describe el movimiento de las olas.

Los dos teoremas matemáticos que debemos recordarnos son:

• La integral superficial de un campo vectorial sobre una superficie cerrada es igual a la integral de volumen de su divergencia.
• La integral de línea de un campo vectorial alrededor de una curva plana cerrada es igual a la integral de la superficie de su rizo.

Una función\(f(x-v t)\) representa una función que se mueve con velocidad\(v\) en la\(x\) dirección positiva, y una función\(g(x-v t)\) representa una función que se mueve con velocidad\(v\) en la\(x\) dirección negativa. Es fácil verificar por sustitución que\(y=Af+Bg\) es una solución de la ecuación diferencial

\[ \dfrac{d^2y}{dt^2} = v^2 \dfrac{d^2y}{dx^2} \tag{15.1.1} \label{15.1.1}\]

De hecho, es la solución más general, sinc e\(f\) y\(g\) ar e funciones bastante generales, y la función\(y\) a lready contiene las dos únicas constantes de integración arbitrarias que se esperan de un segundo orden ecuación diferencial. La ecuación\ ref {15.1.1} es, entonces, la ecuación diferencial para una onda en una dimensión. Para una función\(\Psi(x,y,z)\) in three dimensions, the corresponding wave equation is

\[ \ddot \Psi = v^2 \nabla^2 \Psi \tag{15.1.2}\]

Es fácil recordar qué lado de la equ ación\(v^2\) se encuentra a partir de consideraciones dimensionales.

Un último pequeño punto antes de continuar — ¡puede que me esté quedando sin símbolos! Es posible que deba referirme a la densidad de carga superficial, una cantidad escalar para la cual el símbolo habitual i\(\sigma\) s. También necesitaré referirme al potencial de vector magnético, para el cual es el symbo l habitual\(\bf{A}\). A nd Voy a necesitar referirme a área, para la cual ya sea de los simbools\(A\) o\(\sigma\) una re de uso común — o, si se va a enfatizar la naturaleza vectorial del área,\(\bf{A}\) o\(\boldsymbol{\sigma}\). Lo que voy a tratar de hacer, entonces, para evitar esta dificultad, es usar\(\bf{A}\) para potencial de vector magnético, y\(\sigma\) para área, y trataré de evitar usar densidad de carga superficial en cualquier ecuación. No obstante, se advierte al lector que esté atento y esté seguro de lo que significa cada símbolo en un contexto particular.