8.6: Ejemplos

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Elaborarás un ejemplo bastante completo del movimiento de proyectiles en el laboratorio, y la Sección 8.3 anterior ya tiene el problema de que un bloque se deslice por un plano inclinado resuelto para ti. El siguiente ejemplo te mostrará cómo usar las variables angulares cinemáticas de la sección 8.4 para tratar el movimiento en un círculo, y para calcular la aceleración centrípeta en una situación simple. La sección de Temas Avanzados trata de algunos ejemplos más desafiantes (pero interesantes).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): El centavo en el tocadiscos

Supongamos que tiene un centavo sentado en un plato giratorio, a una distancia\(d\) = 10 cm del eje de rotación. Supongamos que el plato giratorio comienza a moverse, girando constantemente desde el reposo, de tal manera que después de 1.3 segundos ha alcanzado su velocidad de rotación final de 33.3 rpm (revoluciones por minuto). Responde las siguientes preguntas:

¿Cuál fue la aceleración angular de la plataforma giratoria en el intervalo de tiempo de\(t\) = 0 a\(t\) = 1.3 s?
¿Cuántos giros (completos y fraccionarios) hizo el tocadiscos antes de alcanzar su velocidad final?
Suponiendo que el centavo no se ha deslizado, ¿cuál es su aceleración centrípeta una vez que el plato giratorio alcanza su velocidad final?
¿Qué tan grande tiene que ser el coeficiente de fricción estática entre el centavo y el plato giratorio para que el centavo no se deslice a lo largo de este proceso?

Solución

(a) Se nos dice que el plato giratorio gira “constantemente” de\(t\) = 0 a\(t\) = 1.3 s. La palabra “constantemente” aquí es una palabra clave que significa que la aceleración (angular) es constante (es decir, la velocidad angular aumenta a un ritmo constante).

¿Cuál es esta tarifa? Para constante \(\alpha\), tenemos, a partir de la Ecuación (8.4.10), \(\alpha = \Delta \omega / \Delta t\). Aquí, el intervalo de tiempo \(\Delta t\) = 1.3, así que solo necesitamos encontrar\(\Delta \omega\). Por definición,\(\Delta \omega = \omega_f − \omega_i\), y desde que partimos del descanso,\(\omega_i\) = 0. Entonces solo necesitamos\(\omega_f\). Nos dicen que “la velocidad de rotación final” es de 33.3 rpm (revoluciones por minuto). ¿Qué nos dice esto sobre la velocidad angular?

La velocidad angular es el número de radianes que un objeto que se mueve en círculo (como el centavo en este ejemplo) viaja por segundo. Un giro completo alrededor del círculo, o revolución, corresponde a 180\(^{\circ}\), o equivalentemente a 2\(\pi\) radianes. Entonces, 33.3 revoluciones, o giros, por minuto significa\( 33.3 \times 2 \pi \) radianes por 60 s, es decir,

\ [\ omega_ {f} =\ frac {33.3\ veces 2\ pi\:\ mathrm {rad}} {60\:\ mathrm {s}} =3.49\: \ frac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s}}\ label {eq:8.39}.\]

La aceleración angular, por lo tanto, es

\ [\ alpha=\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta t} =\ frac {\ omega_ {f} -\ omega_ {i}} {\ Delta t} =\ frac {3.49 \:\ mathrm {rad}/\ mathrm {s}} {1.3\:\ mathrm {s}} =2.68\: \ frac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s} ^ {2}}\ label {eq:8.40}.\]

(b) La forma de responder a esta pregunta es averiguar el desplazamiento angular total,\(\Delta \theta\), del centavo a lo largo del intervalo de tiempo considerado (de\(t\) = 0 a \(t\) = 1.3 s), y luego convertirlo en un número de vueltas, utilizando la relación 2\(\pi\) rad = 1 vuelta. Para obtener\ (\ Delta \ theta\), debemos usar la ecuación (8.4.10) para el movimiento con aceleración angular constante:

\ [\ Delta\ theta=\ omega_ {i} \ Delta t+\ frac {1} {2}\ alfa (\ Delta t) ^ {2}\ etiqueta {eq:8.41}.\]

Partimos del descanso, entonces\(\omega_i\) = 0, Sabemos\(\Delta t\) = 1.3 s, y acabamos de calcular \(\alpha\) = 2.68 rad/s ², así que tenemos

\ [\ Delta\ theta=\ frac {1} {2} \ times 2.68\:\ frac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s} ^ {2}}\ veces (1.3\: \ mathrm {s}) ^ {2} =2.26\:\ mathrm {rad}\ label {eq:8.42}.\]

Esto es menos de 2\(\pi\) radianes, por lo que toma al plato giratorio menos de una revolución completa para alcanzar su velocidad angular final. Para ser precisos, dado que 2\(\pi\) radianes es un giro, 2.26 rad serán 2.26/ (2\(\pi\)) vueltas, es decir, 0.36 vueltas, un poco más de 1/3 de giro.

(c) Para las preguntas anteriores, el centavo acaba de servir como marcador para hacer un seguimiento de las revoluciones de la plataforma giratoria. Ahora, pasamos a la dinámica del movimiento del centavo mismo. Primero, para obtener su aceleración angular, solo podemos usar la Ecuación (8.4.18), en la forma

\ [a_ {c} =R\ omega^ {2} =0.1\: \ mathrm {m}\ veces\ left (3.49\: \ frac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s}}\ derecha) ^ {2} =1.22\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s} ^ {2}}\ label {eq:8.43}\]

notando que\(R\), el radio del círculo sobre el que se mueve el centavo, es solo la distancia\(d\) al eje de rotación que nos dieron al inicio del problema, y\(\omega\), su velocidad angular, es solo la velocidad angular final del plato giratorio (asumiendo, como estamos dicho, que el centavo no se ha deslizado relativo al tocadiscos).

d) Por último, ¿qué tal la fuerza necesaria para evitar que el centavo se deslice, es decir, para mantenerlo en movimiento con el plato giratorio? Esto es solo la fuerza centrípeta necesaria “doblar” la trayectoria del centavo en un círculo de radio \(R\), entonces\(F_c = ma_c\), dónde\(m\) está la masa del centavo y \(a_c\) es la aceleración centrípeta que acabamos de calcular. Físicamente, sabemos que esta fuerza tiene que ser proporcionada por la estática (¡siempre y cuando el centavo no se deslice!) fuerza de fricción entre el centavo y el plato giratorio. Sabemos que\ (F^ {s} \ leq\ mu_ {s} F^ {n}\), y tenemos para la fuerza normal, en esta situación simple, justa\(F^n = mg\). Por lo tanto, configurando\ (f^s = ma_c\) tenemos:

\ [m a_ {c} =F^ {s}\ leq\ mu_ {s} F^ {n} =\ mu_ {s} m g\ etiqueta {eq:8.44}.\]

Esto equivale a la desigualdad única\(ma_c \leq \mu_smg\), donde podemos cancelar la masa del centavo para concluir que debemos tener\ (a_c\ leq \ mu_sg\), y por lo tanto

\ [\ mu_ {s}\ geq \ frac {a_ {c}} {g} =\ frac {1.22\:\ mathrm {m}/\ mathrm {s} ^ {2}} {9.8\: \ mathrm {m}/\ mathrm {s} ^ {2}} =0.124\ label {eq:8.45}\]