3.2: Momentum

Para un objeto de masa (inercial) que\(m\) se mueve, en una dimensión, con velocidad\(v\), definimos su momento como

\[ p = mv \label{eq:3.3} \]

(la elección de la letra\(p\) para momentum aparentemente está relacionada con la palabra latina “im p etus”).

Podemos pensar en el impulso como una especie de extensión del concepto de inercia, de un objeto en reposo a un objeto en movimiento. Cuando hablamos de la inercia de un objeto, normalmente pensamos en lo que puede ser necesario para que se mueva; cuando hablamos de su impulso, normalmente pensamos en que puede ser necesario para detenerlo (o tal vez desviarlo). Entonces, tanto la masa\(m\) inercial como la velocidad\(v\) están involucradas en la definición.

También podemos observar que lo que parece inercia en algún marco de referencia puede parecer impulso en otro. Por ejemplo, si estás conduciendo en un auto remolcando un remolque detrás de ti, el tráiler solo tiene una gran cantidad de inercia, pero no hay impulso, relativo a ti, porque su velocidad relativa a ti es cero; sin embargo, el tráiler definitivamente tiene una gran cantidad de impulso (en virtud tanto de su masa inercial como a su velocidad) relativa a alguien parado al costado de la carretera.

Conservación de Momentum; Sistemas Aislados

Para un sistema de objetos, tratamos el impulso como una cantidad aditiva. Entonces, si dos objetos colisionantes, de masas\(m_1\) y\(m_2\), tienen velocidades iniciales\(v_{1i}\) y\(v_{2i}\), decimos que el impulso inicial total del sistema es\(p_i = m_1v_{1i} + m_2v_{2i}\), y de manera similar si las velocidades finales son\(v_{1f}\) y\(v_{2f}\), el impulso final total será\(p_f = m_1v_{1f} + m_2v_{2f}\).

Afirmamos entonces que el impulso total del sistema no es cambiado por la colisión. Matemáticamente, esto significa

\[ p_{i}=p_{f} \label{eq:3.4} \]

o

\[ m_{1} v_{1 i}+m_{2} v_{2 i}=m_{1} v_{1 f}+m_{2} v_{2 f} \label{eq:3.5} .\]

Pero esta última ecuación, de hecho, sigue directamente de la Ecuación (3.1.2): para ver esto, mover todas las cantidades en la Ecuación (\ ref {eq:3.5}) teniendo que ver con el objeto 1 a un lado del signo igual, y las que tienen que ver con el objeto 2 al otro lado. Entonces obtienes

\ [\ begin {align}
m_ {1}\ izquierda (v_ {1 i} -v_ {1 f}\ derecha) &=m_ {2}\ izquierda (v_ {2 f} -v_ {2 i}\ derecha)\ nonumber\\
-m_ {1}\ Delta v_ {1} &=m_ {2}\ Delta v_ {2}
\ end {align}\ label {eq:3.6}\]

que es sólo otra forma de escribir la Ecuación (3.1.2). De ahí que el resultado (3.1.2) garantice la conservación del impulso total de un sistema de cualesquiera dos objetos que interactúan (“partículas”), independientemente de la forma que tome la interacción, siempre y cuando no existan fuerzas externas que actúen sobre ellos.

La conservación del impulso es uno de los principios más importantes en toda la física, así que permítanme tomarme un poco de tiempo para explicar cómo llegamos aquí y elaborar sobre este resultado. Primero, como acabo de mencionar, hemos ido asumiendo más o menos implícitamente que los dos objetos que interactúan forman un sistema aislado, con lo que queremos decir que, a lo largo de todo, interactúan con nada más que el uno con el otro. (Equivalentemente, no hay fuerzas externas que actúen sobre ellos.)

Es prácticamente imposible configurar un sistema para que quede realmente aislado en este sentido estricto; en cambio, en la práctica, nos conformamos con asegurarnos de que las fuerzas externas sobre los dos objetos se cancelen. Esto es lo que sucede en las vías aéreas con las que vas a hacer experimentos este semestre: la gravedad está actuando sobre los carros, pero esa fuerza se equilibra con el empuje ascendente del aire desde la pista. Un sistema en el que no hay fuerza externa neta es tan bueno como aislado para fines prácticos, y nos referiremos a él como tal. (Es más difícil, por supuesto, eliminar completamente las fuerzas de fricción y arrastre, así que solo tenemos que conformarnos con sistemas aproximadamente aislados en la práctica).

En segundo lugar, hasta ahora hemos asumido que el movimiento de los dos objetos está restringido a una línea recta, una dimensión. De hecho, el momentum es una cantidad vectorial (igual que la velocidad es), así que en general deberíamos escribir

\[ \vec{p}=m \vec{v} \nonumber \]

y conservación del impulso, en general, se mantiene como ecuación vectorial para cualquier sistema aislado en tres dimensiones:

\[ \vec{p}_{i}=\vec{p}_{f} \label{eq:3.7} .\]

Lo que esto significa, a su vez, es que cada componente separado (\(x\),\(y\) y\(z\)) del impulso se conservará por separado (así Ecuación (\ ref {eq:3.7}) equivale a tres ecuaciones escalares, en tres dimensiones). Cuando lleguemos a estudiar la naturaleza vectorial de las fuerzas, veremos una implicación interesante de esto, a saber, que es posible conservar un componente del vector de impulso, pero no otro, dependiendo de si hay o no una fuerza externa neta en esa dirección o no. Por ejemplo, anticipando un poco las cosas, cuando lanzas un objeto horizontalmente, siempre y cuando puedas ignorar el arrastre aéreo, no hay fuerza horizontal que actúe sobre él, y así ese componente del vector de impulso se conserva, pero el componente vertical está cambiando todo el tiempo debido a la fuerza (vertical) de la gravedad.

En tercer lugar, aunque esto puede no ser inmediatamente obvio, para un sistema aislado de dos objetos colisionantes el impulso se conserva realmente a lo largo de todo el proceso de colisión. No se trata sólo de comparar las velocidades inicial y final: en cualquiera de los tiempos mostrados en las Figuras 3.1.1 a 3.1.3, si mediéramos\(v_1\)\(v_2\) y calculáramos\(m_1v_1 + m_2v_2\), obtendríamos el mismo resultado. Es decir, el impulso total de un sistema aislado es constante: tiene el mismo valor en todo momento.

Por último, todos estos ejemplos han implicado interacciones entre solo dos partículas. ¿Realmente podemos generalizar esto para concluir que el impulso total de un sistema aislado de cualquier número de partículas es constante, incluso cuando todas las partículas pueden estar interactuando entre sí simultáneamente? Aquí, nuevamente, la evidencia experimental está abrumadoramente a favor de esta hipótesis ⁴, pero gran parte de nuestra confianza en su validez proviene de hecho de una consideración de la naturaleza de las propias interacciones internas. Es un hecho matemático que todas las interacciones hasta ahora conocidas por la física tienen la propiedad de conservar el impulso, ya sea actuando individual o simultáneamente. Ningún experimento ha sugerido jamás la existencia de una interacción que no tenga esta propiedad.

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⁴ Para una importante pieza de evidencia indirecta, solo considere que cualquier objeto extendido es en realidad una colección de partículas que interactúan, y los experimentos que establecen la conservación del impulso casi siempre involucran tales objetos extendidos. Consulte la siguiente sección para más reflexiones sobre este asunto.