9.1: Energía cinética rotacional y momento de inercia

Si una partícula de masa\(m\) se mueve en un círculo de radio\(R\), con velocidad instantánea\(v\), entonces su energía cinética es

\[ K_{r o t}=\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} m R^{2} \omega^{2} \label{eq:9.1} \]

usando\(|\vec v| = R|\omega|\), Ecuación (8.4.12). Tenga en cuenta que, en esta etapa, no hay ninguna razón real para el subíndice “rot”: la ecuación (\ ref {eq:9.1}) es toda la energía cinética de la partícula. La distinción solo cobrará importancia más adelante en el capítulo, cuando consideremos objetos extendidos cuyo movimiento es una combinación de traslación (del centro de masa) y rotación (alrededor del centro de masa).

Ahora, considere la energía cinética de un objeto extendido que está girando alrededor de algún eje. Podemos tratar el objeto como compuesto de muchas “partículas” (pequeñas partes) de masas\(m_1\),\(m_2\)... Si el objeto es rígido, todas las partículas se mueven juntas, en el sentido de que todas giran en el mismo ángulo al mismo tiempo, lo que significa que todas tienen la misma velocidad angular. Sin embargo, las partículas que están más alejadas del eje de rotación en realidad se mueven más rápido, tienen una mayor\(v\), según la Ecuación (8.4.12). Entonces la expresión de la energía cinética total en términos de todas las velocidades de las partículas es complicada, pero en términos de la velocidad angular (común) es simple:

\ begin {align}
K_ {r o t} &=\ frac {1} {2} m_ {1} v_ {1} ^ {2} +\ frac {1} {2} m_ {2} v_ {2} ^ {2} +\ frac {1} {2} m_ {3} v_ {3} ^ {2} +\ ldots\ nonumber\\
&=\ frac {1} {2}\ izquierda (m_ {1} r_ {1} ^ {2} +m_ {2} r_ {2} ^ {2} +m_ {3} r_ {3} ^ {2} +\ lpuntos\ derecha)\ omega^ {2}\ nonumber\\
&=\ frac {1} {2 } I\ omega^ {2}\ label {eq:9.2}
\ end {align}

donde\(r_1\),\(r_2\),... representan la distancia de la 1ª, 2ª... partícula al eje de rotación, y en la última línea he introducido la cantidad

\[ I=\sum_{\text {all particles }} m r^{2} \label{eq:9.3} \]

que suele denominarse el momento de inercia del objeto alrededor del eje considerado. En general, la expresión (\ ref {eq:9.3}) se evalúa como una integral, la cual puede escribirse simbólicamente como\( I=\int r^{2} d m \); el “elemento masa”\(dm\) puede expresarse en términos de la densidad local as\(\rho d V \), donde\(V\) es un elemento de volumen. La integral es una integral multidimensional que puede requerir habilidades de cálculo algo sofisticadas, por lo que no estaremos calculando ninguna de estas este semestre; más bien, confiaremos en los valores tabulados\(I\) para objetos de formas diferentes, simples. Por ejemplo, para un cilindro homogéneo de masa total\(M\) y radio\(R\), que gira alrededor de su eje central,\(I = \frac{1}{2}MR^2\); para una esfera hueca que gira a través de un eje a través de su centro\(I = \frac{2}{3}MR^2\),, y así sucesivamente.

Como puede ver, la expresión (\ ref {eq:9.2}) para la energía cinética de un cuerpo giratorio,\(\frac{1}{2}I\omega ^2\), es paralela a la expresión\(\frac{1}{2}mv^2\) de una partícula en movimiento, con la sustitución de\(v\) por\(\omega\), y\(m\) por\(I\). Esto sugiere que\(I\) es una especie de medida de la inercia rotacional de un objeto sólido, por lo que nos referimos a la resistencia que ofrece a ser puesto en rotación alrededor del eje que se está considerando. Veremos más adelante, cuando introduzcamos el par, que esta interpretación para sí\(I\) es correcta.

Cabe destacar que el momento de inercia depende, en general, no sólo de la forma y distribución de masas del objeto, sino también del eje de rotación. En general, la fórmula (\ ref {eq:9.3}) muestra que, cuanto más masa pongas más lejos del eje de rotación, mayor\(I\) será. Así, por ejemplo, una varilla delgada de longitud\(l\) tiene un momento de inercia\(I = \frac{1}{12}Ml^2\) al girar alrededor de un eje perpendicular a través de su punto medio, mientras que tiene la mayor\(I = \frac{1}{3}Ml^2\) cuando gira alrededor de un eje perpendicular a través de uno de sus extremos.